第四章特征值和特征向量

第四章特征值(eigenvalue)矩陣的特征值矩陣的特征向量（eigenvecter)矩陣可對角化的條件概念的引出1.幾何上方向不變問題（特征向量），工程技術中震蕩問題（特征值）2.有趣的例子，橋梁共振（1831年士兵齊步過橋）如果以頻率（同特征值之一相同）；蕩秋千，用力方向（與特征向量一致）和用力時機（頻率和特征值相同）恰當可以蕩的更高。3.經濟預測問題(一)特征值和特征向量Def4.1

設A是n階方陣，如果數λ和n維非零列向量x使關系式Ax=λx(1)成立，則稱λ是方陣A的特征值；稱x為A的對應于特征值λ的特征向量.（見引例）問題：對于一般n階方陣如何求滿足（1）的λ和x？這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，即它有非零解的充要條件是系數行列式

分析：（1）式也可寫為Def4.2特征矩陣:方程組(2)的系數矩陣A-λI;說明：1.A的特征值：|A-λI|=0全部解2.在復數范圍內，n階方陣A有n個特征值（重根按重數計算）.3.特征向量：對于每個λ，的全部非零解特征多項式:|A-λI|是λ的n次多項式f(λ)特征方程:|A-λI|=0例1

已知是的一個特征向量，試確定參數解

由特征值和特征向量的定義可知，

及特征向量所對應的特征值.即于是所以即所求解為特征值和特征向量的求法

（1）求出階方陣

的特征多項式

求階方陣

的特征值與特征向量的步驟：

（2）求出特征方程的全部根，（3）把每個特征值代入線性方程組（2），即是

的特征值；

求出基礎解系，就是對應于的特征向量，基礎解系的線性組合（零向量除外）就是對應于的全部特征向量．例2

求矩陣的特征值和特征向量．解

的特征多項式為

所以

的特征值為

當時，對應的特征向量應滿足

于是，的對應的全部特征向量為容易求得方程組的一個基礎解系為

當時，由

（為常數）解得基礎解系

于是，的對應的全部特征向量為

（為常數）特征值和特征向量的性質

Th4.1

設

是階方陣，Th4.2

設是方陣

的特征值，,則

（1）是的特征值；

（2）是的特征值.則與有相同的特征值.以下定理是書上eg5的結果Th4.4設階方陣的個特征值為（1），其中是的主對角元之和，稱為矩陣的跡，記作（2）推論

階方陣可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零.

則定理4

設是方陣

的個特征值，例3三階方陣的三個特征值分別為求依次是與之對應的特征向量.如果各不相等，則線性無關.解可逆，所以而故其中所以的特征值為于是例4是的特征根，可逆時，是的特征根.應用（發(fā)展與環(huán)保問題）為了定量分析工業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染的關系，某地區(qū)提出如下增長模型：

和為第個周期后的污染損耗和工業(yè)產值.即或由此模型及當前的水平，可以預測若干發(fā)展周期后的水平：下面利用矩陣特征值和特征向量的有關性質，的特征多項式為

所以，的特征值為來計算的冪.為此，先計算的特征值.對于特征值，解齊次線性方程組的一個特征向量對于特征值，解齊次線性方程組的一個特征向量可得的屬于可得的屬于如果當前的水平恰好等于，則時，即它表明，經過

個發(fā)展周期后，工業(yè)產值已達到一個相當高的水平，但其中一半被污染損耗所抵消，造成資源的嚴重浪費.如果當前的水平，則不能直接應用上述方法分析.于是此時由于特別地，當時，污染損耗為由上面的分析可以看出：工業(yè)產值為，損耗已超過了產值，經濟將出現(xiàn)負增長.盡管的特征向量沒有實際意義但任一具有實際意義的向量都可以表示為的線性組合從而在分析過程中，仍具有重要作用.因中含負分量三相似矩陣概念與性質

定義1

設都是階方陣，若有可逆矩陣則稱是的相似矩陣，或說矩陣與相似.對進行運算稱為對

進行相似變換.可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣.使設為階方陣，則相似矩陣有下列（1）反身性；（2）對稱性；（3）傳遞性.定理1

若與相似，則

（1）與

有相同的特征多項式和特征值；

（2）（3）（4）與也相似，其中為正整數.基本性質：矩陣可對角化的條件

把方陣對角化方法，即求相似變換矩陣定理2

階方陣相似于階對角矩陣的推論

如果階方陣有個互不相等特征值，使為對角陣.充要條件是有個線性無關的特征向量.則與對角矩陣相似.例1已知矩陣與相似.（1）求與；（2）求一個可逆矩陣，使

（3）求解

（1）因與相似，故即將代入有；（2）的特征值為－1，2，－2，將代入有解齊次線性方程組可分別求得的對應特征向量于是所求可逆矩陣

使（3）由于，于是

所以四實對稱矩陣的相似矩陣實對稱矩陣特征值的性質定理1

實對稱矩陣的特征值為實數.定理3

設λ是n階實對稱矩陣A的r重特征值，則矩陣A?λE的秩為n?r，從而對應特征值λ恰有r個線性無關的特征向量.定理2

實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交.實對稱矩陣的相似理論

定理4

任意實對稱矩陣都與對角矩陣相似.定理5

設

為

階實對稱矩陣，則存在正交矩陣，使，其中是以的個特征值為對角元素的對角矩陣

實對稱矩陣對角化方法階實對稱矩陣對角化的具體步驟:（1）求出特征方程（2）對每一特征值，解齊次線性方程組求得它的一個基礎解系

所有不同的根其中為的重特征值

（3）利用Schmidt正交化方法，（4）記則為正交矩陣，使把正交化，得到正交向量組再單位化，得到正交單位向量組并且排列順序與P中正交規(guī)范向量組的排列順序相對應.其中，矩陣的主對角線元素的重數為例1設求一個正交矩陣，使為對角矩陣.解

的特征方程為

當時，解方程組得基礎解系單位化后得

當時，解方程組故的特征值為

得基礎解系

這兩個向量已