第4章無限長脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)2

第4章無限脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)4.1數(shù)字濾波器的基本概念4.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)4.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器4.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器4.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)4.1數(shù)字濾波器的基本概念

數(shù)字濾波器是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的線性移不變系統(tǒng)、數(shù)字器件或程序。數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是信號的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同。因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。如果要處理的是模擬信號，可通過A/DC和D/AC，同樣可以使用數(shù)字濾波器對模擬信號進(jìn)行濾波。

數(shù)字濾波器是對信號實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)（數(shù)字系統(tǒng)或時(shí)域離散系統(tǒng)）。x(n)y(n)h(n)1.數(shù)字濾波器的濾波原理

輸入序列x(n)，通過單位抽樣響應(yīng)為h(n)的線性時(shí)不變系統(tǒng)（數(shù)字濾波器）后，其輸出響應(yīng)y(n)為：將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得：

式中，Y(ejω)、X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜，H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

如果|H(ejω)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號經(jīng)過濾波后在這些頻率點(diǎn)上的幅值被抑制。因此，可以按照輸入信號頻譜的特點(diǎn)和處理信號的目的，適當(dāng)選擇H(ejω)，使得濾波后的X(ejω)H(ejω)符合要求，這是濾波器的濾波原理。

上式可以理解為：輸入序列原頻譜為X(ejω)，經(jīng)過數(shù)字濾波器（頻率響應(yīng)為H(ejω)）濾波后，頻譜變?yōu)閄(ejω)H(ejω)。2.數(shù)字濾波器的分類

經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達(dá)到濾波的目的。（1）數(shù)字濾波器總體上可分為兩大類：

經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。用經(jīng)典濾波器從噪聲中提取信號輸入信號x(t)中含有干擾，其時(shí)域波形。x(t)頻譜圖，可見信號和干擾的頻帶互不重疊低通濾波器濾除干擾,得到純信號

但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器不能有效地濾除干擾，為了最大限度地恢復(fù)信號，這時(shí)就需要現(xiàn)代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器?，F(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度地抑制干擾，同時(shí)最大限度地恢復(fù)信號，從而達(dá)到最佳濾波的目的。本課程僅介紹經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)分析與實(shí)現(xiàn)方法，而現(xiàn)代濾波器屬于隨機(jī)信號處理范疇。（2）經(jīng)典數(shù)字濾波器從幅度特性上分類，可以分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器（選頻濾波器）。理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性保留介于低頻和高頻之間的頻率分量濾除介于低頻和高頻之間的頻率分量

數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)都是以2π為周期的，低通濾波器的通頻帶中心位于2π的整數(shù)倍處，而高通濾波器的通頻帶中心位于π的奇數(shù)倍處，與模擬濾波器不同。一般在數(shù)字頻率的主值區(qū)[-π,π]描述數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。這種幅度特性為理想矩形的濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)均是非因果且無限長的。只能在誤差容限內(nèi)逼近理想濾波器，即按照某些逼近指標(biāo)來設(shè)計(jì)濾波器。（3）數(shù)字濾波器從單位脈沖響應(yīng)長度或者從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分類，可以分成無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限長單位脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：

兩式分別是N階IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)和N-1階FIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。這兩種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有很大區(qū)別，分成兩章分別進(jìn)行學(xué)習(xí)。（4）根據(jù)濾波器對信號的處理作用又將其分為選頻濾波器和其他濾波器。上述低通、高通、帶通和帶阻濾波器均屬于選頻濾波器，其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等濾波器。

濾波器可用于信號過濾、信號分離、信道均衡、信號檢測、參數(shù)估計(jì)、波形形成和調(diào)制解調(diào)等。所以學(xué)習(xí)濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)是必需的。3.數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)

常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)

表示為：H(ejω)=|H(ejω)|e

jθ(ω)式中，|H(ejω)|稱為幅頻特性函數(shù);θ(ω)稱為相頻特性函數(shù)。

幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映信號通過該濾波器后各頻率成分的延時(shí)情況。因此，即使兩個(gè)濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。一般選頻濾波器可以根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計(jì)，后面介紹的幾種典型濾波器（如巴特沃斯濾波器），都是根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計(jì)的。但如果對輸出波形的相位有要求，則需要考慮相頻特性技術(shù)指標(biāo)，例如波形傳輸、圖像信號處理等。下面介紹的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中主要研究根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計(jì)選頻濾波器。如果對輸出波形有嚴(yán)格要求（有相位要求），則需要設(shè)計(jì)線性相位數(shù)字濾波器（FIR數(shù)字濾波器）。對于各種理想選頻濾波器，因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)均是非因果且無限長的，所以是不可能實(shí)現(xiàn)的，我們必須設(shè)計(jì)一個(gè)因果穩(wěn)定的濾波器去近似實(shí)現(xiàn)，同時(shí)也要考慮復(fù)雜性與成本問題。低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2

因此實(shí)際的選頻濾波器的通帶和阻帶中都允許一定的誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶不是絕對衰減到零，而且在通帶與阻帶之間還存在一定寬度的過渡帶。ωp和ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率；通帶頻率范圍為0≤|ω|≤ωp，在通帶中要求(1-δ1)<|H(ejω)|≤1；阻帶頻率范圍為ωs≤|ω|≤π，在阻帶中要求|H(ejω)|≤δ2；從ωp到ωs稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的。1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2低通濾波器的幅頻特性

通常，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用s表示。1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2低通濾波器的幅頻特性對低通濾波器，通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s分別定義為：1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2低通濾波器的幅頻特性1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2低通濾波器的幅頻特性

顯然，p

越小,通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越小；s越大,阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??；ωp與ωs間距越小,過渡帶就越窄。所以低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)完全由通帶截止頻率ωp

