淺談傅里葉變換及其應(yīng)用小論文

淺談傅里葉變換及其應(yīng)用(小論文)一．由來傅里葉變換（Fourier

變換）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫·傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀念。二．概要介紹

傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的?！?）2.傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似。

正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取。三．計算方法連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)

f（t）表示成復指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。這是將頻率域的函數(shù)

F(ω)表示為時間域的函數(shù)

（t）的積分形式。連續(xù)傅里葉變換的逆變換(inverseFouriertransform)為即將時間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。一般可稱函數(shù)f（t）為原函數(shù)，而稱函數(shù)F(ω)為傅里葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅里葉變換對（transformpair）。四．應(yīng)用領(lǐng)域傅里葉變換在物理學、聲學、光學、結(jié)構(gòu)動力學、數(shù)論、組合數(shù)學、概率論、統(tǒng)計學、信號處理、密碼學、海洋學、通訊等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量。五．簡介離散傅里葉變換的應(yīng)用。DFT在諸多多領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用，下面僅是頡取的幾個例子。需要指出的是，所有DFT的實際應(yīng)用都依賴于計算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（即FFT）是計算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法。）。1.頻譜分析DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似。因此可以對連續(xù)信號x(t)均勻采樣并截斷以得到有限長的離散序列，對這一序列作離散傅里葉變換，可以分析連續(xù)信號x(t)頻譜的性質(zhì)。前面還提到DFT應(yīng)用于頻譜分析需要注意的兩個問題：即采樣可能導致信號混疊和截斷信號引起的頻譜泄漏?？梢酝ㄟ^選擇適當?shù)牟蓸宇l率（見奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇適當?shù)男蛄虚L度并加窗可以抑制頻譜泄漏。2.數(shù)據(jù)壓縮由于人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點將語音、音頻、圖像、視頻等信號的高頻部分除去。高頻信號對應(yīng)于信號的細節(jié)，濾除高頻信號可以在人類感官可以接受的范圍內(nèi)獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過離散傅里葉變換完成的。將時域或空域的信號轉(zhuǎn)換到頻域，僅儲存或傳輸較低頻率上的系數(shù)，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號。DMOFDM（正交頻分復用）在寬帶無線通信中有重要的應(yīng)用。這種技術(shù)將帶寬為N個等間隔的子載波，可以證明這些子載波相互正交。尤其重要的是，OFDM調(diào)制可以由IDFT實現(xiàn)，而解調(diào)可以由DFT實現(xiàn)。OFDM還利用DFT的移位性質(zhì)，在每個幀頭部加上循環(huán)前綴（CyclicPrefix），使得只要信道延時小于循環(huán)前綴的長度，就能消除信道延時對傳輸?shù)挠绊?。參考文獻（1）^林家翹、西格爾著《自然科學中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學》，科學出版社，北京。原版書名為C.C.Lin&L.A.Segel,MathematicsAppliedtoDeterministicProblemsintheNaturalSciences,