數(shù)值天氣預(yù)報(bào)期末考已結(jié)束-第三章-sun

第三章

正壓原始方程模式的基本原理

BarotropicPrimitiveEquationModel正壓原始方程模式引言：實(shí)際大尺度運(yùn)動(dòng)包含兩類過程：快過程和慢過程。

地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程：非地轉(zhuǎn)向地轉(zhuǎn)平衡的調(diào)整，即慣性重力波的能量頻散過程

地轉(zhuǎn)演變過程：地轉(zhuǎn)平衡的破壞的過程，即Rossby波演變。準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式與原始方程模式的區(qū)別：準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式：原始方程模式：

濾過快過程，不包含地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程，僅描述地轉(zhuǎn)演變過程，

其物理基礎(chǔ)是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡性質(zhì)。

（僅保留大氣長波，慮去了慣性重力波）可以描述地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程和演變過程，即包含大氣長波又包含慣性重力波。原始方程模式的優(yōu)點(diǎn)：物理性能比準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式更接近實(shí)際過程。正壓原始方程模式實(shí)際過程帶來的問題i》為保證計(jì)算穩(wěn)定，

需很小，則增大了計(jì)算工作量ii》初始場(chǎng)中包含的誤差可激發(fā)虛假慣性重力波，則可能產(chǎn)生計(jì)算不穩(wěn)定iii》模式對(duì)邊界條件敏感，則有可能造成計(jì)算紊亂對(duì)數(shù)值模式求解的要求本章內(nèi)容重點(diǎn)i》應(yīng)盡可能準(zhǔn)確的模擬適應(yīng)和演變兩種過程ii》計(jì)算方法精度提高iii》模式描述重要物理規(guī)律方面應(yīng)和連續(xù)大氣保持一致i》正壓原始方程的積分性質(zhì)ii》保持這些性質(zhì)的差分格式的構(gòu)造§1正壓原始方程組一般方程組如何簡化為二維運(yùn)動(dòng)方程一般方程：絕熱、無摩擦運(yùn)動(dòng)，P坐標(biāo)系方程組其中：(1)(2)(3)(4)(5)(6)§1正壓原始方程組基本假定：1》具有自由面的均勻不可壓流體

均勻：自由面：地表面：可以證明：水平氣壓梯度力不隨高度變化！因?yàn)椋簩?duì)靜力方程（3）式兩邊積分

對(duì)任一高度z：對(duì)任一等壓面p：(7)t§1正壓原始方程組2》如果起始時(shí)刻（t＝0）風(fēng)速不隨高度變化，則永遠(yuǎn)不隨高度變化當(dāng)t＝0時(shí)，方程（1）、（2）兩邊對(duì)p求導(dǎo)。利用（7）式

得：且以后永遠(yuǎn)保持該關(guān)系，u，v垂直方向均勻。在此二假定下：（1）、（2）可看作垂直方向平均方程§1正壓原始方程組連續(xù)方程（4）在垂直方向積分，利用邊界條件同時(shí)：利用利用：(8)(8)’代入(8)’

得：§1正壓原始方程組略去

“T”

與動(dòng)量方程一起構(gòu)成以下淺水方程組：（沒有地形：

）給定初值條件：和一定得邊界條件，方程組(9)~(11)可以求解。注：通常用這組方程來預(yù)報(bào)500hPa的形勢(shì)變化。(9)(10)(11)§2正壓原始方程組的波動(dòng)性質(zhì)均勻不可壓：無層結(jié)，慮去重力內(nèi)波f效應(yīng)：慣性波

效應(yīng)：Rossby波

自由面：重力外波（＋f）慣性重力外波為簡單起見：令

（無地形）(12)(13)(14)§2正壓原始方程組的波動(dòng)性質(zhì)若令：

（常數(shù)）將任一量寫成基本量＋擾動(dòng)量簡單起見，令擾動(dòng)量

與y無關(guān)，略去

“

’

”

號(hào)若令：

（常數(shù)），則：(15)(16)(17)§2正壓原始方程組的波動(dòng)性質(zhì)設(shè)：代入(15)~(17)非零解條件：（慣性重力波）§2正壓原始方程組的波動(dòng)性質(zhì)若令：

，考慮

效應(yīng)引入一個(gè)渦度方程(12)~(14)可變?yōu)椋海ㄓ休椛ossby波性質(zhì)）擾動(dòng)量：若令：§2正壓原始方程組的波動(dòng)性質(zhì)§2正壓原始方程組的波動(dòng)性質(zhì)當(dāng)

很小時(shí)，低頻（相速很小，慢波）（重力影響的Rossby波）若令：§2正壓原始方程組的波動(dòng)性質(zhì)（無輻散Rossby波

）當(dāng)

