第9章矩陣特征值和特征向量

第九章矩陣的特征值與特征向量

/*Eigen-valuesandEigen-vectorsofmatrix*/

待求解的問題：矩陣的特征值和特征向量x

0，滿足:Ax=xor(I-A)x=0Eigen-valueEigen-vector工程技術(shù)中的許多問題例如電磁振蕩、橋梁振動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)等，都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量問題----代數(shù)計(jì)算中的重要課題。②特征向量:已知A的特征值，求齊次線性方程組

的非零解x,（,所以有非零解。）為A對(duì)應(yīng)于的特征向量。

如何求解?特征值：已知A=(aij)nn，求A的特征多項(xiàng)式的根有n個(gè)零點(diǎn)（實(shí)或復(fù)，計(jì)重?cái)?shù)）：即求解代數(shù)方程A的特征值從理論上講，可利用代數(shù)方程求根求出特征值，再利用線性方程組的解法，求出特征向量。

缺點(diǎn)：工作量大且特征向量對(duì)矩陣的依賴很高；當(dāng)矩陣階數(shù)較高時(shí)，高次代數(shù)方程求根的計(jì)算穩(wěn)定性較差。另外，實(shí)際問題中的具體要求不同，有時(shí)只要求A的絕對(duì)值最大的特征值（主特征值）及相應(yīng)的特征向量；有時(shí)又要求全部的特征值及特征向量。根據(jù)這兩種不同要求，求矩陣的特征值與特征向量的方法也大致分為兩類：迭代法（冪法反冪法）、變換法。關(guān)于矩陣特征值及特征向量的一些結(jié)論：

Th1.（i=1,…,n）為A的特征值，則有1.2.det(A)=Th2、AB(相似)，即存在可逆陣T，使B=T-1AT,則

1.A與B有相同的特征值。

2.設(shè)x是B的關(guān)于的特征向量,則Tx是A的關(guān)于

的特征向量。Th3、（Gershgorin’s定理,園盤定理）：A=(aij),則A的每個(gè)特征值必在下述某個(gè)園盤中：

A的每行元素確定一個(gè)圓盤，共n個(gè)。Th3表明A的任一特征值必在這n個(gè)圓盤中的某一個(gè)內(nèi)。證明：設(shè)為A的任一特征值，x0為對(duì)應(yīng)特征向量，則有(I-A)x=0,設(shè)|xi|=max|xj|,顯然xi0,第i個(gè)方程：Th3的證明過程表明A的任一特征值必在其對(duì)應(yīng)特征向量模最大的分量的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的圓盤中。

稱為A對(duì)應(yīng)于向量x的Rayleigh商。

Def1.Ann

—實(shí)對(duì)稱陣，0xRn,Th4.Ann

—實(shí)對(duì)稱陣，其特征值依次排序?yàn)?對(duì)應(yīng)特征向量組成規(guī)范正交系，即，則1.0xRn,2.3.Proof.0xRn,formsanorthogonalbasisofRn,soitispossibletowritexaswherenotallcouldbezero.Thuswehave====2.From1weknow

soweonlyneedtoprovethereexistsan

x0suchthat

Takingx=x1,weget3.Proofissimilarto2.§1冪法與反冪法（按模最大與最小特征值的求法）

冪法：求模最大的特征值—主特征值及相應(yīng)特征向量的迭代法。用A的乘冪構(gòu)造迭代序列，因此稱為冪法。

條件：ARnn具有線性初等因子

A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單，適合稀疏矩陣。

缺點(diǎn)：有時(shí)收斂速度很慢。Algorithm1.supposeAhaseigen-values(Thisimpliesisasinglerealrootofthecharacteristicpolynomial;else)，andnindependenteigen-vectors.Takeaninitialvectorstarttheiterationsystem

ConvergenceanalysisofAlgorithm1....

isaneigen-vectorofA,and

isalsoaneigen-vectorcorrespondingtoofA.ThesameisEigen-vectorEigenvalue1Th5.ARnn有n個(gè)線性無關(guān)特征向量主特征值1滿足則做迭代有Principaleigenvalue1summaryiterationsystemeigen-vectorcorrespondingto1收斂速度：主要由來確定，r越小，收斂越快。時(shí)收斂可能很慢。2.若有，說明10，

以及都不能作為近似特征向量，需要重新取初始向量再迭代。3.用冪法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，若

在計(jì)算機(jī)中會(huì)產(chǎn)生“溢出”或“機(jī)器零”的情況（超過計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)所能表示的精度）noteAlgorithm2(improvementofA.1).ConvergenceanalysisofA.2.Max(x)取出向量x中模最大的分量對(duì)應(yīng)1的特征向量x1的規(guī)范化向量Th6.ARnn有n個(gè)線性無關(guān)特征向量主特征值1滿足則做迭代有§2平面旋轉(zhuǎn)矩陣雅可比法的基本思想:設(shè)法用一系列簡(jiǎn)單的正角陣Rk,逐步地將A

