第2章地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第2章地理空間數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地理空間的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是GIS空間位置數(shù)據(jù)定位、量算、轉(zhuǎn)換和參與空間分析的基準(zhǔn)。所有空間數(shù)據(jù)必須納入到相同空間參考基準(zhǔn)下才可以進行空間分析。本章主要討論如下內(nèi)容：地球空間參考空間數(shù)據(jù)投影空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換空間尺度地理格網(wǎng)22023/2/62.1地球空間參考地球形狀眾所周知，地球是一個近似球體，其自然表面是一個極其復(fù)雜的不規(guī)則曲面。為了深入研究地理空間，有必要建立地球表面的幾何模型。根據(jù)大地測量學(xué)的研究成果，地球表面幾何模型可以分為四類：1、地球形狀與地球橢球地球的自然表面大地水準(zhǔn)面地球橢球面數(shù)學(xué)模型32023/2/6地球的自然表面：是一個起伏不平，十分不規(guī)則的表面，包括海洋底部、高山高原在內(nèi)的固體地球表面；大地水準(zhǔn)面：假設(shè)當(dāng)海水處于完全靜止的平衡狀態(tài)時，從海平面延伸到所有大陸下部，而與地球重力方向處處正交的一個連續(xù)、閉合的水準(zhǔn)面；42023/2/6地球橢球面：總體上講，大地體非常接近旋轉(zhuǎn)橢球，而后者的表面是一個規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面。所以在大地測量以及GIS應(yīng)用中，一般都選擇一個旋轉(zhuǎn)橢球作為地球理想的模型，可用數(shù)學(xué)公式表達為：式中，a為長半徑，近似等于地球赤道半徑；b為極軸半徑，近似等于南極（北極）到赤道面的距離。數(shù)學(xué)模型：是在解決其它一些大地測量學(xué)問題時提出來的，如類地形面、準(zhǔn)大地水準(zhǔn)面、靜態(tài)水平衡橢球體等；bEWλP?NSOa夸張的地球重力圖橢球定位與定向橢球定位：確定橢球中心的位置。地心定位：橢球面與大地水準(zhǔn)面全球最佳符合。橢球中心與地球質(zhì)心一致或最為接近。局部定位：橢球面與大地水準(zhǔn)面局部最佳符合。橢球定向：確定旋轉(zhuǎn)軸和起始子午面的方向。

a.橢球短軸平行于地球旋轉(zhuǎn)軸；

b.大地起始子午面平行于天文起始子午面.72023/2/62、坐標(biāo)系統(tǒng)地理空間坐標(biāo)系統(tǒng)提供了確定空間位置的參照基準(zhǔn)。一般情況，根據(jù)表達方式的不同，地理空間坐標(biāo)系統(tǒng)通常分為球面坐標(biāo)系統(tǒng)和平面坐標(biāo)系統(tǒng)（或投影坐標(biāo)系統(tǒng)）。地理空間坐標(biāo)平面坐標(biāo)系統(tǒng)高斯平面直角坐標(biāo)系地方獨立平面直角坐標(biāo)系（投影坐標(biāo)系統(tǒng)）球面坐標(biāo)系統(tǒng)天文地理坐標(biāo)大地地理坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系參心空間直角坐標(biāo)系地心地固空間直角坐標(biāo)系92023/2/63、高程基準(zhǔn)高程是表示地球上一點至參考基準(zhǔn)面的距離，就一點位置而言，它和水平量值一樣是不可缺少的。大地水準(zhǔn)面、似大地水準(zhǔn)面和地球橢球面都是理想的表面。我國主要高程基準(zhǔn)：1956年黃海高程系以青島港驗潮站的長期觀測資料推算出的黃海平均海平面作為中國的水準(zhǔn)基面；1985國家高程基準(zhǔn)基準(zhǔn)面為青島大港驗潮站1952－1979年驗潮資料確定的黃海平均海面；青島觀象山水準(zhǔn)原點中華人民共和國大地原點，是1980年國家大地坐標(biāo)系起算點。大地原點位于陜西省涇陽縣永樂店北洪流村。122023/2/6深度基準(zhǔn)是指海圖圖載水深及其相關(guān)要素的起算面。通常取當(dāng)?shù)仄骄Ｃ嫦蛳乱欢ㄉ疃葹檫@樣的起算面，即深度基準(zhǔn)面。LZ平均海面深度基準(zhǔn)面海底132023/2/62.2空間數(shù)據(jù)投影

