初中數(shù)學北師大版八年級下冊第五章分式與分式方程4．分式方程“黃岡賽”一等獎

課題：分式方程課型：新授課年級：八年級教學目標：1．經(jīng)歷分式方程的概念，能將實際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示，體會分式方程的模型作用．2.經(jīng)歷“實際問題－分式方程方程模型”的過程，發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想人體，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識.教學重點與難點：重點：能根據(jù)實際問題的數(shù)量關(guān)系列出分式方程，歸納出分式方程的定義.難點：能根據(jù)實際問題中的等量關(guān)系列出分式方程.教學過程：一、創(chuàng)設(shè)情景，自然引入在這一章的第一節(jié)《分式》中，我們曾研究過一個“固沙造林，綠化家園”的問題：面對目前嚴重的土地沙化問題，某縣決定分期分批固沙造林，一期工程計劃在一定期限內(nèi)固沙造林2400公頃，實際每月固沙造林的面積比原計劃多30公頃，結(jié)果提前4個月完成原計劃任務(wù)．那么原計劃每月固沙造林多少公頃呢？當時，我們設(shè)原計劃每月固沙造林x公頃，那么原計劃完成一期工程需要個月，實際完成一期工程用了個月.根據(jù)題意，可得方程.中，，是不同于整式的代數(shù)式，我們稱之為分式.像這樣的方程我們稱之為分式方程，它和我們學過的一元一次方程一樣能刻畫現(xiàn)實世界，是一種反映現(xiàn)實世界的數(shù)學模型.今天我們共同走進它，研究它．【教師板書課題：分式方程（1）】設(shè)計意圖：通過前面學過的題目，做好知識的銜接，通過實際問題引入，也說明數(shù)學來源于生活實際，實際問題需要進一步學習數(shù)學，同時激發(fā)學生的求知欲，引入新課.．二、交流討論探索新知活動1：路程問題同學們認識這兩種車嗎？（出示圖片）它們的區(qū)別同學們知道嗎？第一種是特快列車，第二種是高鐵列車．一般來講高鐵速度最快（平均時速300km/h左右），特快最慢（平均時速100km/h左右），高鐵也屬于動車的一種，與普通動車的區(qū)別主要是使用專用路線，所用車底也不一樣．特快與平時最常見的列車沒有太大區(qū)別，停站少，總體運行速度稍快而已．設(shè)計意圖：課外知識的擴充，充分地調(diào)動了學生學習的熱情和積極性，為下一步解疑創(chuàng)造良好的氛圍．師：現(xiàn)在就一道有關(guān)這兩種列車的數(shù)學問題考考同學們，接受挑戰(zhàn)吧?。ǘ嗝襟w出示）甲、乙兩地相距1400甲、乙兩地相距1400km，乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用9h，已知高鐵列車的平均行駛速度是特快列車的倍．問題：(1)你能找出這一問題中有哪些等量關(guān)系？（兩兩交流）(2)如果設(shè)特快列車的平均行駛速度為xkm/h，那么x滿足怎樣的方程？(3)如果設(shè)小明乘高鐵列車從甲地到乙地需yh，那么y滿足怎樣的方程？處理方式:小組討論交流，教師巡視指導.由小組代表講一講想法.(1)等量關(guān)系:乘高鐵列車所用的時間+9h=乘特快列車所用的時間．高鐵列車速度=特快列車速度×．乘高鐵列車所用的時間==．乘特快列車所用的時間=．(2)如果設(shè)特快列車的平均行駛速度為xkm/h，那么x滿足方程：．(3)如果設(shè)小明乘高鐵列車從甲地到乙地需yh，那么y滿足方程：．設(shè)計意圖：利用學生好奇的心理創(chuàng)設(shè)問題，在學生感到新奇的過程中激發(fā)學生強烈的求知欲，無疑對本節(jié)課的學習創(chuàng)設(shè)了良好的氛圍；通過設(shè)置問題串，使學生拾階而上，降低了學習的難度，增強了自信心，贏得了成就感．活動2：捐款問題我國是世界上自然災(zāi)害種類最多的國家，自然災(zāi)害也給一些地區(qū)造成重創(chuàng)（播放圖片），每當這時全國人民都會紛紛伸出友誼之手，捐出自己的一份愛．設(shè)計意圖：通過生活中的情境，激發(fā)學生的學習興趣，為下面問題的提出做鋪墊.（多媒體出示）為了幫助遭受自然災(zāi)害地區(qū)重建家園，某學校號召同學自愿捐款．已知七年級同學捐款總額為4800元，八年級同學捐款總額為5000元，八年級捐款人數(shù)比七年級多20人，而且兩個年級人均捐款額恰好相等，如果設(shè)七年級捐款人數(shù)為為了幫助遭受自然災(zāi)害地區(qū)重建家園，某學校號召同學自愿捐款．已知七年級同學捐款總額為4800元，八年級同學捐款總額為5000元，八年級捐款人數(shù)比七年級多20人，而且兩個年級人均捐款額恰好相等，如果設(shè)七年級捐款人數(shù)為x人，那么x滿足怎樣的方程？溫馨提示：可借助表格分析題目．