、通帶最大衰減p、阻帶截止頻率ωs和阻帶最小衰減s確定。低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖若幅頻特性單調(diào)下降幅頻特性，p和s可以分別表示為：

對其他類型的濾波器，H(ej0)應(yīng)改成，ω0為濾波器通帶中心頻率。低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖如果將|H(ej0)|歸一化為1，p和s可以分別表示為：低通濾波器的幅頻特性指標(biāo)示意圖

當(dāng)幅度下降到時(shí)，標(biāo)記ω=ωc，此時(shí)，稱ωc為3dB通帶截止頻率。

ωp、ωc和ωs統(tǒng)稱為截止頻率，它們是濾波器設(shè)計(jì)中的重要的參數(shù)。

片段常數(shù)特性：對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個(gè)常數(shù)，通常將這種要求稱為“片段常數(shù)特性”。所謂片段，是指“通帶”和“阻帶”，常數(shù)是指“通帶波紋幅度δ1”和“阻帶波紋幅度δ2”。而通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s是與δ1和δ2完全等價(jià)的兩個(gè)常數(shù)。片段常數(shù)特性概念在選頻型濾波器設(shè)計(jì)中很重要，尤其有助于理解IIR數(shù)字濾波器的雙線性變換設(shè)計(jì)思想。（1）按照實(shí)際任務(wù)要求，確定濾波器的性能指標(biāo)。（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)去逼近這一性能要求。根據(jù)不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。（3）利用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。包括：選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。（4）實(shí)際的技術(shù)實(shí)現(xiàn)，包括：用通用計(jì)算機(jī)軟、專用數(shù)字濾波器硬件、或用專業(yè)的或通用的數(shù)字信號處理器來實(shí)現(xiàn)。本章只研究第二步驟。4.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述

IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法完全不同。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有間接法和直接法。間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。采用間接法設(shè)計(jì)IIR濾波器是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供使用。

直接法是直接在頻域或者時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。FIR濾波器不能采用間接法，常用的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。

對于線性相位濾波器，經(jīng)常采用FIR濾波器。可以證明，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應(yīng)滿足一定條件時(shí)，其相位特性在整個(gè)頻帶是嚴(yán)格線性的，這是模擬濾波器無法達(dá)到的。當(dāng)然，也可以采用IIR濾波器，但必須使用全通網(wǎng)絡(luò)對其非線性相位特性進(jìn)行校正，這樣增加了設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性。本章只介紹IIR濾波器的間接設(shè)計(jì)方法。所以先介紹模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)，再介紹模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器的方法。4.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用，而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實(shí)現(xiàn)條件。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴(yán)重。設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型。選頻型模擬濾波器按幅頻特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器。但設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器。例如模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)過程是：先將希望設(shè)計(jì)的各種濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通濾波器技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通濾波器，最后采用頻率轉(zhuǎn)換法將低通濾波器轉(zhuǎn)換成所希望的各種濾波器。下面先介紹低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)和逼近方法，然后主要介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法，及其MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)。各種理想模擬濾波器的幅頻特性4.2.1模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法

分別用ha(t)、Ｈa(s)、Ha(jΩ)表示模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)，三者的關(guān)系如下：可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(jΩ)中任一個(gè)描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波器。但是設(shè)計(jì)模擬的選頻濾波器時(shí)，設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)|Ha(jΩ)|給出，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。工程實(shí)際中通常用所謂的衰減函數(shù)（也稱為損耗函數(shù)）A(Ω)來描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性，對歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù)（后續(xù)課程都是針對該情況，特別說明的除外），衰減函數(shù)A(Ω)定義如下（其單位是分貝，用dB表示）：

衰減函數(shù)A(Ω)和幅頻特性函數(shù)|Ha(jΩ)|只是濾波器幅頻響應(yīng)特性的兩種描述方法。

衰減函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對幅頻響應(yīng)|Ha(jΩ)|的取值非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時(shí)觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。幅度平方函數(shù)1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)

幅頻響應(yīng)函數(shù)完全看不清阻帶內(nèi)取值較小（0.001以下）的波紋，而衰減函數(shù)則能很清楚地顯示出阻帶-60dB以下的波紋變化曲線。另外習(xí)慣直接畫出的衰減函數(shù)曲線（-A(Ω)）。幅頻響應(yīng)與衰減函數(shù)曲線的比較-模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)有

p、Ωp、

s和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，

p稱為通帶最大衰減，

s稱為阻帶最小衰減，

p和

s的單位為dB。模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)示意圖0對于單調(diào)下降的幅度特性，

p和

s可表示成：模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)示意圖0因?yàn)?，所以Ωc稱為3dB截止頻率。模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)示意圖0δ1和δ2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度，容易得到關(guān)系式：

所以，如果能由

p、Ωp、

s和Ωs求出|Ha(jΩ)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(-s)，由此可求出所需要的Ha(s)。濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)函數(shù)，頻譜滿足共軛對稱。首先，可以得到系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關(guān)系：得：2.模擬低通濾波器的逼近方法（2）確定極點(diǎn)設(shè)Ha(s)有一個(gè)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）位于s=s0處，則在s=s0*處也一定有一極點(diǎn)（或零點(diǎn)）。(由于ha(t)為實(shí)數(shù)，Ha(s)為實(shí)系數(shù)，則極點(diǎn)（或零點(diǎn)）必以共軛對形式出現(xiàn))Ha(-s)在s=-s0和-s0*處必有極點(diǎn)（或零點(diǎn)）；

Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)、零點(diǎn)分布是成象限對稱的。如果Ha(s)Ha(-s)在虛軸上的零點(diǎn)（或極點(diǎn)）（對臨界穩(wěn)定情況，才會出現(xiàn)虛軸的極點(diǎn)）一定是二階的，

這樣可以由|Ha(jΩ)|2求得Ha(s)：（1）系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關(guān)系：Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)、零點(diǎn)分布是成象限對稱

