第三章測(cè)試信號(hào)3

3.3-五離散傅立葉變換DFT上式反應(yīng)了采樣信號(hào)與原信號(hào)的關(guān)系，如何根據(jù)采樣的離散數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算信號(hào)的頻譜？為了用計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，要求信號(hào)在時(shí)域和頻域都是離散的和有限長(zhǎng)度的。時(shí)域：采樣轉(zhuǎn)換成離散的；實(shí)際中只能對(duì)信號(hào)采樣有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，稱為離散時(shí)間序列，它是有限長(zhǎng)的。頻域：對(duì)進(jìn)行周期延拓，使之在時(shí)域上成為周期信號(hào)，周期信號(hào)的頻譜是離散的；對(duì)以上信號(hào)采樣前進(jìn)行濾波，保證帶寬有限（頻域有限長(zhǎng)度）；在時(shí)域上對(duì)N點(diǎn)的采樣信號(hào)進(jìn)行周期延拓，就成為離散的周期信號(hào)，在頻域其頻譜也成為離散的周期頻譜。（時(shí)域離散<->頻域周期，時(shí)域周期<->頻域離散）頻域上的離散化實(shí)際上就是將頻域上的橫軸進(jìn)行了離散化，，T為時(shí)域采集周期。DFT：X(k)具有周期性：在一個(gè)周期內(nèi)求其逆變換多對(duì)信號(hào)進(jìn)行周期延拓時(shí)，相當(dāng)于對(duì)頻譜進(jìn)行采樣，使頻譜變成原來(lái)的1/T，故應(yīng)乘以T倍。離散傅立葉變換的特性：★離散性：在時(shí)域具有重復(fù)周期，故頻譜是離散的?！镏C波性：諧波頻率是基波頻率的整數(shù)倍★周期性：采樣導(dǎo)致其周期性，共有N條譜線有效，前N/2條是主分量，后N/2條是高頻分量。

DFT的計(jì)算次數(shù)與FFT4個(gè)采樣值根據(jù)DFT變換可知，計(jì)算一條譜線需進(jìn)行N次復(fù)數(shù)乘法和（N-1）次復(fù)數(shù)加法，N條譜線需進(jìn)行N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法，當(dāng)N=4，總計(jì)需28次運(yùn)算。當(dāng)N=1024時(shí)，需進(jìn)行2096068次運(yùn)算。早期不太可能在實(shí)際工程中應(yīng)用。FFT：將長(zhǎng)序列的離散傅立葉變換逐次分解成長(zhǎng)度較短的序列來(lái)計(jì)算傅立葉變換，然后按一定的規(guī)律組合起來(lái)，得到原來(lái)序列的傅立葉變換。★簡(jiǎn)化了計(jì)算，計(jì)算量大大減少，減小了計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)對(duì)乘積結(jié)果舍入誤差，使得計(jì)算精度提高了。4DFT的相關(guān)問(wèn)題（1）DFT的頻率分辨率（2）柵欄效應(yīng)與補(bǔ)零的問(wèn)題（3）頻譜泄露與周期信號(hào)的整周期截短的問(wèn)題1、DFT的頻率分辨率用DFT對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，相鄰譜線之間的間距為越小，則分析出來(lái)的頻譜與原來(lái)模擬信號(hào)的頻譜越接近，反應(yīng)出對(duì)原來(lái)信號(hào)的分辨率越好。f1=2Hz、f2=2.02Hz、f3=2.07Hz三個(gè)頻率，fs=10HzΔf1=0.0390625Hz,Δf2=0.009765Hz；f1-f2=-0.02,f1-f3=-0.07,f2-f3=-0.052、柵欄效應(yīng)與補(bǔ)零計(jì)算機(jī)采樣根據(jù)采樣頻率fs和采樣點(diǎn)數(shù)N對(duì)原信號(hào)進(jìn)行了截短，信號(hào)長(zhǎng)度為tp=fs*N，并以此長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成周期信號(hào)。相應(yīng)的原來(lái)的連續(xù)頻譜變成離散頻譜，在離散頻譜之間的頻率分量就被擋住了而無(wú)法得到，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。如：信號(hào)長(zhǎng)度為tp=0.5s，可以獲得頻譜頻率為0Hz，2Hz，4Hz，6Hz，8Hz，10Hz…等。如果原來(lái)信號(hào)中有一個(gè)7Hz的頻率分量，就無(wú)法檢出。此時(shí)就需增加信號(hào)的長(zhǎng)度到1s的整數(shù)倍或補(bǔ)零。對(duì)采樣數(shù)據(jù)補(bǔ)零可以改善柵欄效應(yīng)，補(bǔ)零起到對(duì)沒(méi)補(bǔ)零的DFT結(jié)果做插值的作用，可以使譜線的外觀得到平滑，改善柵欄效應(yīng)。但是補(bǔ)零并沒(méi)改善頻率分辨率，并沒(méi)有增加數(shù)據(jù)的有效長(zhǎng)度，分辨率是根據(jù)采樣信號(hào)的實(shí)際長(zhǎng)度來(lái)決定的，與DFT計(jì)算的點(diǎn)數(shù)無(wú)關(guān)。補(bǔ)零后的長(zhǎng)度是DFT的長(zhǎng)度，增加了頻域譜線的點(diǎn)數(shù)，但譜線之間還是同樣存在一定的重疊。補(bǔ)零還經(jīng)常用于把采樣點(diǎn)數(shù)湊成2的整數(shù)次冪，以便于用FFT算法。譜線外觀平滑，克服柵欄效應(yīng)。由于截短造成頻譜泄露，頻譜中出現(xiàn)一些難以確認(rèn)的譜峰，補(bǔ)零可以消除這種現(xiàn)象。細(xì)化FFTZOOM-FFT3、頻譜泄露與周期信號(hào)的整周期截短問(wèn)題

