第一章靜電場

第一章靜電場本章的重點

1、闡述靜電荷產(chǎn)生的電場的分布情況2、靜電荷與電場強度之間的關(guān)系3、在已知電荷分布或電位的情況下求解電場強度的各種計算方法4、邊值問題本章難點極化現(xiàn)象及鏡像法（計算靜電場分布問題的方法）第一章靜電場基本概念1、靜電場由相對觀察者靜止且不隨時間改變的電荷所形成的電場。2、分類靜態(tài)場事變場場量不隨時間變化場量隨時間變化（1）內(nèi)容：在無限大真空中，當兩個靜止的小帶電體之間的距離遠遠大于它們本身的幾何尺寸時，改兩電體之間存在作用力。一、庫侖定律1-1電場強度—電位（3）使用條件：真空、點電荷q1q2（2）表達式：點電荷之間的作用力靠什么來傳遞？思考1、定義：電場強度E等于位于該點處的單位正電荷所受的電場力F二、電場強度(Electric

Intensity)方向：正電荷受力方向。表達式：V/m（1）單個點電荷產(chǎn)生的電場強度圖1點電荷的電場（2)n

個點電荷產(chǎn)生的電場強度(矢量疊加原理)圖1.1.3矢量疊加原理圖2矢量疊加原理（3）連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度電荷元產(chǎn)生的電場圖3體電荷的電場指導(dǎo)思想：微分→點電荷公式→積分+++++++++++++qprdE體面線體電荷分布面電荷分布線電荷分布例1真空中有一長為L的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為,試求P

點的電場。解:軸對稱場，圓柱坐標系。z1、內(nèi)容三、靜電場的環(huán)路定理靜電場中，電場強度E沿任何一條閉合曲線的環(huán)路積分恒等于零。2、表達式3、證明思路1）借助電場強度與電場力之間的關(guān)系，等式兩邊同乘于電荷量，將定理內(nèi)容轉(zhuǎn)換為電場力沿閉合曲線做功的問題。2）閉合曲線回路有特殊曲線推廣到一般曲線。3）場源由單個點電荷推廣到任意連續(xù)分布的自由電荷。3、證明過程1）單個點電荷（1）一條沿著電場線并且往返的閉合路徑。電場力所做正功等于其所做的負功，因此其直線往返運動時電場力閉合回路線積分為零。（2）以點電荷位置為圓心的一個圓形。電場力的方向為電場線的方向，即圓的矢量半徑方向，與圓周切線時刻垂直，因此在圓周上移動時電場力不做功。（3）沿一任意形狀閉合曲線qrBrAdldrEBArr1

4、結(jié)論（1）場強沿著曲線的線積分只與曲線始末位置有關(guān)，與曲線形狀無關(guān)，且當此曲線閉合時，即A、B兩點重合，則沿任意閉合曲線的積分為零。（2）依據(jù)之前證明過程可知，上述結(jié)論同樣適用于任意分布的靜止電荷所形成的靜電電場（體分布、面分布、線分布）。4、公式轉(zhuǎn)換應(yīng)用斯托克斯定理：[書P.328式（20）]四、電位1、定義電場力從空間某一點將單位正電荷移至電位參考點（通常為無窮遠處）過程中所做的功。（1）單位正電荷在該點所具有的電位能，稱為該點的電位。（2）電位是個標量，通常用Φ表示。2、物理本質(zhì)3、電位與電場強度之間關(guān)系（1）推導(dǎo)過程4、電位計算公式（1）單獨點電荷電位計算公式（2）連續(xù)分布的電荷電位計算公式指導(dǎo)思想：微分→點電荷公式→積分體電荷分布面電荷分布線電荷分布5、結(jié)論（1）靜電場中的電位是個標量，反映場內(nèi)各點電位能的多少。（2）靜電場中的電場強度等于電位的負梯度，符號表示電場力做正功時電位減少（3）矢量恒等式：任意一個標量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零即靜電場中電場強度矢量E的旋度到處為零，靜電場是無旋場。

例1-2：求電荷面密度為σ，半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電位和電場強度。（p.9例1-4）

解：如圖所示，在圓盤上取一半徑為r寬為dr的圓環(huán)，環(huán)上元電荷dq=σ（2πr）dr，環(huán)上各點距離P點皆為在軸線上一點P產(chǎn)生的電位為oaardrrz圖1-5均勻帶電圓盤PO（Z＞0）（Z＜0）圓盤上全部電荷在P點所產(chǎn)生的電位由電荷分布的對稱性可知，在軸線上，電場強度只有z向分量，即（Z＞0）（Z＜0）圓盤中心（z=0）的電位圓盤中心表面處的電場強度（Z=0+）（Z=0-）圓盤面兩側(cè)電位φ連續(xù)而電場強度E不連續(xù)。