我們需要得到因果穩(wěn)定的濾波器，所以，其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點(diǎn)一定落在s的左半平面，所以左半平面的極點(diǎn)一定屬于Ha(s)，則右半平面的極點(diǎn)必屬于Ha(-s)。（3）確定零點(diǎn)零點(diǎn)的分布則無此限制，只和濾波器的相位特征有關(guān)。如果要求最小相位延時(shí)濾波器，則Ha(s)應(yīng)取左半平面零點(diǎn)；如無特殊要求，則可將對稱零點(diǎn)的任一半（應(yīng)為共軛對）取為Ha(s)的零點(diǎn)。（4）確定增益常數(shù)最后,按照Ha(jΩ)與Ｈa(s)的低頻特性或高頻特性的對比確定出增益常數(shù)。由求出的Ha(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)及增益常數(shù)，則可完全確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。例：解：極點(diǎn)：零點(diǎn)：（二階）零點(diǎn)：的極點(diǎn)：設(shè)增益常數(shù)為K0

因此幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起著很重要的作用。對于五種典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有確知表達(dá)式，可以直接引用。Ha(s)必須是因果穩(wěn)定的，因此極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，相應(yīng)的Ha(-s)的極點(diǎn)必然落在右半平面。這樣可由Ha(s)Ha(-s)求所需要的Ha(s)，即模擬低通濾波器的逼近方法。因此幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起著很重要的作用。對于五種典型濾波器，其幅度平方函數(shù)都有確知表達(dá)式，可以直接引用。系統(tǒng)函數(shù)和幅度平方函數(shù)的關(guān)系：4.2.2巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃思逼近又稱最平幅度逼近。巴特沃思低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為：式中：N為濾波器的階數(shù)（正整數(shù)）1.巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)：巴特沃思低通濾波器的幅度特性（2）當(dāng)Ω=Ωc，|Ha(jΩc)|=1/=0.707，（1）當(dāng)Ω=0，|Ha(j0)|=1，無衰減；所以Ωc是3dB衰減頻率、3dB截止頻率；當(dāng)Ω=Ωc時(shí)，不管N為多少，都衰減為3dB，這是3dB不變性。衰減

c=20lg|1/Ha(jΩc)|=3dB。（3）在通帶內(nèi)Ω<Ωc（設(shè)Ωc為通帶截止頻率）：隨著Ω由0增大到Ωc，|Ha(jΩ)|2單調(diào)減??；N越大，減小得越慢，通帶內(nèi)幅度特性越平坦。（4）在過渡帶和阻帶中Ω>Ωc

：

|Ha(jΩ)|2也隨Ω增加單調(diào)減小，但是Ω/Ωc>1，故比通帶內(nèi)衰減的速度要快得多；

N越大，衰減速度越大。當(dāng)Ω=Ωst（阻帶截止頻率），此時(shí)衰減為

st=-20lg|Ha(jΩst)|。（5）階數(shù)N值越大，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越窄，Ωst距Ωc越近。在幅度平方函數(shù)式中，代入Ω=s/j，可得：

巴特沃思濾波器在有限s平面內(nèi)只有極點(diǎn)，屬于所謂“全極點(diǎn)型”濾波器。

Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)為：2.求巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：k=0,1,2,…,2N-1N＝3和N＝4時(shí)Ha(s)Ha(-s)極點(diǎn)分布N為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上有極點(diǎn)；N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。但極點(diǎn)決不會落在虛軸上，這樣濾波器才有可能是穩(wěn)定。Ha(s)Ha(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為Ωc的圓（稱巴特沃思圓）上，呈象限對稱，k=0,1,2…,N-1的極點(diǎn)在左半平面，極點(diǎn)間的角度間隔為π/Nrad。

為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)中只取S左半平面的N個(gè)極點(diǎn)為Ha(s)的極點(diǎn)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)的極點(diǎn)。Ha(s)的表示式為：

分子系數(shù)為ΩcN，可由Ha(s)的低頻特性決定，k=0,1,2,…,N-1

Ha(s)的求解方法一（代入可求得分子系數(shù)為ΩcN）;

由于不同的技術(shù)指標(biāo)對應(yīng)的截止頻率和濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將巴特沃斯濾波器的3dB截止頻率Ωc歸一化為1rad/s。

Ha(s)的求解方法二

令

p=η+jλ=s/Ωc，λ=Ω/Ωc，p稱為歸一化復(fù)變量，λ稱為歸一化頻率，這樣可得到巴特沃斯濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)變形為：k=0,1,2,…,N-1

因此只要知道階數(shù)N，根據(jù)上式就可求得歸一化系統(tǒng)函數(shù)，此外歸一化后巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的極點(diǎn)分布、分母多項(xiàng)式的系數(shù)以及分母的因式分解都有現(xiàn)成的表格可查（書P100）。歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為：令：其中歸一化極點(diǎn)為：

再把歸一化后的巴特沃斯系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)中的p用s/Ωc代替后（此時(shí)的Ωc為需要設(shè)計(jì)的巴特沃斯濾波器的實(shí)際的3dB截止頻率），就可得到截止頻率為Ωc的巴特沃思系統(tǒng)函數(shù)；表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)

例：設(shè)計(jì)一個(gè)Ωc=2rad/s的三階巴特沃思模擬低通濾波器。令Ω2=-s2即Ω=s/j，則有：各極點(diǎn)為：k=0,1,2,…,5解：方法一代公式幅度平方函數(shù)是：系統(tǒng)函數(shù)為：所給出的六個(gè)sk為：由s1,s2,s3三個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為：前面三個(gè)sk（k=0,1,2）就是Ha(s)的極點(diǎn)。

