工程力學(xué)M-第7章課件

工程力學(xué)第二篇材料力學(xué)第7章軸向拉伸和壓縮

軸力與軸力圖

拉壓桿件橫截面上的正應(yīng)力

拉壓桿件的變形拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算工程力學(xué)§7.1拉伸與壓縮的特征

外力特點(diǎn)：外力的合力作用線與桿件的軸線重合。變形特點(diǎn)：桿件主要在軸線方向產(chǎn)生伸長和縮短變形，同時(shí)在橫向產(chǎn)生縮小或增大。工程力學(xué)§7.2軸力與軸力圖

軸力的計(jì)算

軸力圖

假想的m－m面將桿切開，留取其中任意一段，列平衡方程，計(jì)算出軸力FN

。對(duì)軸力正負(fù)號(hào)規(guī)定：拉為正“+”壓為負(fù)“–”為了直觀地反映出桿各截面上軸力沿軸線的變化規(guī)律，并能找出最大軸力及其所在的截面，需要畫出桿的軸力圖。

軸力與軸力圖

軸力圖繪制步驟：1．逐段計(jì)算桿的軸力；2．在受力圖下方以平行于桿軸線為橫坐標(biāo)

x

，其上的各點(diǎn)表示桿各橫截面的位置；取垂直于x為縱坐標(biāo)，表示桿對(duì)應(yīng)截面上的軸力FN；3．按選定的比例，將桿各段的軸力繪在上述的坐標(biāo)系中；4.在軸力突變處標(biāo)出軸力大小和單位，并將軸力的正負(fù)號(hào)標(biāo)出。重要，熟練掌握工程力學(xué)§7.3拉壓桿件橫截面上的正應(yīng)力

橫截面上的正應(yīng)力公式

研究方法與思路：實(shí)驗(yàn)——分析（理論推導(dǎo)）——實(shí)驗(yàn)具體的做法（采用的手段）：幾何（相容律）物理（本構(gòu)律）靜力學(xué)（平衡律）拉壓桿的正應(yīng)力平面假設(shè)：實(shí)驗(yàn)并觀察橫截面：變形前為平面；變形后仍保持為平面，并且仍垂直于桿軸線，各相鄰橫截面間只產(chǎn)生相對(duì)的平移。稱為“平面假設(shè)”啟發(fā)式例7-2

圖示為一小吊車架。設(shè)拉桿AB的截面為圓形，直徑為15mm，求其橫截面上的應(yīng)力。

解：求拉桿AB的軸力，由得到其軸力為求AB桿的應(yīng)力，可得

=104.18MPa問題：當(dāng)?shù)踉贐C桿上行駛到其它位置上時(shí)，AB桿的應(yīng)力是否有變化？當(dāng)?shù)踯囆旭傇谑裁次恢脮r(shí)，AB桿的應(yīng)力最大？

拉壓桿的正應(yīng)力例7-3圖示為一矩形截面桿，b=20mm，h=40mm，桿中有一直徑為10mm的圓孔。當(dāng)桿受到F=30kN的拉力作用時(shí)，桿的哪個(gè)橫截面上的正應(yīng)力最大？數(shù)值等于多少？

解：由題意，各橫截面上的軸力相同，但在圓孔的直徑平面m－m上，桿的凈截面最小，該截面所產(chǎn)生的應(yīng)力比其它截面大，桿的最大正應(yīng)力為

關(guān)于應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)描述。應(yīng)力集中處橫截面上的應(yīng)力最大值與不考慮應(yīng)力集中時(shí)的應(yīng)力值(稱為名義應(yīng)力)之比，稱為應(yīng)力集中因數(shù)，用K表示：

（7-2）

圣維南原理關(guān)于加力點(diǎn)附近區(qū)域的應(yīng)力分布

前面已經(jīng)提到拉伸和壓縮時(shí)的正應(yīng)力公式，只有在桿件沿軸線方向的變形均勻時(shí)，橫截面上正應(yīng)力均勻分布才是正確的。因此，對(duì)桿件端部的加載方式有一定的要求。

當(dāng)桿端承受集中載荷或其它非均勻分布載荷時(shí)，桿件并非所有橫截面都能保持平面，并非都是產(chǎn)生均勻的軸向變形。這種情形下，上述正應(yīng)力公式不是對(duì)桿件上的所有橫截面都適用。圣維南原理關(guān)于加力點(diǎn)附近區(qū)域的應(yīng)力分布工程力學(xué)§7.5拉壓桿件的變形