在數(shù)學(xué)中，投影（Project）的含義是指建立兩個點集之間一一對應(yīng)的映射關(guān)系。同樣，在地圖學(xué)中，地圖投影的實質(zhì)就是按照一定的數(shù)學(xué)法則，將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)轉(zhuǎn)換到平面上，建立地面點位的地理坐標(biāo)（B,L）與地圖上相對應(yīng)的平面直角坐標(biāo)（X,Y）之間一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。在數(shù)學(xué)上講,地球表面是一種不可能展開的曲面，要把這樣一個曲面表現(xiàn)到平面上,就會發(fā)生裂隙或褶皺。運用經(jīng)緯線的“拉伸”或“壓縮”實現(xiàn)投影，往往會造成地圖投影的變形。長度變形面積變形角度變形142023/2/6152023/2/6162023/2/6172023/2/6182023/2/6192023/2/6地圖投影的種類繁多，通常采用以下兩種分類方法：1.按地圖投影的構(gòu)成方法分類：正軸橫軸斜軸方位圓柱圓錐202023/2/62.按地圖投影的變形性質(zhì)分類等角投影投影前后對應(yīng)的微分面積保持圖形相似；等面積投影在投影平面上任意一塊面積與橢球面上相應(yīng)的面積相等；等距投影等距投影的面積變形小于等角投影，角度變形小于等面積投影；212023/2/6常用地圖投影1.高斯—克呂格投影（橫軸切圓柱等角投影）高斯投影的中央經(jīng)線和赤道為互相垂直的直線，其他經(jīng)線均為凹向，并對稱于中央經(jīng)線的曲線，其他緯線均是以赤道為對稱軸的向兩極彎曲的曲線，經(jīng)緯線成直角相交。變形特征是：在同一條經(jīng)線上，長度變形隨緯度的降低而增大，在赤道處為最大；在同一條緯線上，長度變形隨經(jīng)差的增加而增大，且增大速度較快。N’S’YXONSO赤道222023/2/6我國規(guī)定1:1萬、1:2.5萬、1:5萬、1:10萬、1:25萬、1:50萬比例尺地形圖，均采用高斯投影。1:2.5至1:50萬比例尺地形圖采用經(jīng)差6?分帶，1:1萬比例尺地形圖采用經(jīng)差3?分帶。242023/2/62.橫軸墨卡托投影（UTM）UTM投影是一種橫割圓柱等角投影，圓柱面在84?N和84?S處與橢球體相割，它與高斯—克呂格投影十分相似，也采用在地球表面按經(jīng)度每6?分帶。其帶號是自西經(jīng)180?由西向東每隔6?一個編號。3.蘭勃特等角投影(LambertConformalConic)在雙標(biāo)準(zhǔn)緯線下是“正軸等角割圓錐投影”。設(shè)想用一個正圓錐割于球面兩標(biāo)準(zhǔn)緯線，應(yīng)用等角條件將地球面投影到圓錐面上，然后沿一母線展開，即為蘭勃特投影平面。墨卡托(Mercator)投影是它的一個特例。252023/2/62.3空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

1、基本概念空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是把空間數(shù)據(jù)從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中?？臻g轉(zhuǎn)換有時也稱投影變換。投影變換是地圖制圖的理論基礎(chǔ)，主要用來解決換帶計算、地圖轉(zhuǎn)繪、圖層疊加、數(shù)據(jù)集成等問題。兩個層面的解釋：投影的轉(zhuǎn)換：在完成地理坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換的同時，必須完成空間參考框架信息（包括參考橢球、大地基準(zhǔn)面以及投影規(guī)則）的精確轉(zhuǎn)換。單純坐標(biāo)值的變換:只需要把空間數(shù)據(jù)的坐標(biāo)值從一種空間參考系映射到另一種空間參考系中，轉(zhuǎn)換后的空間參考系信息直接采用目標(biāo)空間參考系信息。平面坐標(biāo)變換—坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)11026272023/2/62.空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