化為近似對(duì)角陣(非對(duì)角元近似化為0)。即選擇Rk,令A(yù)的全部特征值問題的關(guān)鍵：如何構(gòu)造正交陣Rk？

平面旋轉(zhuǎn)變換雅可比算法:設(shè)Ak-1(k1,A0

=A)未對(duì)角化，即非對(duì)角元中有較大的元素，設(shè)非對(duì)角元中按模最大的元素是引入平面旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)肦k(p,q)對(duì)Ak-1作旋轉(zhuǎn)變換，使中的非對(duì)角元應(yīng)滿足常將限制在對(duì)Jacobi算法有幾點(diǎn)說明：1.構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)只需計(jì)算sin,cos,為了防止舍入誤差擴(kuò)大，sin,cos按下面公式計(jì)算：否則，2.由于Ak是對(duì)稱陣，因此只要計(jì)算上三角（或下三角）元素即可，既節(jié)省計(jì)算量，有能保證Ak嚴(yán)格對(duì)稱。3.的計(jì)算過程如下：4.Ak中經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換化為零的元素，可能在Ak+1中又成為非零元素，因此不能期望通過有限次旋轉(zhuǎn)變換將原矩陣A對(duì)角化，但可證證明Jacobi法的收斂性由前面推論知5.實(shí)際計(jì)算時(shí)，當(dāng)k充分大或者當(dāng)時(shí)迭代終止，A的全部近似特征值6.特征向量的計(jì)算：設(shè)經(jīng)過m次旋轉(zhuǎn)變換迭代結(jié)束，則說明Pm的第j列就是j的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量的近似值。實(shí)際計(jì)算時(shí)，并不是保留到最后才形成Pm，而是逐步形成的。令

每一步的計(jì)算公式為7.對(duì)經(jīng)典Jacobi法的改進(jìn)-----避免每次在非對(duì)角元中選主元素花費(fèi)太多時(shí)間：循環(huán)雅可比法和雅可比過關(guān)法。雅可比過關(guān)法：1.設(shè)閾值T0(一般取為)，在A的非對(duì)角元中按行（或列）掃描（只需掃描上（或下）三角元素），即按如下順序與閾值T0作比較：若|aij|<T0,則過關(guān)；否則，作一次旋轉(zhuǎn)變換使aij=0。2.設(shè)閾值T1=T0/n,重復(fù)上述過程，直到滿足精度要求為止。按行掃描按列掃描循環(huán)雅可比法：不選主元素，直接將非對(duì)角元素按列（或行）的次序掃描并依次化為0。由于前面已化為0的元素在后面又可能成為非零元素，因此要反復(fù)多次掃描，直到達(dá)到精度要求為止。缺點(diǎn)：對(duì)一些已經(jīng)足夠小的元素也要作化零處理。雅可比過關(guān)法+循環(huán)雅可比法：在前幾次循環(huán)中使用雅可比過關(guān)法，經(jīng)幾次循環(huán)后，矩陣非對(duì)角元素的絕對(duì)值的大小已相差不大，這時(shí)再使用幾次循環(huán)雅可比法，效果更好。例：用雅可比方法計(jì)算下面實(shí)對(duì)稱陣的特征值解：(1)A0=A,選非對(duì)角元中的主元素a12=-1,因?yàn)閍11=a22,取(1)選非對(duì)角元中的主元素a13=0.707107(3)選非對(duì)角元中的主元素a23=-0.627963(5)選非對(duì)角元中的主元素a13=0.169525(4)選非對(duì)角元中的主元素a12=-0.276837A的近似特征值為13.414209,20.585986,31.999800A的準(zhǔn)確特征值為§3Householder法求一般實(shí)矩陣的全部特征值Def方陣B若滿足：當(dāng)i>j+1時(shí)，bij=0,則稱B為上Hessenberg陣(或準(zhǔn)上三角陣)，即i=j+1i>j+1理論基礎(chǔ)：A是n階實(shí)矩陣，存在正交陣P，s.t.是1階或2階方陣。若Aii是1階的，則它是A的一個(gè)實(shí)特征值；若Aii是2階的，則它的兩個(gè)特征值是A的一對(duì)共軛復(fù)特征值。定理說明：用正交陣相似變換可將一般實(shí)矩陣約化為上Hessenberg陣，將實(shí)對(duì)稱陣約化為對(duì)稱三對(duì)角陣。正交相似變換不改變特征值和特征向量，因此求原矩陣的特征值問題就轉(zhuǎn)化為求上Hessenberg陣或?qū)ΨQ三對(duì)角陣的特征值問題。問題的關(guān)鍵：如何將一般實(shí)矩陣正交約化為上Hessenberg陣，將實(shí)對(duì)稱陣約化為對(duì)稱三對(duì)角陣？初等反射陣Def初等反射陣性質(zhì):對(duì)稱、正交、對(duì)合初等反射陣的幾何意義Swv=x+yyx-yv’=x-yv’是v關(guān)于平面S的鏡面反射。初等反射陣將Rn中任意向量關(guān)于以w為法向量且過原點(diǎn)的超平面做鏡面反射。初等反射陣的作用：對(duì)向量作變換Proposition證明：令Corollary

結(jié)論推論說明：通過初等反射陣即可將任何非零向量約化成只有一個(gè)非0元素的向量。

注意：計(jì)算

時(shí)可能上溢或下溢，為防止溢出，將x

規(guī)范化，用正交相似變換(初等反射陣)約化矩陣為Hessenberg陣(n-1)×(n-1)維令重復(fù)這一過程直到

結(jié)論設(shè)x是c的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則有

說明Px是A

對(duì)應(yīng)于的特征向量。A的特征值和特征向量若A是實(shí)對(duì)稱陣，則C也是實(shí)對(duì)稱陣(CT=PTATP=PTAP=C),故C為對(duì)稱三對(duì)角陣，即關(guān)于實(shí)對(duì)稱陣§4QR方法是一種變換方法，計(jì)算一般中小型矩陣全部特征值的最有效方法之一。主要用于計(jì)算：1.上Hessenberg陣的全部特征值;2.對(duì)稱三對(duì)角矩陣的全部特征值。對(duì)于一般矩陣或?qū)ΨQ陣，先用Ho