方法二查表方法查表P100得N=3的歸一化的巴特沃思濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)：

b0=1,b1=2,b2=2頻率歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為：頻率反歸一化，即用s/Ωc代替p后，就得到所需濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)無論是用公式法還是表格法,只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc，就可以求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。所以，巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc的過程。3.根據(jù)技術(shù)指標(biāo)確定巴特沃思低通濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率

先介紹階數(shù)N的確定方法。由于階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術(shù)指標(biāo)Ωp、p、Ωs和s確定。因?yàn)椋旱玫剑旱玫剑旱玫剑河蒙鲜角蟪龅腘可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于或等于N的最小整數(shù)。再介紹于3dB截止頻率Ωc的求法，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照下述方法求出。得到：因?yàn)椋夯颍鹤⒁猓喝绻捎蒙鲜酱_定Ωc，則通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余；如果采用下式確定Ωc，則阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余。(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp、p、Ωs和s，總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(2)求出歸一化極點(diǎn)，k=0,1,2,…,N-1，也可以根據(jù)階數(shù)N直接查表得到pk和Ga(p)。利用：求出濾波器的階數(shù)N。將pk代入：得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。將Ga(p)反歸一化。將p=s/Ωc代入Ga(p)，得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：這里Ωc為3dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出Ωc，可以按照下兩式求出：例：已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減

p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減

s=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解：(1)確定階數(shù)N。取N=5上式分母可以展開成五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解式。(2)按照式，k=0,1,2,…,N-1，其極點(diǎn)為：按照式，得歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：通常直接查表6.2.1得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)，查表得N=5時(shí)的極點(diǎn)為：－0.3090±j0.9511，－0.8090±j0.5878,－1.0000分母多項(xiàng)式的系數(shù)為：式中,b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361所以歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：分母多項(xiàng)式的因式分解形式為：(3)為將Ga(p)反歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。根據(jù)通帶指標(biāo)求得Ωc為：再利用Ωc求阻帶截止頻率為：此時(shí)算出的

比題目中給的Ωs小，因此，過渡帶小于指標(biāo)要求?；蛘哒f，在Ωs=2π×12krad/s時(shí)衰減大于30dB，所以說阻帶指標(biāo)有富余量。將p=s/Ωc代入

中,得到：MATLAB信號處理工具箱函數(shù)buttap,buttord和butter是巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。其5種調(diào)用格式如下。（1）［Z，P,K］=buttap(N)該格式用于計(jì)算N階巴特沃斯歸一化（3dB截止頻率Ωc=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子。返回長度為N的零點(diǎn)列向量Z和極點(diǎn)列向量P，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式:4.用MATLAB工具箱函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器

如果要從計(jì)算得到的零、極點(diǎn)得到系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A，可以調(diào)用：結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換函數(shù)[B,A]=zp2tf(Z,P,K)。（2）［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計(jì)算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc。調(diào)用參數(shù)wp和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0≤wp≤1，0≤ws≤1,1表示數(shù)字頻率π（對應(yīng)模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示采樣頻率）。

Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。當(dāng)ws≤wp時(shí)，為高通濾波器；當(dāng)wp和ws為二元矢量時(shí)，為帶通或帶阻濾波器，這時(shí)wc也是二元向量。

N和wc作為butter函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。（3）［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As,′s′)

該格式用于計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc。wp、ws和wc是實(shí)際模擬角頻率（rad/s）。其他參數(shù)與格式（2）相同。（4）［B,A］=butter(N,wc,′ftype′)計(jì)算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于π歸一化），一般按格式（2）調(diào)用函數(shù)buttord計(jì)算N和wc。由系數(shù)向量B和A可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)：（5）［B,A］=butter(N,wc,′ftype′,′s′)計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率（實(shí)際角頻率）。由系數(shù)向量B和A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 由于高通濾波器和低通濾波器都只有一個(gè)3dB截止頻率wc，因此僅由調(diào)用參數(shù)wc不能區(qū)別要設(shè)計(jì)的是高通還是低通濾波器。當(dāng)然僅由二維向量wc也不能區(qū)分帶通和帶阻。所以用參數(shù)ftype來區(qū)分。

ftype=high時(shí)，設(shè)計(jì)3dB截止頻率為wc的高通濾波器。缺省ftype時(shí)默認(rèn)設(shè)計(jì)低通濾波器。ftype=stop時(shí)，設(shè)計(jì)通帶3dB截止頻率為wc的帶阻濾波器，此時(shí)wc為二元向量［wcl,wcu］，wcl和wcu分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率。缺省ftype時(shí)設(shè)計(jì)帶通濾波器，通帶為頻率區(qū)間wcl<ω<wcu。應(yīng)當(dāng)注意，設(shè)計(jì)的帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)是2N階的。這是因?yàn)閹V波器相當(dāng)于N階低通濾波器與N階高通濾波器級聯(lián)。

例：調(diào)用buttord和butter設(shè)計(jì)巴特沃斯低通模擬濾波器。wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;%設(shè)置濾波器參數(shù)［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As,′s′);

%計(jì)算濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率［B,A］=butter(N,wc,‘s’);%計(jì)算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(‘頻率(kHz)’);ylabel(‘幅度(dB)’)；axis(［0,14,-40,5］)；運(yùn)行結(jié)果:N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022A=［1

1.2230e+005

7.4785e+009

2.8263e+014

6.6014e+018

7.7094e+022］將B和A代入（6.2.23）式寫出系統(tǒng)函數(shù)為與上例計(jì)算結(jié)果形式相同。衰減函數(shù)

由圖可以看出，阻帶剛好滿足指標(biāo)要求，通帶指標(biāo)有富余（實(shí)驗(yàn)中可以標(biāo)示出），就說明buttord函數(shù)是使用阻帶指標(biāo)來計(jì)算3dB截止頻率Ωc的。