軸向變形和虎克定律

研究思路：實(shí)驗(yàn)——分析——實(shí)驗(yàn)軸向伸長

英國科學(xué)家虎克發(fā)現(xiàn)：

拉壓桿的變形稱為虎克定律式中E為比例常數(shù)，稱為材料拉伸（或壓縮）彈性模量，其數(shù)值大小隨材料而異，由試驗(yàn)確定。

E的常用單位是MPa或GPa。例如鋼材，E=(2.0～2.2)×105MPa或（200～220）GPa。

EA稱為桿的抗拉或抗壓剛度，當(dāng)FN或l不變時(shí)，EA越大，則桿的軸向變形越小，表示了桿件抵抗軸向變形的能力。

（7-3）（7-4）

拉壓桿的變形橫向應(yīng)變、泊松比

當(dāng)桿拉伸時(shí)，橫向尺寸縮短，其橫向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

法國科學(xué)家泊松提出。單位無量綱，通常為0<

ν

<0.5之間。表7-1給出了常用材料的E和ν的值。泊松比和（7-5）拉壓桿的變形例7-5

試求圖所示等截面直桿由自重引起的桿內(nèi)最大正應(yīng)力和軸向總變形。該桿橫截面積A、材料密度、材料的彈性模量E均為已知。

解：自重為一體積力，對(duì)于均質(zhì)材料，可將桿的自重簡(jiǎn)化為沿桿軸線作用的均勻分布線荷線，其集度為q。

（1）桿內(nèi)的最大正應(yīng)力

x截面上的軸力最大軸力在舉例拉壓桿的變形x截面上的應(yīng)力最大應(yīng)力在舉例拉壓桿的變形（2）桿的軸向變形

見黑板具體推導(dǎo)舉例

討論應(yīng)力和變形公式的應(yīng)用條件承受拉伸或壓縮時(shí)桿件橫截面上的正應(yīng)力公式與變形公式

其中，正應(yīng)力公式只有桿件沿軸向方向均勻變形時(shí)，才是適用的。怎樣從受力或內(nèi)力判斷桿件沿軸向方向均勻變形是均勻的呢？

討論應(yīng)力和變形公式的應(yīng)用條件哪些橫截面上的正應(yīng)力可以應(yīng)用拉伸應(yīng)力公式計(jì)算？哪些橫截面則不能應(yīng)用。

強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則中的許用應(yīng)力

其中σ0為材料的極限應(yīng)力或危險(xiǎn)應(yīng)力。所謂危險(xiǎn)應(yīng)力就是材料發(fā)生強(qiáng)度失效時(shí)的應(yīng)力。這種應(yīng)力不是通過計(jì)算，而是通過材料的拉伸實(shí)驗(yàn)得到的。通過拉伸實(shí)驗(yàn)一方面可以觀察到材料發(fā)生強(qiáng)度失效的現(xiàn)象，另一方面可以得到材料失效時(shí)的應(yīng)力值。

工程力學(xué)7.6拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

材料拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能脆性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

強(qiáng)度失效概念與失效應(yīng)力壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能材料拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

進(jìn)行拉伸實(shí)驗(yàn)，首先需要將被試驗(yàn)的材料按國家標(biāo)準(zhǔn)制成標(biāo)準(zhǔn)試樣;然后將試樣安裝在試驗(yàn)機(jī)上，使試樣承受軸向拉伸載荷。通過緩慢的加載過程，試驗(yàn)機(jī)自動(dòng)記錄下試樣所受的載荷和變形，得到應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系曲線，稱為應(yīng)力一應(yīng)變曲線。

不同的材料，其應(yīng)力一應(yīng)變曲線有很大的差異。

材料拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

為了得到應(yīng)力一應(yīng)變曲線，需要將給定的材料作成標(biāo)準(zhǔn)試樣,在材料試驗(yàn)機(jī)上，進(jìn)行拉伸或壓縮實(shí)驗(yàn)。試驗(yàn)時(shí)，試樣通過卡具或夾具安裝在試驗(yàn)機(jī)上。試驗(yàn)機(jī)通過上下夾頭的相對(duì)移動(dòng)將軸向載荷加在試樣上。

材料拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

脆性材料拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線材料拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

材料拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

韌性金屬材料材料拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線工程塑料拉伸時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線材料拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

2134韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

1彈性階段

彈性模量應(yīng)力一應(yīng)變曲線中的直線段稱為線彈性階段。彈性階段中的應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)即為材料的彈性模量E。對(duì)于大多數(shù)脆性材料，其應(yīng)力－應(yīng)變曲線上沒有明顯的直線段，鑄鐵的應(yīng)力－應(yīng)變曲線即屬此例。因?yàn)闆]有明顯的直線部分，常用割線的斜率作為這類材料的彈性模量，稱為割線模量。p