由于窗函數(shù)對(duì)原信號(hào)的截短，導(dǎo)致截短后的信號(hào)頻譜中包含了窗函數(shù)旁瓣的頻譜，這就是頻譜的泄露。譜間干擾因截短而使在主譜線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量之間的干擾，稱為譜間干擾。這不僅影響譜分辨率，嚴(yán)重時(shí)強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣可能淹沒(méi)弱信號(hào)的主譜線，或者把強(qiáng)信號(hào)的旁瓣誤認(rèn)為另外的一個(gè)信號(hào)的譜線，形成假信號(hào)。矩形窗譜線過(guò)零點(diǎn)：譜線過(guò)零點(diǎn)搬移之后譜線過(guò)零點(diǎn)為當(dāng)某一頻率分量的輸出譜線中除主分量外其他輸出譜線均為0，則在與其他頻率分量輸出譜線疊加時(shí)不會(huì)引起其失真。即過(guò)零點(diǎn)譜線的頻率等于輸出譜線的頻率。即為了防止產(chǎn)生泄漏，應(yīng)使窗的寬度為信號(hào)周期T的整數(shù)倍。

★如果對(duì)信號(hào)分析中選擇的采樣頻率和截取的信號(hào)長(zhǎng)度不合適，就會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果不是實(shí)際的頻譜，而是泄露的頻譜。頻譜的泄漏主要是矩形窗邊界的突變特性造成的，這種突變?cè)陬l域就會(huì)產(chǎn)生高頻成分。如果用其它類型的邊緣較平緩的窗函數(shù)（如海寧窗、海明窗、三角窗等）來(lái)代替矩形窗，可以使高頻分量減弱，從而減少由于泄漏產(chǎn)生的誤差。(矩形窗主瓣與第一旁瓣的幅度比為100:25，海寧窗為100:2.5,但是海寧窗的主瓣寬度是矩形窗的兩倍)但在N一定時(shí)，旁瓣越小的窗主瓣越寬，頻譜變得“模糊”，這就使減小譜間干擾與提高譜分辨率矛盾，只能折衷。例：設(shè)余弦信號(hào)的頻率為f0＝100Hz，以下采用不同的采樣頻率fs（或采樣周期Ts）和截取不同的信號(hào)長(zhǎng)度T（或采樣點(diǎn)數(shù)N）對(duì)其進(jìn)行分析。⑴設(shè)Ts＝78.125μs,N=256，則：窗的寬度＝NTs＝20ms；譜線間距；譜線的過(guò)零點(diǎn)為：0、50、150、200…（Hz）；輸出的譜線：0、50、100、150、200，…（Hz）共計(jì)256條；

100Hz余弦信號(hào)的譜線在輸出譜線之列，故2次諧波的輸出即是所分析的信號(hào)的頻譜，其余輸出譜線均為0，此時(shí)頻譜的泄漏得以消除。3.4濾波器定義：濾波器是指允許某一特定頻帶內(nèi)的有用的信號(hào)通過(guò)而濾除無(wú)用信號(hào)的系統(tǒng)。更廣意義上的濾波器是指把某種信號(hào)處理成另外一種信號(hào)的系統(tǒng)，因此任何一個(gè)系統(tǒng)都可以看成一個(gè)濾波器，它按照所要求的功能對(duì)輸入的信號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換和處理。分類：所處理的數(shù)據(jù)類型將濾波器分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器是指其輸入輸出均是離散時(shí)間信號(hào)的濾波器按照濾波器的幅頻特性可將濾波器分為四種，即低通濾波器（LPF）、高通（HPF）、帶通（BPF）和帶阻（BEF）濾波器通帶：能通過(guò)的信號(hào)頻率范圍阻帶：受阻或衰減的頻率范圍截止頻率：通帶和阻帶之間的界限頻率。過(guò)渡帶：對(duì)于理想的濾波器在通帶內(nèi)具有零衰減的幅頻響應(yīng)，而在阻帶內(nèi)具有無(wú)限大的衰減，這種突變的衰減在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，實(shí)際的濾波器通常在通帶和阻帶之間有一過(guò)渡，而且在通帶內(nèi)無(wú)法實(shí)現(xiàn)沒(méi)有衰減，在阻帶內(nèi)無(wú)法實(shí)現(xiàn)無(wú)限大衰減，通常有一個(gè)容限。濾波器的衰減定義為：濾波器的傳遞函數(shù)與線性時(shí)不變系統(tǒng)類似，可表示為：根據(jù)濾波器系統(tǒng)的階數(shù)可以把濾波器分為一階、二階等濾波器。根據(jù)設(shè)計(jì)時(shí)實(shí)際濾波器逼近理想濾波器的方法又可分為巴特沃思（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Cheyshev）濾波器以及橢圓濾波器等不同的設(shè)計(jì)方法，線形