第四章第3節(jié)多維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差

§4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差§4.2常見隨機(jī)變量的期望與方差§4.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)與矩第四章

隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.3.1多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理4.3.1

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)，則E(Z)=E[g(X,Y)]=§4.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)與矩課堂練習(xí)在長為a的線段上任取兩點(diǎn)X與Y，求兩點(diǎn)間的平均長度.求E(|XY|)4.3.2數(shù)學(xué)期望與方差的運(yùn)算性質(zhì)1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y),(性質(zhì)3.4.1)

(性質(zhì)3.4.2)討論X+Y的方差1.

Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E[XE(X)][YE(Y)]3.當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，E[XE(X)][YE(Y)]=0.4.當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，Var(XY)=Var(X)+Var(Y).2.E[XE(X)][YE(Y)]=E(XY)E(X)E(Y)注意：以上命題反之不成立.4.3.3

協(xié)方差定義4.3.1稱

Cov(X,Y)=E[XE(X)][YE(Y)]為X與Y的協(xié)方差.協(xié)方差的性質(zhì)(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).

(性質(zhì)3.4.7)(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).

(性質(zhì)3.4.4)(2)若X與Y獨(dú)立，則

Cov(X,Y)=0.(性質(zhì)3.4.5)(6)

Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性質(zhì)3.4.9)(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)

(性質(zhì)3.4.6)(5)Cov(X,a)=0.

(性質(zhì)3.4.8)(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性質(zhì)3.4.10)課堂練習(xí)1

X與Y獨(dú)立，Var(X)=6，Var(Y)=3，則

Var(2XY)=().

27課堂練習(xí)2X~P(2)，Y~N(2,4)，X與Y獨(dú)立，則E(XY)=();

E(XY)2=().422解：記“Xi

=1”=“第i個(gè)人拿對自己的禮物”“Xi

=0”=“第i個(gè)人未拿對自己的禮物”配對模型的數(shù)學(xué)期望和方差n個(gè)人、n件禮物，任意取.

X為拿對自已禮物的人數(shù)，求E(X),Var(X)則因?yàn)镋(Xi)=1/n,所以E(X)=1.又因?yàn)樗訣(XiXj)=1/[n(n1)],XiXjP0111/[n(n1)]1/[n(n1)]由此得又因?yàn)樗韵扔?jì)算E(XiXj),XiXj的分布列為所以4.3.4

相關(guān)系數(shù)定義4.3.2

稱Corr(X,Y)=為X與Y的相關(guān)系數(shù).若記注意點(diǎn)則相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(1)施瓦茨不等式{Cov(X,Y)}2Var(X)Var(Y).

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)(2)1Corr(X,Y)1.

(3)Corr(X,Y)=1X與Y幾乎處處有線性關(guān)系。(性質(zhì)3.4.11)(性質(zhì)3.4.12)P(Y=aX+b)=1Corr(X,Y)的大小反映了X與Y之間的線性關(guān)系：注意點(diǎn)

Corr(X,Y)接近于1，X與Y間正相關(guān).

Corr(X,Y)接近于1，X與Y間負(fù)相關(guān).

Corr(X,Y)接近于0，X與Y間不相關(guān).沒有線性關(guān)系例4.3.1設(shè)

(X,Y)的聯(lián)合分布列為X101Y

1011/81/81/81/801/81/81/81/8求X,Y的相關(guān)系數(shù).解:=0同理=3/4E(Y)=E(X)=0另一方面=1/81/81/8+1/8=0所以Cov(X,Y)即Corr(X,Y)

=0E(Y2)=E(X2)=3/4=E(XY)E(X)E(Y)=0例4.3.2

(X,Y)~p(x,y)=求X,Y的相關(guān)系數(shù)解:=7/6=5/3所以,Var(X)=Var(Y)=11/36=4/3

二維正態(tài)分布的特征數(shù)(1)X~N(1,12),Y~N(2,22);(3)X,Y獨(dú)立

=0.(2)參數(shù)為X和Y的相關(guān)系數(shù);(4)不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià).4.3.5隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣定義4.3.3

記稱，則為的協(xié)方差陣，記為或定理4.3.2協(xié)方差陣對稱、非負(fù)定