比例極限e

彈性極限韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

比例極限與彈性極限

應(yīng)力一應(yīng)變曲線上線彈性階段的應(yīng)力最高限稱為比例極限，用表示。線彈性階段之后，應(yīng)力－應(yīng)變曲線上有一小段微彎的曲線，這表示應(yīng)力超過比例極限以后，應(yīng)力與應(yīng)變不再成正比關(guān)系，但是，如果在這一階段，卸去試樣上的載荷，試樣的變形將隨之消失。這表明這一階段內(nèi)的變形都是彈性變形，因而包括線彈性階段在內(nèi)，統(tǒng)稱為彈性階段。彈性階段的應(yīng)力最高限稱為彈性極限，用表示。大部分韌性材料比例極限與彈性極限極為接近，只有通過精密測(cè)量才能加以區(qū)分。

s

屈服強(qiáng)度韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

2屈服階段

屈服應(yīng)力

許多韌性材料的應(yīng)力一應(yīng)變曲線中，在彈性階段之后，出現(xiàn)近似的水平段，這一階段中應(yīng)力幾乎不變，而變形急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服，例如圖7-15中所示曲線的BC段。這一階段曲線的最低點(diǎn)的應(yīng)力值稱為屈服應(yīng)力或屈服強(qiáng)度，用表示。

對(duì)于沒有明顯屈服階段的韌性材料，工程上則規(guī)定產(chǎn)生0.2％塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力值為其屈服應(yīng)力，稱為材料的條件屈服應(yīng)力，用表示。0.2條件屈服應(yīng)力—塑性應(yīng)變等于0.2％時(shí)的應(yīng)力值韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

3強(qiáng)化階段

強(qiáng)度極限

應(yīng)力超過屈服應(yīng)力或條件屈服應(yīng)力后，要使試樣繼續(xù)變形，必須再繼續(xù)增加載荷。這一階段稱為強(qiáng)化階段。這一階段應(yīng)力的最高限稱為強(qiáng)度極限，用表示。

應(yīng)變硬化韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

4破壞階段

頸縮與斷裂

某些韌性材料(例如低碳鋼和銅)，應(yīng)力超過強(qiáng)度極限以后，試樣開始發(fā)生局部變形，局部變形區(qū)域內(nèi)橫截面尺寸急劇縮小，這種現(xiàn)象稱為頸縮。出現(xiàn)頸縮之后，試樣變形所需拉力相應(yīng)減小，應(yīng)力一應(yīng)變曲線出現(xiàn)下降階段，直至試樣被拉斷。

韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

韌性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

通過拉伸試驗(yàn)還可得到衡量材料韌性性能的指標(biāo)一延伸率和截面收縮率

其中，l0為試樣原長（規(guī)定的標(biāo)距）；A0為試樣的初始橫截面面積；l1和A1分別為試樣拉斷后長度(變形后的標(biāo)距長度)和斷口處最小的橫截面面積。延伸率和截面收縮率的數(shù)值越大，表明材料的韌性越好。工程中一般認(rèn)為δ>5％者為韌性材料；δ＜5％者為脆性材料。脆性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

對(duì)于脆性材料，從開始加載直至試樣被拉斷，試樣的變形都很小。而且，大多數(shù)脆性材料拉伸的應(yīng)力－應(yīng)變曲線上，都沒有明顯的直線段，幾乎沒有塑性變形，也不會(huì)出現(xiàn)屈服和頸縮現(xiàn)象，因而只有斷裂時(shí)的應(yīng)力值－強(qiáng)度極限。

脆性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能材料壓縮實(shí)驗(yàn)，通常采用短試樣。低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線。與拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線相比較，拉伸和壓縮屈服前的曲線基本重合，即拉伸、壓縮時(shí)的彈性模量及屈服應(yīng)力相同，但屈服后，由于試樣愈壓愈扁，應(yīng)力一應(yīng)變曲線不斷上升，試樣不會(huì)發(fā)生破壞。

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線，與拉伸時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變曲線不同的是，壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限氏卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于拉伸時(shí)的數(shù)值，通常是拉伸強(qiáng)度極限的4－5倍。對(duì)于拉伸和壓縮強(qiáng)度極限不等的材料，拉伸強(qiáng)度極限和壓縮強(qiáng)度極限分別用和表示。這種壓縮強(qiáng)度極限明顯高于拉伸強(qiáng)度極限的脆性材料，通常用于制作受壓構(gòu)件。