Z1Z2X2X1Y2Y1O1O2εxεyεz282023/2/63.投影解析轉(zhuǎn)換如果參與轉(zhuǎn)換空間參考系的投影公式，1）存在精確解析關(guān)系式：直接進行坐標(biāo)換算；2）不存在精確解析關(guān)系式：采用間接變換，即先將一種投影的平面坐標(biāo)換算為球面大地坐標(biāo)，然后再對球面大地坐標(biāo)計算出另一種投影下的平面坐標(biāo)，從而實現(xiàn)兩種投影坐標(biāo)間的變換。同一地理坐標(biāo)基準(zhǔn)下的坐標(biāo)變換292023/2/6不同地理坐標(biāo)基準(zhǔn)下的坐標(biāo)變換實現(xiàn)整個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本過程為（以WGS84坐標(biāo)和1980西安坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換為例）：主要包括：地理坐標(biāo)基準(zhǔn)的變換；坐標(biāo)值的變換；a.（B，L）84轉(zhuǎn)換為（X,Y,Z）84，即空間大地坐標(biāo)到空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；b.（X,Y,Z）84轉(zhuǎn)換為（X,Y,Z）80，坐標(biāo)基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換，即參考橢球轉(zhuǎn)換。該過程可以通過七參數(shù)或簡化三參數(shù)法實現(xiàn)；c.（X,Y,Z）80轉(zhuǎn)換為（B,L）80，把空間直角坐標(biāo)到空間大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；d.（B,L）80轉(zhuǎn)換為（x,y）80，通過高斯－克呂格投影公式計算出高斯平面坐標(biāo)值。302023/2/64.數(shù)值擬合轉(zhuǎn)換若無法獲取參與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的空間參考的投影信息，可以采用單純數(shù)值變換的方法實現(xiàn)坐標(biāo)變換。1）多項式擬合變換根據(jù)兩種投影在變換區(qū)內(nèi)的已知坐標(biāo)的若干同名控制點，采用插值法，或有限差分法、有限元法、待定系數(shù)最小二乘法，實現(xiàn)兩種投影坐標(biāo)之間的變換。2）數(shù)值—解析變換先采用多項式逼近的方法確定原投影的地理坐標(biāo)，然后將所確定的地理坐標(biāo)代入新投影與地理坐標(biāo)之間的解析式中，求得新投影的坐標(biāo)，從而實現(xiàn)兩種投影之間的變換。312023/2/62.4空間尺度

尺度在概念上是指研究者選擇觀察（測）世界的窗口。觀測尺度比例尺操作尺度分辨率在進行空間分析時，從獲取信息到數(shù)據(jù)處理、分析往往會涉及到四種尺度問題：現(xiàn)實世界（觀測尺度）地圖（比例尺）影響（分辨率）其它用戶接受的信息采集處理分析（操作尺度）322023/2/61.觀測尺度是指研究的區(qū)域大小或空間范圍。認(rèn)識或觀察地理空間觀察及其變化時一般需要更大的范圍，即大尺度（地理尺度）研究覆蓋范圍較大區(qū)域。2.比例尺把地球表面多維的景物和現(xiàn)象描寫在二維有限的平面圖紙上：當(dāng)制圖區(qū)域比較小時，地圖比例尺指圖上長度與地面之間的長度比例；當(dāng)制圖區(qū)域相當(dāng)大時，地圖比例尺指在進行地圖投影時，對地球半徑縮小的比率；傳統(tǒng)地圖比例尺的表現(xiàn)形式：數(shù)字式；文字式；圖解式；332023/2/63.分辨率圖像分辨率：表示景物信息的詳細程度光譜分辨率時間分辨率空間分辨率地面像元分辨率：遙感儀器所能分辨的最小地面物體大小數(shù)字圖像的空間分辨率應(yīng)該通過離散的像元之間所能分辨的目標(biāo)物細節(jié)的最小尺寸或?qū)?yīng)目標(biāo)物空間中兩點之間的最小距離表達。4.操作尺度指對空間實體、現(xiàn)象的數(shù)據(jù)進行處理操作時應(yīng)采用的最佳尺度，不同操作尺度影響處理結(jié)果的可靠程度或準(zhǔn)確度。342023/2/62.5地理格網(wǎng)