例1-3：如圖所示，兩點電荷+q和-q相距為d。當r＞＞d時，這一等量異號的電荷±q，稱為電偶極子。計算任一點P處的電位和電場強度。（p.10例1-5）prr1r2θdoz+q-q圖1-6電偶極子

解：應(yīng)用疊加原理，由點電荷在空間任一點的電位公式得P點的電位為因r＞＞d，則r1r2≈r2，r2－r1≈dcosθ，所以有上式改寫成式中p=qd，稱為電偶極子的電偶極矩，p（d）的方向由負電荷指向正電荷，單位為C·m（庫·米）因r＞＞d，則r1r2≈r2，r2－r1≈dcosθ，所以有推導(dǎo)：P.334第1行，在球坐標系下§1-2高斯定律1.2.1靜電場中的導(dǎo)體一、靜電感應(yīng)和靜電平衡1、靜電感應(yīng)：在外電場的作用下，導(dǎo)體內(nèi)部電荷重新分布的現(xiàn)象。2、靜電平衡：導(dǎo)體中（包括表面）沒有電荷定向移動的狀態(tài)。二、靜電平衡條件①導(dǎo)體內(nèi)部的場強處處為零②導(dǎo)體是個等勢體

③導(dǎo)體外的場強處處與它的表面垂直④導(dǎo)體如帶電，則電荷只能分布于其表面。1.2.2靜電場中的電介質(zhì)一、基本概念電介質(zhì)又稱為絕緣體，電導(dǎo)率基本為0的物質(zhì)，導(dǎo)電能力很弱的物體。二、物理結(jié)構(gòu)1.電介質(zhì)的特征是，它的帶電粒子是被原子核束縛著而不能自由運動，這種電荷叫做束縛電荷。2.外電場作用下，這些電荷也只能在微觀范圍內(nèi)移動。三、電介質(zhì)種類1、非極性分子電介質(zhì)：在沒有電場作用時，非極性分子內(nèi)部正負電荷的作用中心相重合，不產(chǎn)生電的現(xiàn)象。H22、極性分子電介質(zhì)：在沒有電場作用時，非極性分子內(nèi)部正負電荷的作用中心不重合，可以看做是一個電偶極子。H2O四、電偶極子1、電偶極子：一對等值異號的電荷q相距一個很小的距離L，它們組成的整體稱為電偶極子。2、電偶極矩：采用一個矢量，其大小等于qL乘積，方向-q指向+q，稱為電偶極子的電矩，簡稱電偶極矩。表達式五、電介的極化電介的極化：在電場的作用下，電介質(zhì)的內(nèi)部正負電荷的作用中心發(fā)生偏移或偏轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化。電介極化結(jié)果：使電介質(zhì)內(nèi)部存在有規(guī)律的電偶極子，而產(chǎn)生電場，并反過來影響原來的電場。六、極化強度1、定義：電介質(zhì)極化后，其內(nèi)部存在大量按一定規(guī)律分布的電偶極子將把電偶極矩的密度稱為極化強度。面密度體密度2、表達式單位：庫侖／米２（C/m2）3、物理意義上的計算公式在各向同性的線性介質(zhì)中，極化強度P與電場強度E成正比。即P=χε０E4、極化強度與極化電荷關(guān)系式極化電荷體密度極化電荷面密度1.2.3高斯定理一、定理內(nèi)容在真空中，通過任一閉合曲面的電場強度通量，等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以ε0。二、數(shù)學表達式中q是面S所限定的體積內(nèi)的全部電荷。推到

高斯定理是建立在庫侖定律的基礎(chǔ)上的，在有介質(zhì)存在時，它也成立，只不過在計算總電場的電通量時，應(yīng)計及高斯面內(nèi)所含的自由電荷q和束縛電荷qp。即式中q與qP分別為閉合面S內(nèi)的總自由電荷和總極化電荷其中從而有：所以：令并稱D為電位移矢量，于是有它比原來的公式優(yōu)越的地方，在于其中不包含束縛電荷，但這并不表示D本身與束縛電荷無關(guān)。