巴特沃思濾波器的頻率特性無論在通帶與阻帶都隨頻率變化而單調(diào)變化，因而如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會有富裕量，也就會超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)。所以更有效的辦法是將逼近精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻地分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻地分布在通帶與阻帶內(nèi)。這樣，在同樣通帶、阻帶性能要求下，就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。4.2.3切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)

切比雪夫?yàn)V波器的幅度特性就是在一個(gè)頻帶中（通帶或阻帶）具有這種等波紋特性。幅度特性在通帶中是等波紋的，在阻帶中是單調(diào)的，稱為切比雪夫Ⅰ型；幅度特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型。

橢圓濾波器在通帶和阻帶都具有等波紋幅頻特性。根據(jù)應(yīng)用的要求來確定采用哪種形式的濾波器。

我們以切比雪夫Ⅰ型低通濾波器為例來討論理想低通濾波器的逼近。切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅度特性1.切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方函數(shù)

N為濾波器的階數(shù)|x|≤1（通帶內(nèi)）|x|>1（過渡帶和阻帶內(nèi)）ε為小于1的正數(shù)，表示通帶幅度波動的程度，ε越大，波紋越大；Ωp為通帶截止頻率，不一定衰減3dBCN(x)是N階切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性在通帶截止頻率下，幅度函數(shù)不一定衰減3dB，可以衰減其它分貝值，如1dB。當(dāng)Ω=0時(shí)，N為奇數(shù)時(shí)，為通帶內(nèi)最大值

N為偶數(shù)時(shí)，通帶內(nèi)最小值所有幅度函數(shù)都通過點(diǎn)，所以把Ωp定義為通帶截止頻率。當(dāng)Ω=Ωp時(shí)，

N為通帶內(nèi)最大值和最小值總個(gè)數(shù)|x|≤1(通帶)|x|>1(阻帶)在1與之間等紋波的波動當(dāng)|Ω|≤Ωp時(shí)（通帶范圍內(nèi)）在1與之間等紋波波動是余弦函數(shù)，故切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性|x|≤1(通帶)|x|>1(阻帶)

階數(shù)N對濾波特性有極大的影響，N越大，逼近特性越好，但是濾波器結(jié)構(gòu)越復(fù)雜。階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大值和最小值的總數(shù)。當(dāng)|Ω|≥Ωp時(shí)（過渡帶與阻帶范圍內(nèi)）

是雙曲余弦函數(shù)，隨|Ω|增加而增加（N越大增加得越快），

迅速趨于0。切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性

切比雪夫?yàn)V波器有三個(gè)參數(shù)：ε，Ωp和N。Ωp是通帶截止頻率（通帶寬度），一般是預(yù)先給定；ε由通帶最大衰減

p（通帶波紋）確定，

p表示成：所以：注意通帶最大衰減不一定是3dB，隨給定的

p而定，如0.1dB等。2.切比雪夫Ⅰ型低通濾波器參數(shù)的確定切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性濾波器階數(shù)N，N的數(shù)值由四個(gè)技術(shù)指標(biāo)決定。ε,Ωc,N給定后，就可以求得濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)，這可查閱有關(guān)模擬濾波器手冊。濾波器階數(shù)N，N的數(shù)值可由阻帶最小衰減來確定。設(shè)阻帶截止頻率為Ωs，當(dāng)Ω=Ωs時(shí)，幅度平方函數(shù)值滿足：即：代入：設(shè)：得：又因?yàn)椋害?Ωc,N給定后，就可以求得濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)，這可查閱有關(guān)模擬濾波器手冊。

MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。其調(diào)用格式如下:（1）［z,p,k］=cheb1ap(N,Rp)（2）［N,wpo］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)（3）［N,wpo］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,′s′)（4）［B,A］=cheby1(N,Rp,wpo,′ftype′)（5）［B,A］=cheby1(N,Rp,wpo,′ftype′,′s′)3.用MATLAB設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)與前面的巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)比較，只有兩點(diǎn)不同。一是這里設(shè)計(jì)的是切比雪夫Ⅰ型濾波器；二是格式（2）和（3）的返回參數(shù)與格式（4）和（5）的調(diào)用參數(shù)wpo是切比雪夫Ⅰ型濾波器的通帶截止頻率，而不是3dB截止頻率。其他參數(shù)和系數(shù)向量含義與巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)中的參數(shù)相同。MATLAB信號處理工具箱中還有切比雪夫Ⅱ型濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)cheb2ap,cheb2ord和cheby2。解：％設(shè)計(jì)切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;％設(shè)置指標(biāo)參數(shù)［N1,wp1］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,′s′);

％計(jì)算切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器階數(shù)和通帶邊界頻率［B1,A1］=cheby1(N1,Rp,wp1,′s′);

％計(jì)算切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(′頻率(kHz)′);ylabel(′幅度(dB)′)axis(［0,12,-70,5］)例：設(shè)計(jì)切比雪夫Ⅰ型和切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減

p=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減

s=60dB。運(yùn)行結(jié)果:N=5切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器通帶邊界頻率:wp1=1.8850e+004切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù):B=1.2187e+011A=［13.2873e+0049.8445e+0081.6053e+0131.8123e+0179.7448e+020］設(shè)計(jì)的五階切比雪夫Ⅰ、II型模擬低通濾波器衰減函數(shù)

橢圓（Elliptic）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋幅頻響應(yīng)特性。由于其極點(diǎn)位置與經(jīng)典場論中的橢圓函數(shù)有關(guān)，所以由此取名為橢圓濾波器。又因?yàn)樵?931年考爾（Cauer）首先對這種濾波器進(jìn)行了理論證明，所以其另一個(gè)通用名字為考爾（Cauer）濾波器。4.2.4橢圓濾波器的設(shè)計(jì)橢圓濾波器幅頻響應(yīng)特性曲線橢圓濾波器通帶和阻帶波紋幅度固定時(shí)，階數(shù)越高,過渡帶越窄；當(dāng)橢圓濾波器階數(shù)固定時(shí)，通帶和阻帶波紋幅度越小,過渡帶就越寬。