地理格網(wǎng)指按一定的數(shù)學(xué)規(guī)則對地球表面進行劃分而形成的格網(wǎng)。按不同的坐標(biāo)系統(tǒng)可以分為：地理坐標(biāo)格網(wǎng)（按經(jīng)緯度坐標(biāo)系統(tǒng)）直角坐標(biāo)格網(wǎng)（按直角坐標(biāo)系統(tǒng)）352023/2/6格網(wǎng)系統(tǒng)GB12409—90國家標(biāo)準(zhǔn)《地理格網(wǎng)》規(guī)定了我國采用三種格網(wǎng)系統(tǒng)。格網(wǎng)系統(tǒng)

4ox6o格網(wǎng)系統(tǒng)分級直角坐標(biāo)格網(wǎng)系統(tǒng)分級10ox10o格網(wǎng)系統(tǒng)；4ox6o格網(wǎng)系統(tǒng)；直角坐標(biāo)格網(wǎng)系統(tǒng)；362023/2/6地理格網(wǎng)設(shè)計原則（1）科學(xué)性。地理格網(wǎng)按照地理象限、經(jīng)緯度或直角坐標(biāo)進行劃分，這三種格網(wǎng)系統(tǒng)可以相互轉(zhuǎn)換，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。（2）系統(tǒng)性。三種格網(wǎng)的分級各呈一定的比例關(guān)系，構(gòu)成完整的系列，便于組成地區(qū)的、國家的或全球的格網(wǎng)體系。（3）實用性。格網(wǎng)的劃分，充分考慮不同用戶需要及現(xiàn)行的測繪基礎(chǔ)，設(shè)計了三種系統(tǒng)的多級格網(wǎng)，以滿足不同精度要求，便于用戶選擇。（4）可擴展性。格網(wǎng)的分級與編碼設(shè)計，充分考慮了發(fā)展的需要，使得進一步細分時能在本標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上進行擴充而不必改變原有的劃分體系。區(qū)域劃分標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)區(qū)域管理、規(guī)劃和決策的需要，在建立區(qū)域或?qū)I(yè)地理信息系統(tǒng)時，有必要將整個區(qū)域劃分成若干種區(qū)域多邊形，作為信息存貯、檢索、分析和交換的控制單元，也可以作為空間定位的統(tǒng)計單元，這就要求系統(tǒng)設(shè)計要規(guī)定統(tǒng)一的區(qū)域多邊形控制系統(tǒng)，并規(guī)定各種多邊形區(qū)域的界線、名稱、類型和代碼。372023/2/6可劃分為：行政分區(qū)綜合自然分區(qū)管理分區(qū)382023/2/61.行政分區(qū)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB2260—91《中華人民共和國行政區(qū)劃代碼》規(guī)定，基本單元：縣級(市轄區(qū)、地轄市和省直轄縣級市、旗)分為：縣(市轄區(qū)、地轄市、省直轄縣級市、旗)地區(qū)(州、省轄市、盟)省(自治區(qū)、中央直轄市)國家縣以下行政區(qū)的代碼可以根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GBl0114—88《縣以下行政區(qū)劃代碼編制規(guī)則》自行編制。392023/2/62.綜合自然分區(qū)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB／T13923—92《國土基礎(chǔ)信息數(shù)據(jù)分類與代碼》規(guī)定，基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)分為8大類：測量控制點水系居民地交通管線與垣柵境界地形與土質(zhì)植被402023/2/6編碼方法是在上述分類基礎(chǔ)上，即國土基礎(chǔ)信息數(shù)據(jù)分為九個大類，并依次細分為中類、小類和屬性分類。