應(yīng)用高斯散度定律因此這就是高斯定律的微分形式，它表明靜電場是一個有源場。

此外，對于各向同性的電介質(zhì)，由于P=χε0E，所以引入則

上式中的ε為介質(zhì)的介電常數(shù)，而εr=ε/ε0稱為相對介電常數(shù)。應(yīng)該指出：D=ε0E+P是電位移D的一般定義式，不問介質(zhì)如何它都成立；而D=εE這一關(guān)系，僅適用于各向同性的線性電介質(zhì)1.2.4用高斯定律計算靜電場

當帶電體的分布具有某種對稱性時，電場的分布也將具有一定的對稱性，這時應(yīng)用高斯定律可以十分簡捷地求得電位移D和電場強度E。

例1-4有一半徑為a，電荷面密度為ρ的均勻帶電球，試求：⑴空間電場；⑵電位分布?！?-3靜電場基本方程·分界面上的銜接條件1.3.1靜電場基本方程

靜電場是有源無旋場，靜止電荷是靜電場的源。

靜電場基本方程是靜電場基本性質(zhì)的數(shù)學表示，有積分和微分兩種形式:微分形式積分形式在各向同性的線性介質(zhì)中例1.3.1已知試判斷它能否表示靜電場？

解:根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),矢量A

可以表示一個靜電場。1.3.2分界面上的銜接條件一、基本定義分界面：又稱為邊界，空間區(qū)域中分布著兩種或多種媒質(zhì)，其相互接觸的面稱為分界面（一線之隔）。銜接條件：E與Ｄ在分界面上各自須滿足的關(guān)系，稱為兩種媒質(zhì)分界面上的銜接條件。二、電位移D的邊界條件—法向分量ΔlD1Pε1ε2β2β1圖1-1D2ΔS

-D1n·ΔS+D2n·ΔS=σ·ΔSD2n-D1n=σ思路扁圓柱：一線之隔用高斯通量定律

-D1·enΔS+D2·enΔS=σ·ΔS如果分界面上沒有作面分布的自由電荷，則上式可寫成

D1n=D2n結(jié)論：D的法向分量不連續(xù)，是由于分界面上存在自由電荷。如果分界面上不存在自由電荷，則D的法線分量連續(xù)。三、電場強度Ｅ的邊界條件—切向方向α1E2nE2E1E1nE2tE1tε1ε2Δl1Δl2α2圖1-2P

∮E·dl=0可得：

E1·etΔl1-E2·etΔl2=0E1tΔl1-E2tΔl2=0即E1t=E2t思路扁矩形：一線之隔用環(huán)路定律結(jié)論：在兩種介質(zhì)的分界面上，電場強度的切線分量是連續(xù)的。靜電場中分界面上的銜接條件D2n-D1n=σE1t=E2t四、靜電場的折射定律圖1.3.2介質(zhì)分界面當交界面上時，稱為折射定律。ΔlD1Pε1ε2β2β1D2ΔSD1=ε1E1，D2=ε2E2§1-4靜電場邊值問題·唯一性定理已知空間某一區(qū)域內(nèi)的電荷分布，給定該區(qū)域邊界上的電位或電場，求解該區(qū)域內(nèi)的電位函數(shù)或電場強度分布。這類問題稱為靜電場的邊值問題。一、基本定義二、泊松方程和拉普拉斯方程這就是靜電場的泊松方程。當r=0時成為：拉普拉斯方程