所以橢圓濾波器的階數(shù)N由通帶截止頻率Ωp、阻帶截止頻率Ωs、通帶最大衰減

p和阻帶最小衰減s共同決定。后面對四種濾波器的比較將證實(shí)，橢圓濾波器可以獲得對理想濾波器幅頻響應(yīng)的最好逼近，是一種性能價(jià)格比最高的濾波器，所以應(yīng)用非常廣泛。給定濾波器指標(biāo)，通過調(diào)用MATLAB信號處理工具箱提供的橢圓濾波器函數(shù)設(shè)計(jì)橢圓濾波器。

MATLAB信號處理工具箱提供橢圓濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)ellipap、ellipord和ellip。例：設(shè)計(jì)橢圓模擬低通濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減

p=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減

s=60dB。wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;%設(shè)置指標(biāo)參數(shù)［N,wpo］=ellipord(wp,ws,Rp,As,′s′);

%計(jì)算橢圓低通模擬濾波器階數(shù)和通帶截止頻率［B,A］=ellip(N,Rp,As,wpo,′s′);%計(jì)算低通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)％省去以下繪圖部分運(yùn)行結(jié)果:橢圓模擬低通濾波器階數(shù):N=4模擬低通濾波器通帶邊界頻率:wpo=1.8850e+004橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù):B=［0.0010-8.3913e-0152.9126e+0078.0051e-0041.0859e+017］A=［13.3792e+0049.3066e+0081.3646e+0131.0984e+017］設(shè)計(jì)的四階橢圓模擬低通濾波器衰減函數(shù)雖然本例中橢圓濾波器階數(shù)是4，但是四階橢圓模擬低通濾波器的過渡帶寬度小于7kHz，比指標(biāo)要求（9kHz）窄2kHz。而若設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器需要五階，且其過渡帶寬度大于7kHz；若用巴特沃斯模擬低通濾波器，計(jì)算所要求的階數(shù)N=7。

巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器四種濾波器是主要考慮逼近幅度響應(yīng)指標(biāo)的濾波器，為了正確地選擇濾波器類型以滿足給定的幅頻響應(yīng)指標(biāo)，必須比較四種幅度逼近濾波器的特性。4.2.5四種類型模擬濾波器的比較

在滿足相同的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)條件下，巴特沃思濾波器階數(shù)最高；橢圓濾波器的階數(shù)最低，切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)介于兩者之間。所以，就滿足濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)而言，橢圓濾波器的性能價(jià)格比最高。當(dāng)階數(shù)N、通帶最大衰減

p和阻帶最小衰減s都相同，（1）巴特沃思濾波器過渡帶最寬，具有單調(diào)下降的幅頻特性。（2）兩類的切比雪夫?yàn)V波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫Ⅰ型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調(diào)下降的幅頻特性。切比雪夫Ⅱ型濾波器的通帶和過渡帶單調(diào)下降的幅頻特性（幾乎與巴特沃思濾波器相同），阻帶是等波紋幅頻特性。（3）橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。相位逼近情況:

（1）巴特沃思和切比雪夫?yàn)V波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性；（2）而橢圓濾波器僅在大約半個(gè)通帶上非常接近線性相位特性；四種濾波器各具特點(diǎn)，工程實(shí)際中選擇哪種濾波器取決于對濾波器階數(shù)（階數(shù)影響處理速度和實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性）和相位特性的具體要求。例如，在滿足幅頻響應(yīng)指標(biāo)的條件下希望濾波器階數(shù)最低時(shí)，就應(yīng)當(dāng)選擇橢圓濾波器。

低通、高通、帶通和帶阻濾波器的通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用

p和

s表示。

Ωph和Ωsh分別表示高通濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率;

Ωpl和Ωpu分別表示帶通和帶阻濾波器的通帶下截止頻率和上截止頻率;

Ωsl和Ωsu分別表示帶通和帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和上截止頻率。4.2.6頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)各種濾波器幅頻特性曲線及截止頻率示意圖（a）高通濾波器（b）帶通濾波器（c）帶阻濾波器

從原理上講，通過頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)變換成希望設(shè)計(jì)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。在模擬濾波器設(shè)計(jì)手冊中，各種經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)公式都是針對低通濾波器的，并提供從低通到其他各種濾波器的頻率變換公式。所以設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:(1)通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的低通濾波器指標(biāo)；(2)設(shè)計(jì)相應(yīng)的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)；(3)對Q(p)進(jìn)行頻率變換，得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。如果低通濾波器Q(p)是關(guān)于某截止頻率的“歸一化低通濾波器”,則設(shè)計(jì)計(jì)算將大大簡化。“歸一化低通濾波器”是指關(guān)于某個(gè)截止頻率歸一化的低通濾波器,其系統(tǒng)函數(shù)就用Q(p)表示。歸一化頻率根據(jù)設(shè)計(jì)需要而定，對巴特沃斯濾波器關(guān)于3dB截止頻率歸一化的系統(tǒng)函數(shù)稱為巴特沃斯歸一化低通原型（記為G(p)），而切比雪夫和橢圓濾波器的歸一化低通原型一般是關(guān)于通帶邊界頻率Ωp歸一化的低通系統(tǒng)函數(shù)（即G(p)的通帶邊界頻率為1）。

模擬濾波器設(shè)計(jì)手冊中給出了各種模擬濾波器歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)的參數(shù)（零、極點(diǎn)位置，分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)等）。例如，一階巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：其3dB截止頻率λc=1,是關(guān)于3dB截止頻率歸一化的。一般用Hd(s)表示希望設(shè)計(jì)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，s=σ+jΩ表示Hd(s)的復(fù)變量；用Q