很大，高頻（重力慣性波）所以，頻散波

地轉(zhuǎn)適應(yīng)物理機(jī)制§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)通量式的方程組令（z為流體自由面高度）(1)(2)(3)(3),(4),(5)構(gòu)成了以

hu,hv,h

為變量的通量形式方程組§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)(4)(5)Gauss定理Gn為垂直于L的分量顯然:若Gn=0,則上式為零§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)全球大氣總質(zhì)量守恒幾個(gè)重要積分性質(zhì):由(3)式(連續(xù)性方程)全球積分故上式表示全球大氣總質(zhì)量守恒§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)平流過程中全球大氣動(dòng)量守恒§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)能量約束i》沒有外力作用下，全球大氣總動(dòng)能守恒單位面積空氣柱動(dòng)能為：（z為自由面）動(dòng)能方程：u*(1)+v*(2)得其中，§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)h*(6)+K*(3)若不考慮外力：單位面積空氣柱動(dòng)能（此即為動(dòng)能變化方程）動(dòng)能、位能轉(zhuǎn)換項(xiàng)(6)§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)ii》全球大氣（或封閉的有限區(qū)域）總能量守恒單位面積空氣柱的位能定義如下：位能變化方程的推導(dǎo)：

乘以連續(xù)方程（3）§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)此即為位能變化方程動(dòng)能、位能轉(zhuǎn)換項(xiàng)§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)將位能和動(dòng)能變化方程相加

總能量變化方程因?yàn)?/p>

全球或有限區(qū)域靜能量通量為零，所以：即全球總能量守恒§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)4.全球大氣位渦擬能守恒位渦定義為：運(yùn)動(dòng)過程中，空氣柱的位渦守恒消去和動(dòng)能定義類似，可定義位渦擬能：§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)即全球大氣位渦擬能守恒qh*位渦方程＋q*q/2*連續(xù)方程§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)5.渦度擬能守恒和不同尺度波之間的能量轉(zhuǎn)換總能量守恒：

限制總能量（有可能所有能量單向輸送）渦度擬能守恒：限制能譜

（對(duì)能量串級(jí)有約束）平流項(xiàng)Arakawa(1966)詳細(xì)地討論了無輻散渦度方程的積分關(guān)系，并指出渦度擬能守恒關(guān)系對(duì)于構(gòu)造穩(wěn)定的差分格式比動(dòng)能守恒更重要?？紤]無輻散正壓渦度方程，并重點(diǎn)考慮非線性項(xiàng)，略去地球自轉(zhuǎn)的作用。§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)i)全球大氣渦度守恒引入流函數(shù)：

渦度方程可改寫為：§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)ii)動(dòng)能K守恒（無輻散假設(shè)）§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)iii)渦度擬能（

）守恒§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)渦度擬能守恒與能譜約束§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)渦度擬能守恒與能譜約束即：§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)渦度擬能守恒與能譜約束根據(jù)前面推導(dǎo)證明：

是守恒的，即

為按動(dòng)能加權(quán)平均的波數(shù)，上述關(guān)系反映平均波數(shù)守恒故存在一

（波數(shù)），使得§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)渦度擬能守恒與能譜約束考慮三個(gè)單波：

渦度擬能守恒：動(dòng)能守恒：

設(shè)

為任意兩時(shí)刻動(dòng)能變化，則有：§3正壓原始方程組的積分性質(zhì)渦度擬能守恒與能譜約束

上兩式系數(shù)均為正消去

得

消去

得

能量轉(zhuǎn)換的規(guī)律若只有兩個(gè)波，則（波能量不發(fā)生串級(jí)）有限差分模式中常發(fā)生虛假的長波向短波輸送能量，故渦度擬能守恒格式對(duì)此具有很好的抑制作用（Arakawa,1966）§4正壓原始方程計(jì)算穩(wěn)定性條件一維平流方程§4正壓原始方程計(jì)算穩(wěn)定性條件原始方程模式§4正壓原始方程計(jì)算穩(wěn)定性條件原始方程模式相當(dāng)于以U+c為平流速度的平流方程§4正壓原始方程計(jì)算穩(wěn)定性條件原始方程模式線性計(jì)算穩(wěn)定性條件為：由于

c為重力波相速度，比

U大得多，故原始方程模式中，Δt需取得很小，才能保證計(jì)算穩(wěn)定若考慮

f效應(yīng)，則

c更大，Δt需取得更小?！?正壓原始方程計(jì)算穩(wěn)定性條件上述線性計(jì)算穩(wěn)定性條件的推導(dǎo)證明：（時(shí)間和空間導(dǎo)數(shù)均用中央差分、顯式時(shí)間積分方案）Winninghoff(1968)發(fā)現(xiàn)：有限差分的原始方程模式描述地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的準(zhǔn)確程度與變量在網(wǎng)格點(diǎn)上的分布形式有很大關(guān)系。有怎樣關(guān)系？1）方程組：以一維線性化方程為例（zs=0,,）§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)設(shè)波動(dòng)解

，代入以上方程組，得頻散關(guān)系式令

，為Rossby變形半徑，則故：若

，則

隨

單調(diào)增加，為頻散波（

）§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)2）變量分布形式Winninghoff(1968)u,v,zu,v,zu,v,zm+1m-1mA:xxm+1m-1mu,vu,vzzzB:xxm+1m-1mv,zv,zv,zuuC:xxm+1m-1mu,zu,zu,zvvD:§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)3）離散化后的方程組及其波動(dòng)性質(zhì)u,v,zu,v,zu,v,zm+1m-1mA:設(shè)