稱為Laplace算子

三、靜電場邊值問題

思路：靜電場邊值問題其實就是求滿足給定邊界條件的泊松方程或拉布拉斯方程的解的問題，稱之為靜電場的邊值問題。1）第一類邊界條件（狄里赫利條件，Dirichlet)2）第二類邊界條件（諾依曼條件Neumann)3）第三類邊界條件已知邊界上各點的電位已知邊界上電位的法向?qū)?shù)(即電荷面密度或電力線)已知邊界上電位及電位法向?qū)?shù)的線性組合分類四、唯一性定理1、定理內(nèi)容在靜電場中，滿足給定邊界條件的微分方程（泊松方程或拉布拉斯方程）的解釋唯一的，稱之為靜電場的唯一性定理。2、物理角度場源相同、場分布相同，則場一定相同。3、數(shù)學角度方程相同、邊界條件相同，則解一定相同。4、唯一性定理的作用2、可以采用等效方法進行問題的求解，只要保證滿足唯一性定理的條件，則解法不同，但解卻一定相同。1、確定什么是相同場的判定條件?！?-5分離變量法一、基本內(nèi)容1、基本思路：靜電場邊值問題其實就是求滿足給定邊界條件的泊松方程或拉布拉斯方程的解的問題。一個變量的函數(shù)→一個二階常微分方程的解→兩個或自變量的函數(shù)→分離變量法。2、分離變量法：分離變量法是求解微分方程的一種典型方法。就是把一個包含多個自變量的函數(shù)，用各包含一個自變量的函數(shù)的乘積表示，代入偏微分方程后，能夠?qū)⑵⒎址匠谭蛛x為幾個常微分方程，從而可以分別求解。3、解題的一般步驟：寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）；分離變量，將偏微分方程分離成幾個常微分方程；解常微分方程，并疊加得到通解；利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的解。二、直角坐標系中的分離變量法設(shè)電位分布只是x和y的函數(shù),而沿z方向沒有變化，則拉普拉斯方程為令：代入上式，并兩邊處于XY則得方程兩邊相等其中C(常數(shù))：分析1、當kn=0時，方程的解為2、當kn≠0時，則方程的解為因拉氏方程是線性方程，適用疊加原理三、圓柱坐標系中的分離變量法柱坐標系中的二維拉普拉斯方程為（電位沿z方向沒有變化）：令：代入上式，整理方程兩邊相等因此：分析1、當kn=0時，方程的解為2、當kn≠0時，則方程的解為柱坐標系中二維拉普拉斯方程的通解是例題§1-7鏡像法和電軸法1-7-1鏡像法一、導(dǎo)入新課1、如何求解靜電場中導(dǎo)體感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場？2、如何求解靜電場中電介質(zhì)極化電荷所產(chǎn)生的電場？等效法用虛設(shè)的點電荷等效代替導(dǎo)體表面上復(fù)雜分布的感應(yīng)電荷及電介質(zhì)因極化而產(chǎn)生的難以確定其分布的極化電荷。依據(jù)：唯一性定理（物理、數(shù)學角度）二、鏡像法的核心內(nèi)容三、鏡像法的具體內(nèi)容只要虛設(shè)的點電荷等與邊界內(nèi)的實際電荷一起所產(chǎn)生的電場能滿足給定的邊界條件，這個結(jié)果就是正確的。此虛設(shè)電荷稱為鏡像電荷，此方法稱為鏡像法。四、鏡像法的解題步驟1、將整個場域分為待求場域和鏡像電荷所在場域2、借助邊界條件求出鏡像電荷三要素（個數(shù)、位置和電量）3、將另外一種介質(zhì)去掉，整個空間充滿與待求區(qū)域中相同的介質(zhì)4、由鏡像電荷和實際電荷共同確定待求區(qū)域的電場五、介紹三個鏡像法的典型問題

㈠點電荷對無限大導(dǎo)體平面的電場ε0S+q（d,0,0）xε0S+q（d,0,0）x-q（-d,0,0）P（x,y,z）ε0

分析1、除點電荷q外，2、在導(dǎo)電平面上應(yīng)滿足邊界條件φ=0。故其各處電位都應(yīng)與無限遠處的電位相同3、鏡像電荷（位置、電量跟q的一樣）4、導(dǎo)體上空間P（X、Y、Z）點的點位

3、因?qū)w球接地，在球面上1、除點電荷q所在點外，空間中電位應(yīng)滿足拉普拉斯方程；㈡點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像問題θ-q’qdRboP

如圖中，半徑為R、導(dǎo)體球外接地、距球心為d處有一點電荷q。根據(jù)唯一性定理，球外電位應(yīng)滿足的條件是：

2、當r→∞時，則球外任意一點P的電位為確定鏡像電荷的位置和大小。分析

㈢點電荷對無限大介質(zhì)平面分界面的鏡像問題圖中介電常數(shù)為ε1的介質(zhì)中距離分界面為h處置一點電荷q。要求計算分界面兩方的電場。1、這個問題的特點是兩種介質(zhì)中都存在電場，必須分別計算。2、根據(jù)唯一性定理兩種介質(zhì)中的電位應(yīng)滿足的條件是：

3、除點電荷q所在點外，左、右半空間中電位都滿足拉普拉斯方程

4、當r→∞時，

5、在分界面上有銜接條件在此使用這樣的鏡像系統(tǒng)，左半空間的場由原來電荷q和像電荷q’所產(chǎn)生（此時假定介質(zhì)1充滿整個空間）；右半空間的電場由q”單獨產(chǎn)生（此時假定介質(zhì)2充滿整個空間）a)b)鏡像法小結(jié)

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是：鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是：鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻媒質(zhì)；靜電場惟一性定理；確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)、大小及位置；應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時，注意：§1-8電容和部分電容1.8.1電容一、基本概念1、通常簡稱其容納電荷的本領(lǐng)為電容。任何兩導(dǎo)體之間