(p)表示相應(yīng)的低通濾波器，（可以取對于某截止頻率的歸一化低通濾波器，其中p=η+jλ=s/Ωr為歸一化復(fù)變量，λ=Ω/Ωr為歸一化頻率，通帶截止頻率記為λp=Ωp/Ωr）；用G

(p)表示歸一化原型系統(tǒng)函數(shù);（4.2.48）（4.2.49）記從p域到s域映射的可逆變換記為p=F(s)。歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q

(p)與H

(s)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：從低通到高通濾波器的映射關(guān)系為1．模擬高通濾波器設(shè)計(jì)式中，Ωph為希望設(shè)計(jì)的高通濾波器HHP(s)的通帶截止頻率，λp為對應(yīng)低通濾波器Q(p)的通帶截止頻率。在虛軸(頻率軸)上該映射關(guān)系簡化為如下頻率變換公式:

頻率變換公式的含義是將低通濾波器的通帶［0,λp］映射為高通濾波器的通帶［-∞,-Ωph］，而將低通濾波器的通帶［-λp,0］映射為高通濾波器的通帶［Ωph,∞］。同樣，將低通濾波器的阻帶［λs,∞］映射為高通濾波器的阻帶［-Ωsh,0］，而將低通濾波器的阻帶［-∞,-λs］映射為高通濾波器的阻帶［0,Ωsh］。低通濾波器Q(p)通帶［-λp,λp］上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器HHP(s)的通帶|Ω|≥Ωph上。同樣，低通濾波器Q(p)阻帶|λ|≥λs上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器HHP(s)的阻帶［-Ωs,Ωs］上。用圖形表示。

高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：1.按照頻率變換公式：將高通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)變成低通濾波器的指標(biāo)，這里可采用通帶截止頻率歸一化低通濾波器，即。2.設(shè)計(jì)低通濾波器Q(p)。3.根據(jù)低通和高通濾波器復(fù)變量的關(guān)系：，將低通濾波器Q(p)轉(zhuǎn)換成通帶截止頻率為Ωph的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù):

為了計(jì)算簡單，一般選擇Q(p)為歸一化低通，即取Q(p)的通帶截止頻率λp=1。則可求得歸一化阻帶截止頻率為：轉(zhuǎn)換得到低通濾波器的指標(biāo)為：通帶截止頻率λp=1，阻帶截止頻率λs=4，通帶最大衰減

p=0.1dB，阻帶最小衰減

s=40dB。,例：設(shè)計(jì)巴特沃思模擬高通濾波器，要求通帶邊界頻率為4kHz，阻帶邊界頻率為1kHz，通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為40dB。解：1.通過映射關(guān)系式將希望設(shè)計(jì)的高通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的低通濾波器Q(p)的指標(biāo)。(1)確定階數(shù)N。N=4.68，取N=52.設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)。(2)查表得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)，(3)為將G(p)反歸一化，先求3dB截止頻率λc。根據(jù)通帶指標(biāo)求得λc為：將p<=p/λc代入

中,得到：3.根據(jù)低通和高通濾波器復(fù)變量的關(guān)系：，將低通濾波器Q(p)轉(zhuǎn)換成高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)低通到帶通的頻率變換公式如下:2．模擬帶通濾波器設(shè)計(jì)在p平面與s平面虛軸上的頻率關(guān)系為：式中，Bw=Ωpu-Ωpl,表示帶通濾波器的通帶寬度，Ωpl和Ωpu分別為帶通濾波器的通帶下截止頻率和通帶上截止頻率;Ω0稱為帶通濾波器的中心頻率。

頻率λ=0映射為頻率Ω=±Ω0，頻率λ=λp映射為頻率Ωpu和-Ωpl，頻率λ=-λp映射為頻率-Ωpu和Ωpl。也就是說，將低通濾波器G(p)的通帶［-λp,λp］映射為帶通濾波器的通帶［-Ωpu,-Ωpl］和［Ωpl,Ωpu］。同樣道理，頻率λ=λs映射為頻率Ωsu和-Ωsl，頻率λ=-λs映射為頻率-Ωsu

和Ωsl。低通到帶通的邊界頻率及幅頻響應(yīng)特性的映射關(guān)系

帶通濾波器的設(shè)計(jì)步驟：1.按照頻率變換公式：將帶通濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)變成低通濾波器的指標(biāo)，這里可采用通帶截止頻率歸一化低通濾波器，即。2.設(shè)計(jì)低通濾波器Q(p)。3.根據(jù)低通和帶通濾波器復(fù)變量的關(guān)系：，將低通濾波器Q(p)轉(zhuǎn)換成帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù):

所以，帶通濾波器的通帶（阻帶）邊界頻率關(guān)于中心頻率Ω0幾何對稱。如果原指標(biāo)給定的邊界頻率不滿足上式，就要改變其中一個(gè)邊界頻率以便上式，但要保證改變后的指標(biāo)高于原始指標(biāo)。具體方法是，如果ΩplΩpu>ΩslΩsu，則減小Ωpl（或增大Ωsl）。具體計(jì)算公式為：注意：中心頻率和各截止頻率的關(guān)系滿足：或

減小Ωpl使通帶寬度大于原指標(biāo)要求的通帶寬度，增大Ωsl或減小Ωpl都使左邊的過渡帶寬度小于原指標(biāo)要求的過渡帶寬度；

反之，如果ΩplΩpu<ΩslΩsu，則減小Ωsu（或增大Ωpu）使上得到滿足。而且在關(guān)于中心頻率Ω0幾何對稱的兩個(gè)頻率點(diǎn)上，帶通濾波器的幅度值相等。在p平面與s平面虛軸上的頻率變換關(guān)系為：3．模擬帶阻濾波器設(shè)計(jì)低通到帶阻的頻率變換公式為：式中，Bw=Ωsu-Ωsl，表示帶阻濾波器的阻帶寬度，Ωsl和Ωsu分別為帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和阻帶上截止頻率;Ω0稱為帶阻濾波器的阻帶中心頻率。當(dāng)λ從-∞→-λs→-λp→0-時(shí)，①Ω從-Ω0→-Ωsu→-Ωpu→-∞，形成帶阻濾波器HBS(jΩ)在(-∞，-Ω0]上的頻響；②Ω從+Ω0→+Ωs1→+Ωp1→0+,形成HBS(jΩ)在(0+，Ω0]上的頻響。當(dāng)λ從0+→λp→λs→+∞

