第7章向量代數(shù)與空間解析幾何-7-2的乘法運(yùn)算

數(shù)量積向量積*混合積第二節(jié)三、向量的混合積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積

第七章

★一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義7.2設(shè)向量的夾角為

,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積或內(nèi)積).引例

設(shè)一物體在常力F作用下,

位移為s則力F

所作的功為記作故為兩個(gè)非零向量,則有2.性質(zhì)(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;3.運(yùn)算律

證明三角形余弦定理證則如圖.設(shè)例14.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于(2)兩向量的夾角公式,得例2已知三點(diǎn)

AMB.解則求故例3解這表明：分別在x,y,z軸上的投影.例4解

因設(shè)求向量在x

軸上的投影及在y軸上的分向量.在y

軸上的分向量為故在x

軸上的投影為例5證注一般地，例6解

(1)(2)例7解

(1)二、兩向量的向量積引例

設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為其方向符合右手規(guī)則：則力F

作用在的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,杠桿上的力矩是一個(gè)向量

M

:其模：1.定義7.3定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱引例中的力矩為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明2.性質(zhì)4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則5.向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見書p.401～p.404)注如：(3)事實(shí)上，6.幾何意義h=ShABC例8已知三點(diǎn)求三角形ABC

的面積.解

如圖所示,例9解例10解例11證例12解★三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積

.記作2.幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其3.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)4.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱性:(可用三階行列式推出)證例13證明四點(diǎn)共面.解

因故A,B,C,D

四點(diǎn)共面.例14解例15已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解

已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.

向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:混合積:2.

向量關(guān)系:特例:特例:1.

設(shè)計(jì)算并求夾角的正弦與余弦.答案:2.

用向量方法證明正弦定理:思考題證

由三角形面積公式所以因3.求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的設(shè)均勻流速為的流體流過一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解單位時(shí)間內(nèi)流過的體積且為單位向量的夾角為流體的質(zhì)量P(流體密度為

).h4.一點(diǎn)M

的線速度

設(shè)剛體以等角速度

繞l

軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解

在軸l

上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使其在l

上任取一點(diǎn)O,它與則點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法則的夾角為

,方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,作向徑備用題

例5-1證