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

強(qiáng)度失效概念與失效應(yīng)力強(qiáng)度指標(biāo)(失效應(yīng)力)韌性材料σ0＝σS

脆性材料σ0＝σb脆性材料韌性金屬材料拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

強(qiáng)度失效概念與失效應(yīng)力拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

強(qiáng)度失效概念與失效應(yīng)力如果構(gòu)件發(fā)生斷裂，將完全喪失正常功能，這是強(qiáng)度失效的一種最明顯的形式。如果構(gòu)件沒有發(fā)生斷裂而是產(chǎn)生明顯的塑性變形，這在很多工程中都是不允許的，因此，當(dāng)發(fā)生屈服，產(chǎn)生明顯塑性變形時(shí)，也是失效。根據(jù)拉伸實(shí)驗(yàn)過程中觀察的現(xiàn)象，強(qiáng)度失效的形式可以歸納為

韌性材料的強(qiáng)度失效－屈服與斷裂；

脆性材料的強(qiáng)度失效－斷裂。

拉伸與壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

強(qiáng)度失效概念與失效應(yīng)力因此，發(fā)生屈服和斷裂時(shí)的應(yīng)力，就是失效應(yīng)力，也就是強(qiáng)度設(shè)計(jì)中的危險(xiǎn)應(yīng)力。韌性材料與脆性材料的強(qiáng)度失效應(yīng)力分別為：

韌性材料的強(qiáng)度失效應(yīng)力－屈服強(qiáng)度(或條件屈服強(qiáng)度)、強(qiáng)度極限;脆性材料的強(qiáng)度失效應(yīng)力－強(qiáng)度極限。作業(yè)習(xí)題7-1，7-2,7-4，7-6，7-77-8,7-10,7-147-12§7.7拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算工作應(yīng)力容許應(yīng)力和安全系數(shù)材料的極限應(yīng)力韌性材料脆性材料σ0＝σSσ0＝σb安全因數(shù)n材料試驗(yàn)差異計(jì)算荷載的準(zhǔn)確性組裝的偏差σu拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算材料的容許應(yīng)力[σ]＝安全因數(shù)n選取工程及構(gòu)件的重要性經(jīng)濟(jì)性材料的變異性通常，對(duì)于靜荷載韌性材料n=1.2~2.0脆性材料n=2.0~5.0（7-6）拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件和強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于等截面直桿，軸力最大的截面——危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面上應(yīng)力最大點(diǎn)——危險(xiǎn)點(diǎn)等截面直桿的強(qiáng)度條件為（7-7）由此，三大任務(wù)：強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)面積容許荷載拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)面積容許荷載拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算舉例例7-8用兩根鋼索吊起一扇平面閘門。已知閘門的起門力為60kN,鋼索材料的容許應(yīng)力[σ]=170MPa,試求：鋼索所需的直徑d。解：每根鋼索的軸力為由式（7-7）得得：拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算舉例例7-10圖示結(jié)構(gòu)是由兩根桿組成的桁架。已知AC桿截面450mm2,BC桿截面250mm2,材料的容許應(yīng)力[σ]=100MPa,試求結(jié)構(gòu)的容許荷載。解：（1）各桿軸力與荷載F的關(guān)系由平衡條件拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算舉例解出：各桿軸力為（2）求容許荷載，由式（7-7）可得拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算舉例所以結(jié)構(gòu)的容許荷載為§7.8拉壓超靜定問題約束力或內(nèi)力均可由靜力平衡條件求得

——靜定問題約束力或內(nèi)力僅由靜力平衡條件不能求得

——超靜定問題拉壓超靜定問題在超靜定問題中，存在著“多余”的維持平衡所需的約束。——稱為多余約束由于多余約束的存在，未知力（內(nèi)力或反力）的個(gè)數(shù)目必然多于獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)，多出的個(gè)數(shù)就是超靜定次數(shù)。因此，解決超靜定問題僅有平衡方程是不夠的，需要補(bǔ)充條件，才能求解未知力（內(nèi)力或反力）。求解超靜定問題的方法是：獨(dú)立的平衡方程+補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)條件聯(lián)立求解。拉壓超靜定問題例7-11

圖示結(jié)構(gòu)為一兩端固定的等直桿。已知桿的拉壓剛度EA,求兩端的約束反力。解：分析桿的受力。桿AB為拉壓桿，因此兩端的約束反力也是沿軸線方向，兩個(gè)未知力靜力平衡方程：FA+FB=F(a)需要補(bǔ)充條件?？紤]變形協(xié)調(diào)條件

(b)舉例拉壓超靜定問題由胡克定理，寫出變形與軸力的關(guān)系：(c)(c