分類代碼由六位數(shù)字碼組成，結(jié)構(gòu)如下圖：在原國家標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上進行修訂，形成具有:一級類:9個(在原標(biāo)準(zhǔn)8大類基礎(chǔ)上增加一個大類)二級類：42個三級類:300個四級類：240個XXXXXX大類碼中類碼小類碼屬性分類識別位412023/2/63.管理分區(qū)關(guān)于管理分區(qū)，已發(fā)布的國家標(biāo)準(zhǔn)主要有《鐵路車站站名代碼》(GB／T10302—1988)、《公路橋梁命名編號和編碼規(guī)則》(GB／T11708—1989)、《城市地理要素、城市道路、道路交叉口、街坊、市政工程管線編碼結(jié)構(gòu)規(guī)則》(GB／T14395—1993)等。例如郵政分區(qū)標(biāo)準(zhǔn)中，把全國郵政分為省、郵區(qū)、郵局、支局和投遞局五級，井進行全國統(tǒng)一編碼。?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）郵區(qū)縣（市）投遞局226156該郵編指：江蘇省南通市海門縣某投遞局422023/2/6國家基本比例尺地形圖標(biāo)準(zhǔn)我國把1:1萬、l:2.5萬、1:5萬、1:10萬、1:25萬、1:50萬、1:100萬這7種比例尺作為國家基本地圖的比例尺系列?；A(chǔ)地圖：地形圖地形圖的編繪具有統(tǒng)一的大地控制基礎(chǔ)、統(tǒng)一的地圖投影和統(tǒng)一的分幅編號；嚴(yán)格按照測圖規(guī)范、編圖規(guī)范和圖式符號進行。地形圖的分幅形式：矩形分幅經(jīng)緯線分幅每幅圖的圖廓都是—個矩形，因此相鄰圖幅是以直線劃分的。矩形的大小多根據(jù)紙張和印刷機的規(guī)格而定。432023/2/6根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)GB／F1398~92《國家基本比例尺地形圖分幅和編號》規(guī)定，我國基本比例尺地形圖均以1:100萬地形圖為基礎(chǔ)，按規(guī)定的經(jīng)差和緯差劃分圖幅。其中，1:100萬地形圖的分幅采用國際1:100萬地圖分幅標(biāo)準(zhǔn)。每幅1:100萬地形圖的范圍是經(jīng)差6o、緯差4o；緯度60o~76o為經(jīng)差12o、緯差4o；緯度76o~88o之間經(jīng)差24o、緯差4o。我國范圍內(nèi)百萬分之一地圖都是按經(jīng)差6o，緯差4o分幅的。地形圖的經(jīng)緯差、行列數(shù)及圖幅數(shù)比例尺1/100萬1/50萬1/25萬1/10萬1/5萬1/2.5萬1/1萬1/5千圖幅范圍經(jīng)度6度3度1度30分30分15分7分30秒3分45秒1分52.5秒緯度4度2度1度20分10分5分2分30秒1分15秒行列數(shù)行數(shù)12412244896192列數(shù)12412244896192圖幅數(shù)量關(guān)系

14161445762304921636864

143614457623049216

19361445762304

141664256

141664

1416

14442023/2/61:100萬地形圖編號采用全球統(tǒng)一分幅編號。行數(shù)：由赤道起向南北兩極每隔緯差4?為一列，直到南北88?（南北緯88?至南北兩極地區(qū)，采用極方位投影單獨成圖），將南北半球各劃分為22列，分別用拉丁字母A、B、C、D、…、V表示。列數(shù)：從經(jīng)度180?起向東每隔6?為一行，繞地球一周共有60行，分別以數(shù)字1、2、3、4……60表示。452023/2/61:100萬-1:5000地形圖編號均以1:100萬地形圖編號為基礎(chǔ)，采用行列編號的方法。比例尺1:50萬1:25