矩陣論課件第一章線性空間定義性質(zhì)分析

矩陣論電子教程DepartmentofMathematics,SchoolofSciences哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系研究?jī)?nèi)容：矩陣與線性空間和線性變換以矩陣為工具研究問(wèn)題在其中發(fā)展矩陣?yán)碚摼仃囋诟鞣N意義下的化簡(jiǎn)與分解矩陣的分析理論各類(lèi)矩陣的性質(zhì)研究矩陣被認(rèn)為是最有用的數(shù)學(xué)工具，既適用于應(yīng)用問(wèn)題，又適合現(xiàn)代理論數(shù)學(xué)的抽象結(jié)構(gòu)。課前預(yù)習(xí)、課中提高效率、課后復(fù)習(xí)書(shū)后要求的習(xí)題、主動(dòng)自覺(jué)做改變思維觀念——“研究”建議使用教材《矩陣論》程云鵬張凱院徐仲編其他輔導(dǎo)類(lèi)參考書(shū)（自選）課程的目的

——理解抽象！課程的本質(zhì)

——研究結(jié)構(gòu)！矩陣論學(xué)時(shí)配置講授第1章至第4章(54學(xué)時(shí))第1章：12學(xué)時(shí);第2章：12學(xué)時(shí)第3章：16學(xué)時(shí)；第4章：12學(xué)時(shí)；

線性空間與線性變換第一章教學(xué)內(nèi)容和基本要求1，理解線性空間的概念，掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式；2,掌握子空間與維數(shù)定理，理解子空間的相關(guān)性質(zhì)；3,理解線性變換的概念，掌握線性變換的矩陣示表示,了解線性空間同構(gòu)的含義.重點(diǎn):

線性空間的概念；子空間的維數(shù)定理；基變換與坐標(biāo)變換.難點(diǎn):

基變換與坐標(biāo)變換常見(jiàn)數(shù)域：復(fù)數(shù)域C；實(shí)數(shù)域R；有理數(shù)域Q；設(shè)F是至少包含0，1兩數(shù)的數(shù)集，如果F中F中的數(shù)，則稱(chēng)F為一個(gè)數(shù)域．任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是定義：一,數(shù)域的定義（注意：自然數(shù)集N及整數(shù)集Z都不是數(shù)域．）

§1.1數(shù)域是一個(gè)數(shù)域．例1．證明：數(shù)集證：又對(duì)

設(shè)則有

設(shè)于是也不為0．或矛盾）

（否則，若則于是有為數(shù)域．是數(shù)域.類(lèi)似可證Gauss數(shù)域二、數(shù)域的性質(zhì)定理任意數(shù)域F都包括有理數(shù)域Q．證明：設(shè)F為任意一個(gè)數(shù)域．由定義可知，于是有即:有理數(shù)域?yàn)樽钚?shù)域．進(jìn)而有而任意一個(gè)有理數(shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商，定義1設(shè)是一個(gè)非空集合，為一數(shù)域．如果對(duì)于任意兩個(gè)元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的和，記作一,線性空間的定義和舉例

若對(duì)于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與的積，記作

§1.2線性空間如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱(chēng)為數(shù)域上的線性空間．記為:八條運(yùn)算規(guī)律:2.判別不是線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說(shuō)明1.凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱(chēng)為線性運(yùn)算．

（1）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．例1實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．一般線性空間的判定方法

通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律．例2例3不是線性空間例4正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．是一個(gè)線性空間.例5.正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．(2)一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：證明:所以對(duì)定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉．所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．不構(gòu)成線性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例6.個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體解答:1．零元素是唯一的．證明:

假設(shè)是線性空間V中的兩個(gè)零元素，由于所以則對(duì)任何

，有二,線性空間的性質(zhì)2．負(fù)元素是唯一的．證明假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素

與，那么則有向量的負(fù)元素記為證明4．如果，則或.

證明假設(shè)那么又同理可證：若則有線性空間的基與坐標(biāo)見(jiàn)課件p4線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)線性組合

定義:

設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)維線性空間，為的一個(gè)子集，如果對(duì)于的兩種運(yùn)算(加法與數(shù)乘運(yùn)算)也構(gòu)成數(shù)域上的線性空間,那么我們稱(chēng)為的一個(gè)子空間。三.線性子空間定理線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對(duì)于中的線性運(yùn)算封閉．例7.對(duì)于任意一個(gè)有限維線性空間,它必有兩個(gè)平凡子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間以及線性空間本身。例8.設(shè),那么線性方程組的全部解為線性空間的一個(gè)子空間，我們稱(chēng)其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。解(1)不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)例9有即對(duì)矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對(duì)任意于是有滿足且

設(shè)是線性空間中的向量，則由的所有線性組合：構(gòu)成的集合是的子空間，稱(chēng)為由張成（生成）的子空間，記為：或：零向量集合與本身稱(chēng)為平凡子空間，非平凡子空間稱(chēng)為