復(fù)變函數(shù)與積分變換41復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)課件

第四章級(jí)數(shù)§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)11.復(fù)數(shù)列的收斂與發(fā)散

設(shè){an}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,其中an=an+ibn,又設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù).如果任意給定e>0,相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)N(e),使|an-a|<e在n>N時(shí)成立,則a稱(chēng)為復(fù)數(shù)列{an}當(dāng)n時(shí)的極限,記作此時(shí)也稱(chēng)復(fù)數(shù)列{an}收斂于a.2定理一復(fù)數(shù)列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是[證]

小結(jié)論：32復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

設(shè){an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式稱(chēng)為無(wú)窮級(jí)數(shù),其最前面n項(xiàng)的和sn=a1+a2+...+an稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.如果部分和數(shù)列{sn}收斂,

5小結(jié)論：若復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)α1+α2+…+αn+…收斂，則其通項(xiàng)αn極限為零。例2.當(dāng)|α|<1,判斷級(jí)數(shù)1+α+α2+…+αn+…是否收斂？6定理二

級(jí)數(shù)收斂<=>級(jí)數(shù)和都收斂.

[證]sn=a1+a2+...+an

=(a1+a2+...+an)+i(b1+b2+...+bn)

=sn+itn

由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在,即級(jí)數(shù)和都收斂.79定理三[證]定理四[證]10例下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.

[解]1)112)因,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值收斂法知

收斂,故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.3)因收斂;也收斂,

故原級(jí)數(shù)收斂.但因?yàn)闂l件收斂,所以原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂.13三、冪級(jí)數(shù)

設(shè){fn(z)}(n=1,2,...)為區(qū)域D上的(復(fù)變)函數(shù)序列,表達(dá)式稱(chēng)為(復(fù)變)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).最前面n項(xiàng)的和 Sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱(chēng)為這級(jí)數(shù)的部分和.14存在,則稱(chēng)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.1.2)在z0收斂,而f(z0)稱(chēng)為它的和.如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.1.2)在D內(nèi)處處收斂,則它的和一定是z的一個(gè)函數(shù)f(z):

f(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果對(duì)于D內(nèi)的某一點(diǎn)z0,極限稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和函數(shù).15定理五(阿貝爾Abel定理)z0xyO17[證]1819冪級(jí)數(shù)的收斂性只有三種情況：(1)當(dāng)0<R<+∞時(shí)，冪級(jí)數(shù)在|z|<R內(nèi)絕對(duì)收斂；在|z|>R內(nèi)發(fā)散；但在|z|=R上，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。(2)當(dāng)R=+∞時(shí)，冪級(jí)數(shù)在復(fù)平面上每一點(diǎn)絕對(duì)收斂。(3)當(dāng)R=0時(shí)，冪級(jí)數(shù)在復(fù)平面上出去原點(diǎn)外處處發(fā)散。21例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑222325四.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

在以原點(diǎn)為中心,r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi),這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以像多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加