捐款總額捐款人數(shù)人均捐款額第一次

第二次

處理方式：學生獨立思考，然后組織討論，交流，教師巡視，給予必要的指導.教學建議：要給學生一定的思考時間，讓學生積極投身于問題情景中，此時，每位同學都有了一定的找等量關(guān)系的感覺，先讓他們自己完成，再小組討論．如果設(shè)七年級捐款人數(shù)為x人，根據(jù)題意，可得方程：.（師黑板板書）設(shè)計意圖：讓學生熟練掌握“找等量關(guān)系——列分式方程”，并將此所得方程和前兩個方程，作為下面歸納分式方程定義的依據(jù).活動三：感悟升華（多媒體出示），，，．上面所得到的方程有什么共同特點？這樣的方程怎么稱呼?特點：分母中都含有未知數(shù)，這些方程都有分式.強調(diào)方式方程的定義：分母中含有未知數(shù)方程是分式方程.溫馨提示：溫馨提示：判斷分式方程的條件：①方程；②分母中含有未知數(shù)?！靖櫨毩暋空艺铱?！下列方程哪些是整式方程，哪些是分式方程?（1）；（2）；（3）；（4）.思考：整式方程與分式方程有什么區(qū)別？整式方程的分母中不含有未知數(shù)，分式方程的分母中含有未知數(shù).設(shè)計意圖：通過讓學生通過觀察、歸納、總結(jié)出整式方程與分式方程的異同，從而得出分式方程的概念三、課堂練習，鞏固提高1.據(jù)聯(lián)合國《2023年全球投資報告》指出,中國2023年吸收外國投資額達530億美元,居全球第二位,比上一年增加了13%.設(shè)2023年我吸國收外國投資額為x億美元，請你寫出x滿足的方程.你能寫出幾個？其中哪一個是分式方程？參考答案：2.［小麥實驗田問題］有兩塊面積相同的小麥試驗田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg和15000kg.已知第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000kg，分別求這兩塊試驗田每公頃的產(chǎn)量.提出問題：1.在這個問題中涉及到了哪幾個基本量？它們的關(guān)系如何？涉及到三個基本量：總產(chǎn)量，每公頃試驗田的產(chǎn)量，試驗田的面積.其中總產(chǎn)量=每公頃試驗田的產(chǎn)量×試驗田的面積.第一塊試驗田的面積=第二塊試驗田的面積;（a）第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量+3000kg=第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量.（b）問題2.如果設(shè)第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量為xkg，那么第二塊試驗田每公傾的產(chǎn)量是多少kg呢？法1：根據(jù)等量關(guān)系（b），可知第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量是（x+3000）kg.根據(jù)題意，利用等量關(guān)系（a），可得方程：=. 法2：根據(jù)等量關(guān)系（a），我們可以設(shè)兩塊試驗田的面積都為x公頃，那么表示第一塊試驗田每公頃的產(chǎn)量，表示第二塊試驗田每公頃的產(chǎn)量，根據(jù)等量關(guān)系（b）可列出方程：+3000= （3）處理方式：學生獨立思考后舉手口答.（多媒體展示）3.從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長600km的普通公路，另一條是全長480km的高速公路.某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半.求該客車由高速公路從甲地到乙地所需的時間.思考：這一問題中有哪些等量關(guān)系？如果設(shè)客車由高速公路從甲地到乙地所需的時間為h，那么它由普通公路從甲地到乙地所需的時間為_________h.根據(jù)題意，可得方程______________________.處理方式：學生分組探討、交流，列出方程.設(shè)計意圖：通過設(shè)置較低的起點，讓學生更容易理解，通過不斷的交流——總結(jié)，讓學生掌握并鞏固知識，不但可以提高學生的課堂學習效率，也有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新能力.四、課堂小結(jié)，反思提高通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？有何感想？你學會了哪些方法？處理方式：學生口答:什么是分式方程？注意掌握列分式方程的基本步驟：一審：審清題意，弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系.二設(shè)：設(shè)未知數(shù).三列：列代數(shù)式，列方程.設(shè)計意圖：讓學生通過總結(jié)反思，了解自己本節(jié)課知識掌握的程度，進一步升華對本節(jié)重點知識的理解.四、達標檢測，反饋矯正1、下列各式中，是分式方程的是()+y=5 B.C. D.=02.“退耕還林還草”是在我國西部地區(qū)實施的一項重要生態(tài)工程．某地規(guī)劃退耕面積共69000，退耕還林與退耕還草的面積比為5∶3，設(shè)退耕還林的面積為x，那么x滿足怎樣的分式方程？3.王軍同學準備在課外活動時間組織部分同學參加電腦網(wǎng)絡(luò)培訓，按原定的人數(shù)估計共需費用300元。后因人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍，費用享受了優(yōu)惠，一共只需要480元，參加活動的每個同學平均分攤的費用比原計劃少4元，原定的人數(shù)是多少？處理方式：討論后，各小組可選代表回答上面的問題.參考答案：3題設(shè)未知數(shù)的方法采用下面方法：法1：設(shè)原定是x人，那么每人平均分攤元；人數(shù)增加到原來人數(shù)的2倍后，每人平均分攤元，根據(jù)題意，利用等量關(guān)系（d），得方程：－4= . 法2：設(shè)原定每人平攤y元，那么原定人數(shù)為人；實際參加活動的每個同學平攤（y－4）元，那么實