考霸young-線性代數(shù)線代第三章

第三 矩陣的初等變換與線性方程1把下列矩陣化為行最簡形矩陣1323

2 413 23

2 1(下一步r2(2)r1r3(3)r1410~00

20 3(下一步r2(1)r3(2)0 10~00 10~00 1~0

2013(下一步r3r20 2313(下一步r333 213(下一步r23r30001 0001 10~00 10~00

21 0(下一步r1(2)r2r1r31 01101 000

234

300 00 00~00

3 3(下一步r22(3)r1r3(2)r173 3(下一步r3r2r13r2100~0000~00

2000 3(下一步r12)00 10001300 1132333233 343

1335

(下一步r3rr2rr3r2 23 3

34

1

1 1 3~0 0

(下一步r(4)r(3)r(5)00 0000 00

10

1134~0

01

2(下一步r3rrrrr2 1~ ~00000000

11 1

220000

2

242 2 2

10

700332

3120

7(下一步r2rr3rr2r30 2 3023 3 2301

2

2 ~

20

(下一步r2rr8rr7r0 00 70

9 81

1

1 (下一步rrr(1)rr440000

44

2 400~ 10000 00

41(下一步r2r3410 0 34~0 4000 001010

121792設(shè)100A0179

0456100 1001

0 0

00E(12)其逆矩陣就是其本身1 1100000

10E(12(1))1E(1

1000

101 01 04 8 8 561

0 4 230 01 17808 17808 試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q求下列方陣的逆矩陣3 33 333

0 2

101 3 10~011

1131020 31020

021 203/2

1/ 0

7/229/ ~01 1 2~01

1 0100201 10100201

1/2 1/10~0100

7/61/

2/3

3/1/故逆矩陣為

1

322 122 22 00

2

113 00 0011 23011

100001 0000 0100 1~00~00~~

23 23 02231

0 0 1030 0 0 1030 0 0 103216

11000001~00

20100100

11 1 16

10~~00

1 1 16

故逆矩陣為

1 21 6214341)A23

1 1

B233

2X 因A

0

434所 XA1B15344

2設(shè)A 2 3B231求X使3 3 考慮ATXTBT因0

2

2(AT

21 1

23 10 10

74 42所 XT(AT)1BT1 7 從

1 5設(shè)A 11AX2XA求 原方程化為(A2E)XA因1 1 (A2E,A)01 110 011010 ~010 0 0 10

00 1所 X(A 01 016在秩是r的矩陣中,有沒有等于0的r1階子式?有沒有等于0的r階子式? 在秩是r的矩陣中可能存在等于0的r1階子式也可能存在等于0的r階子式例如

100A010 0

000000002階子式00

0010003階子式017ABAB樣 BA的非零子式AB的秩84的方陣(10100)(1100 用已知向量容易構(gòu)成一個有4個非零行的5階下三角 011 000000000 00

000001010 0423行是已知向量9求下列矩陣的秩并求一個最高階非零子式(1)

4 24 解 解 ~ ~ 1 0~0 40 41

41(下一步r1r2442(下一步r23r1r3r1455(下一步r3r25 40

501矩陣的秩為2 14是一個最高階非零子式13(2)2

3 1313 27

5

3(下一步r1r2r22r1r37r1~~07 ~07

95 95

步r33r20 矩陣的秩是

7是一個最高階非零子式211

18302503

500002

13

750(下一步r2rr2rr3r0130 130

5 03 02

4

4 ~0

3

3(下一步r3rr2r00 2 00100 100

1 ~

(下一步r16rr16r00

4 10 0~0~00001010

21 00 00 0 ~01 ~01000 01000000 00007矩陣的秩為 5 3

00是一個最高階非零子式10設(shè)A、B都是mn矩陣證明A~B證 根據(jù)定理3必要性是成立的充分性R(A)R(B)AB的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的BDA~D由等價關(guān)系的傳遞性123k11A12k3k為何值3k 3k(1)R(A)1(2)R(A)21

3kr A12k3~0k k 30k0 30k0 k1時k2k1時k1k2時12求解下列齊次線性方程組 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換112 10 A2111~0

22021 22021

14/3x4 3于 x23x4x4 3x 4 3x2k3(k為任意常數(shù)x

43

31 1 3x16x2x33x40 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換 120 ~00 0 00 x12x2于 x2 xx4

1x

02 0k20(k1k2為任意常數(shù) 1 2x13x2x35x403x1x22x37x404xx3x6x0x 12x24x37x40 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換 3

1000 0

7~0

0041411 1x1

47

00 100 1于 x20xx4x1x20xx47x

x3x

0 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換

32~ 于

7 72

33

x 2 (k1k2為任意常數(shù) x4 13求解下列非齊次線性方程組 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換3210032100

3

068R(A)2R(B)3故方程組無解8 z 2

5 8 4xy9z 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換

1 20 0

5~01

28 841 41

0 00 0于 yz x

y

2(k為任意常數(shù)z 4x2y2zw2 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換 1

1 11/

1/201/0 0

12~0

0 02101 2101

0 x1y1z 于 y zx

1

1

1y

2

2

2 zk 1k00(k1k2為任意常數(shù)

21

0

0 0 (4)3x2yz3w 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換 1

B3

13 4~015/7 9/75 x x

5 0 于 y5z9w5 zwx

17

1 6 7 7 yk5k95(k

z

171

7 7 0

14

xc3c 1010 根據(jù)已知可得

01 01

x2c3c

4x

3 x23c14c2xc x4 x12x3 x3x x12x3x40x3x4x0 這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組15取何值時(1)有唯一解(2)無解(3)有無窮多個解11 B11 1r1

1

~0

0

要使方程組有唯一解必須R(A)3因此當(dāng)1且2要使方程組無解R(A)R(B)因此2時方程組無解要使方程組有有無窮多個解R(A)R(B)3因此當(dāng)1時方程組有無窮多個解16當(dāng)取何值時有解？并求出它的解 1

1 B 1 ~0 1 2(1) 1

0 0

要使方程組有解必須(1)(2)0即1當(dāng)1時 1

01010B 1 1~01

01000 11000

xx

或x2 x2

x

1 x2k10(k為任意常數(shù)x 03

當(dāng)2時 1

1010B 1 12~010

24000 14000

xx

或x2x32x2x3

x

2 x2k12(k為任意常數(shù)x 03

17設(shè)2x1(5)x24x3 2x14x2(5)x3問為何值時此方程組有唯一解、無解或有無窮多解?無窮多解時求解2

25

5

2~0

51

1

1 00 (1)(10)00要使方程組有唯一解R(A)R(B)3所以當(dāng)1且10時方程組有唯一解要使方程組無解R(A)R(B)所以當(dāng)10時方程組無解.要使方程組有無窮多解R(A)R(B)3所以當(dāng)1時方程組有無窮多解10B~00

2