代入上式得§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)設(shè)

代入上式得xxm+1m-1mu,vu,vzzzB:§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)設(shè)

代入上式得xxm+1m-1mv,zv,zv,zuuC:§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)設(shè)

代入上式得xxm+1m-1mu,zu,zu,zvvD:§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)綜上所述，對(duì)應(yīng)于A，B，C，D變量分布形式的差分方程對(duì)應(yīng)的頻散關(guān)系式為真解：B：C：D：A：兩個(gè)參數(shù)：

和A：當(dāng)

=0.5時(shí)，

達(dá)極大值，cg=0；

=1.0時(shí)，=fB：當(dāng)0時(shí)，在0<

1區(qū)域內(nèi)，

與真解接近，單調(diào)增加C：當(dāng)/d>0.5時(shí)，單調(diào)增加，與真解接近；

當(dāng)/d<0.5時(shí)，遞減；當(dāng)/d=0.5時(shí)，=fD：先是遞增，在

處達(dá)極大值，在

=1處，=0，駐波§5差分格式和地轉(zhuǎn)適應(yīng)因?yàn)椴罘肿R(shí)別的最短波長為2d，所以最大波數(shù)即波數(shù)范圍為：

或

或即A~D的頻率只在上述范圍內(nèi)有意義。故：對(duì)于一維問題，B網(wǎng)格對(duì)于描述地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程最好對(duì)于二維問題Arakawa跳點(diǎn)的C網(wǎng)格最好1.012031.0真解BCAD0.51§6守恒差分格式的構(gòu)造1）守恒差分格式：保持連續(xù)大氣的某些重要積分關(guān)系的格式

（時(shí)間差分截?cái)嗾`差較小，故大多只討論空間差分格式）2）數(shù)值模式中的兩類重要格式i）能量守恒格式，正壓原始方程組滿足總能量（平均能量）守恒的

差分格式ii)化為渦度方程后，無輻散氣流對(duì)渦度的平流項(xiàng)滿足渦度擬能守恒§6守恒差分格式的構(gòu)造1能量守恒格式

為討論方便，采用A-網(wǎng)格（變量分布），盡管C-網(wǎng)格描述地轉(zhuǎn)適應(yīng)

過程最好。取zs=0，h=z

i)連續(xù)性方程的差分格式與質(zhì)量守恒約束離散化后：設(shè)積分區(qū)域如下：i=0,1,2,……,I;j=0,1,2,……,J0iIJj

(1)§6守恒差分格式的構(gòu)造將差分格式（1）在求解區(qū)域內(nèi)點(diǎn)域內(nèi)求和即：i=1,2,……,I-1;j=1,2,……,J-1上式各項(xiàng)為圖中虛線邊界的法向通量，如果離散區(qū)域是封閉的，或是全球大氣，則上式為零，即若半點(diǎn)的數(shù)值用整點(diǎn)的平均值代替，則（1）式變?yōu)椋海ㄙ|(zhì)量守恒）(2)(3)§6守恒差分格式的構(gòu)造ii)位能方程的差分格式與無外力作用時(shí)位能守恒約束構(gòu)造以下位能方程的差分格式：用

乘以（3）式兩邊：左邊第一項(xiàng)：上式即位能方程的時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的離散形式§6守恒差分格式的構(gòu)造左邊第二部分：上式是位能方程以下項(xiàng)的差分格式：§6守恒差分格式的構(gòu)造右邊第三部分：上式是位能方程以下項(xiàng)的差分格式：§6守恒差分格式的構(gòu)造三部分相加得位能方程的差分格式為：(4)（4）式右邊第一個(gè)方括號(hào)對(duì)全球格點(diǎn)求和為零(令“-”項(xiàng)中的i為i+1，

j為j+1，與“+”項(xiàng)抵消)，因此(5)上式右邊為能量轉(zhuǎn)換項(xiàng)，無外力作用時(shí)此項(xiàng)為零，位能守恒§6守恒差分格式的構(gòu)造iii)動(dòng)量方程與平流過程中動(dòng)量守恒約束構(gòu)造以下動(dòng)量方程的差分格式：平流過程中（不考慮氣壓梯度力和科氏力）動(dòng)量守恒約束§6守恒差分格式的構(gòu)造引入符號(hào):§6守恒差分格式的構(gòu)造構(gòu)造動(dòng)量方程的差分格式，以保證平流過程中全球大氣動(dòng)量守恒（這里氣壓梯度力差分格式待定）(7)(6)§6守恒差分格式的構(gòu)造差分方程（6）和（7）式的平流項(xiàng)中，令“-”項(xiàng)中的i為i+1，j為j+1，與“+”項(xiàng)抵消，故全球所有格點(diǎn)求和后，平流項(xiàng)為零，即格式保證了平流過程中全球大氣動(dòng)量守恒(8)(9)§6守恒差分格式