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文檔簡介
第二、三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念
二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的性質(zhì)函數(shù)項級數(shù)與冪級數(shù)
第四章一、函數(shù)項級數(shù)的概念(1)設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).(2)對若常數(shù)項級數(shù)所有收斂點的全體稱為其收斂域X;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,為其收斂點,
為其發(fā)散點,所有發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域
.為級數(shù)的和函數(shù)
,并寫成(4)若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n
項的和,即(3)在收斂域X上,函數(shù)項級數(shù)的和是
x
的函數(shù)稱它二、函數(shù)項級數(shù)的收斂域1.借助于已有級數(shù)(幾何級數(shù),p級數(shù))斂散性例1.
求級數(shù)的收斂域。解:它的收斂域是區(qū)間有和函數(shù)上面級數(shù)可看成以為公比的等比級數(shù)。又如,
級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為2.借助于數(shù)項級數(shù),利用比值(根值)法求
利用比值(根值)法判別絕對值級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散的性質(zhì)。設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.(3)當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。步驟:1.用比值(根值)法求;2.解不等式求出的收斂區(qū)間3.考查時,級數(shù)的斂散性;4.寫出的收斂域。例2.
求級數(shù)的收斂域。解:解不等式原級數(shù)化為令得收斂;原級數(shù)化為令收斂;原級數(shù)收斂域是練習(xí):
求級數(shù)的收斂域。#20140303012.借助于數(shù)項級數(shù),利用比值(根值)法求1.借助于已有數(shù)項級數(shù)(幾何級數(shù),p級數(shù))斂散性一般函數(shù)項級數(shù)收斂域求法三、冪級數(shù)及其收斂性
(1)形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列為冪級數(shù)的系數(shù)
.稱令則冪級數(shù)化為不失一般性,下面討論冪級數(shù)(2)冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域任何冪級數(shù)在0都收斂。由例1知其收斂域是一個區(qū)間。定理1.(Abel定理)
若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x
冪級數(shù)都絕對收斂.在的一切x,該冪級數(shù)也發(fā)散.點發(fā)散,則對滿足不等式發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散阿貝爾(1802–1829)挪威數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.他在22歲時就解決了用根式解5次方程的不可能性問題
,他還研究了更廣的一并稱之為阿貝爾群.在級數(shù)研究中,他得
到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級數(shù)求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數(shù)研究開拓了道路.數(shù)學(xué)家們工作150年.類代數(shù)方程,他是橢圓函數(shù)C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供后人發(fā)現(xiàn)這是一類交換群,證:
設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足且使級數(shù)收斂,級數(shù)在點的x,原冪級數(shù)也發(fā)散
.
則對一切滿足不等式則由前可知也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾。證畢設(shè)發(fā)散,界點
因此,當(dāng)我們從原點出發(fā),沿數(shù)軸向兩方走,后來遇到的全部是發(fā)散點.起初只遇到收斂點,討論:在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性正確描述是()答:在界點處級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散,在兩個界點處的斂散性未必相同,要單獨討論.(a)在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性相同,且都發(fā)散(b)在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性不同,且必有一個發(fā)散(c)在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性不同,但不能絕對收斂(d)在界點處函數(shù)項級數(shù)斂散性絕對收斂,條件收斂,發(fā)散均可能#2015031301定義1若冪級數(shù)在這個R稱為冪級數(shù)的收斂半徑,而把開區(qū)間(-R,R)稱為收斂區(qū)間。冪級數(shù)在(-∞,+∞)收斂,規(guī)定R=0;冪級數(shù)僅在x=0收斂,R=
。(1)冪級數(shù)的收斂域是區(qū)間;(2)冪級數(shù)在(a,b)內(nèi)收斂,在(a,b)外發(fā)散,例3.
設(shè)在處收斂,則此級數(shù)在處收斂性如何?(A)條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散(D)太難確定了#2014030302例3.
設(shè)在處收斂,則此級數(shù)在處收斂性如何?解:
令設(shè)級數(shù)的收斂半徑為R。收斂,由阿貝爾定理1.
已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑性質(zhì)為思考#2014030303冪級數(shù)由它的系數(shù)數(shù)列所確定,故其收斂半徑R也應(yīng)由唯一確定定理2.
若的系數(shù)滿足1)當(dāng)≠0時,2)當(dāng)=0時,3)當(dāng)=∞時,則證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,即時,因此級數(shù)的收斂半徑2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意
x原級數(shù)因此因此注意(1)缺項的冪級數(shù)不能直接用此定理解決:(ii)用一般級數(shù)收斂域求法(i)作變換(2)也可以由根值法求收斂半徑對端點
x=-1,
的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;
級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數(shù)
例2.的收斂半徑.解:
級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由比值例3.的收斂域.#2014030501例3.的收斂域.解:
令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2
時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2
時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即2.
在冪級數(shù)中,n
為奇數(shù)n
為偶數(shù)它的收斂半徑?思考#20140303042.
在冪級數(shù)中,n
為奇數(shù)n
為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:
不能.
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