時(shí)，①Ω從0-→

-Ωpl→-Ωsl→-Ω0，形成帶阻濾波器HBS(jΩ)在[-Ω0

，0-)上的頻響；②Ω從+∞→

+

Ωpu→

+Ωsu→+Ω0

，形成HBS(jΩ)在[+Ω0

，∞)上的頻響。

帶阻濾波器的設(shè)計(jì)步驟：1.按照頻率變換公式：將帶阻濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)變成低通濾波器的指標(biāo)，這里可采用通帶截止頻率歸一化低通濾波器，即。2.設(shè)計(jì)低通濾波器Q(p)。3.根據(jù)低通和帶阻濾波器復(fù)變量的關(guān)系：，將低通濾波器Q(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù):與低通到帶通變換情況相同，有

利用間接法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟（1）將給定的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)，按照某一變換（映射）規(guī)則轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器的性能指標(biāo)。（2）如果要設(shè)計(jì)的不是數(shù)字低通濾波器，還需將步驟（1）中變換得到的相應(yīng)的（高通、帶通、帶阻）模擬濾波器性能指標(biāo)，再通過變量代換變換成模擬低通濾波器的性能指標(biāo)。因?yàn)橹挥心M低通濾波器才有圖形和表格資源可以利用。（3）得到的模擬低通濾波器的性能指標(biāo)之后，利用某種模擬濾波器逼近方法，設(shè)計(jì)并查表求得此模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，以它作為設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的“樣本”。

常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法：巴特沃思濾波器、切比雪夫?yàn)V波器等。（4）利用與步驟（1）（2）中的同一變換規(guī)則，將作為“樣本”的模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)最終映射成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

映射方法主要有：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法和雙線性變換法。

步驟（1）數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)到模擬濾波器的性能指標(biāo)，和步驟（4）中從模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)變換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，就是s平面映射到z平面的過程，這種復(fù)變量s到復(fù)變量z之間的映射關(guān)系，必須滿足以下兩條基本要求：（1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，也即s平面虛軸jΩ必須映射到z平面的單位圓ejω上。（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)。因?yàn)槟M濾波器的因果穩(wěn)定的條件是其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器的因果穩(wěn)定條件是H(z)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，所以要求s平面的左半平面Re［s］<0必須映射到z平面單位圓的內(nèi)部|z|<1。4.3用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

設(shè)計(jì)完模擬濾波器后，以其為樣本設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，希望數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。1.變換原理

沖激響應(yīng)不變法是從濾波器的沖激響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)能模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)。將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值。滿足：h(n)=ha(nT)式中,T是采樣周期。

如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的z變換，利用采樣序列的z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系得：(4.3.5)體現(xiàn)了一種s平面和z平面的映射關(guān)系為：

z=esT也即數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系。沖激響應(yīng)不變法體現(xiàn)的s平面和z平面的映射關(guān)系

z=esT

由于s平面每一條橫帶都重復(fù)地映射到z平面上，正好反映了Ha(s)的周期延拓函數(shù)和H(z)之間的對應(yīng)關(guān)系。s平面到z平面映射關(guān)系，滿足以下兩條基本要求：（1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，也即s平面虛軸jΩ正好映射到z平面的單位圓ejω上。（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)。即s平面的左半平面Re［s］<0正好映射到z平面單位圓的內(nèi)部|z|<1。

上式為序列在單位圓上的z變換（序列的傅里葉變換）和模擬信號傅里葉變換的關(guān)系，即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系，通常寫成：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。(6.3.9)2.頻率響應(yīng)的混疊失真(6.3.8)令，得：只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)帶限于折疊頻率以內(nèi)時(shí)，即才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即：|ω|<π或：(6.3.10)

實(shí)際中很多模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真；因而模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以外處衰減越大、越快，變換后頻率響應(yīng)混疊失真越小。沖激響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象

此外，對模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣的頻率fs增加，即采樣時(shí)間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間距離增大，可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。

運(yùn)用沖激響應(yīng)不變法從Ha(s)變換到H(z)的過程：由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應(yīng)ha(t)；然后采樣后得到h(n)=ha(nT)；再取z變換得H(z)，過程較復(fù)雜。下面研究由沖激響應(yīng)不變法的變換原理將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)的方法。

3.模擬濾波器的數(shù)字化方法

設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次，因此可將Ha(s)展開成部分分式形式：其相應(yīng)的沖激響應(yīng)ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即式中，u(t)是單位階躍函數(shù)。（6.3.1）

在沖激響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)等于對ha(t)的采樣，即對h(n)求z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（6.3.4）

比較Ha(s)和H(z)，可見：（1）s平面的每一個(gè)單極點(diǎn)s=sk變換到z平面上z=eskT處的單極點(diǎn)。（2）Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的，都是Ak。（3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)sk位于s平面的左半平面，即Re［sk］<0，則變換后的數(shù)字濾波器的全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，因此數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。（4）雖然沖激響應(yīng)不變法能保證s平面極點(diǎn)與z平面極點(diǎn)有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但是并不等于整個(gè)s平面與z平面有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)就與模擬濾波器零點(diǎn)沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，而是隨Ha(s)的極點(diǎn)sk以及系數(shù)Ak兩者而變化。數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣間隔T成反比：|ω|<π

如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太