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文檔簡(jiǎn)介
第二節(jié)迭代法一、迭代法的基本思想迭代法是一種重要的逐次逼近法,其基本思想是:將方程
f(x)=0
化為等價(jià)方程然后在隔根區(qū)間內(nèi)取一點(diǎn)
x0
,按下式計(jì)算計(jì)算結(jié)果生成數(shù)列如果這個(gè)數(shù)列有極限這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂,否則稱為發(fā)散。當(dāng)(x)連續(xù)時(shí),顯然
就是方程
x=(x)之根。于是可以從數(shù)列
中求得滿足精度要求的近似根。稱為迭代格式,
(x)稱為迭代函數(shù),x0
稱為迭代初值,數(shù)列
稱為迭代序列。二、迭代法的幾何意義一般來(lái)說(shuō)從構(gòu)造不止一種,有的收斂,有的不收斂,這取決于的性態(tài)。方程的根,在幾何上就是直線與曲線的橫坐標(biāo)如圖2-3所示
對(duì)方程進(jìn)行如下三種變形:用迭代法求方程
x4+2x2-x-3=0在區(qū)間[1,1.2]內(nèi)的實(shí)根。解例1分別按以上三種形式建立迭代格式,并取x0=1進(jìn)行迭代計(jì)算,結(jié)果如下:第二種格式比第一種格式收斂快得多,而第三種格式不收斂。可見迭代格式不同,收斂情況也不同。準(zhǔn)確根
=1.124123029。三、迭代法的收斂條件定理1
(1)當(dāng)x∈[a,b]時(shí),(2)存在正數(shù)L<1,使對(duì)任意的
x∈[a,b],(2)對(duì)任意迭代初值
x0∈[a,b],迭代序列(1)方程在[a,b]上有唯一根
;在[a,b]上存在,且滿足條件:設(shè)收斂于
。
則(1)先證方程 之解存在且唯一.由于在[a,b]上存在,f(x)
在[a,b]上連續(xù)。作函數(shù)由條件連續(xù)。所以證使
即則(1)f(a)≤0,f(b)≥0,故存在
,則由微分中值定理及條件值定理及條件(2)有此式僅當(dāng)才能成立,再證迭代格式收斂任取
x0∈[a,b],由微分中值定理,有因此(2)則由微分中值定理及條件(2)有設(shè)方程還有一根此定理在理論上十分重要,但是條件(1)卻不容易判別.如果僅在根的鄰域中考察迭代格式,則下述定理可避免條件(1)的判別。即迭代過(guò)程收斂,且證畢。反復(fù)用此不等式,并注意0<L<1,因此
例1中采用的三種迭代格式,在隔根區(qū)間(1,1.2)內(nèi)有例如且有下列誤差估計(jì)式定理2則任取
x0∈U,迭代格式均收斂于
,
若方程之根的某鄰域
L<1,使內(nèi)存在,且存在正常數(shù)則迭代必發(fā)散。提示:定理的證明利用定理1以及微分中值定理。反之,若在根
的鄰域
U
內(nèi)例2用迭代法求方程在內(nèi)的一個(gè)近似根,取初始近似值解原方程的等價(jià)方程可以有以下不同形式對(duì)應(yīng)的迭代公式有:考察四種迭代法在根附近的收斂情況,取根的近似值為解不收斂不收斂收斂收斂由定理2知值越小,收斂速度就越快1.365230021.3659167381.365229941.3638870071.3652230581.3678469761.365225591.3600941951.365264751.3751702541.364957011.34545838-469.731.367376371.402540802.99696.73221.348399731.286953770.8165-0.87511.51.51.51.50(4)(3)(2)(1)n取列表計(jì)算如下n(1)(2)(3)(4)91.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001接上圖四、迭代法的收斂速度則稱迭代格式是
p
階收斂的.
p=1時(shí)稱為線性收斂,
1<p<2時(shí)稱為超線性收斂.利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3.顯然,收斂階越大,收斂越快p=2
時(shí)稱為二階(平方)收斂,
特別地,令若則迭代過(guò)程在
的鄰近為
p階收斂。(1)若為線性收斂;則迭代過(guò)程在的鄰近(2)若定理3之根,在
的鄰域
U內(nèi)有連續(xù)的
p階導(dǎo)數(shù),則
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