高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)公式解題技巧大全集(共186張PPT)

公式匯

一般地，曲線y=f(x)上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線的斜率的計(jì)算公式：利用公式）點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為一般地：點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)為（y0，x0）點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)為（-y0，-x0）點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線y=x+b的對稱點(diǎn)為（y0-b，x0+b）點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線y=-x+b的對稱點(diǎn)為（b-y0，-x0+b）點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線y=0（即x軸）的對稱點(diǎn)為（x0，-y0）點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線x=0（即y軸）的對稱點(diǎn)為（-x0，y0）

點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線y=m的對稱點(diǎn)為（x0，2m-y0）點(diǎn)（x0，y0）關(guān)于直線x=n的對稱點(diǎn)為（2n-x0，y0）

注：當(dāng)對稱軸的斜率為±1或?qū)ΨQ軸與坐標(biāo)軸垂直時(shí)可用上述方法直接求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。數(shù)列通項(xiàng)an等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn等比數(shù)列定義通項(xiàng)前n項(xiàng)和性質(zhì)知識結(jié)構(gòu)

等差數(shù)列

等比數(shù)列

定義通項(xiàng)公式中項(xiàng)公式

前n項(xiàng)和公式

an+1-an=d(常數(shù)),n∈N*

an+1/an=q(常數(shù)),n∈N*

an=a1+(n-1)d

an=a1qn-1(a1,q≠0)

若a，A，b成等差數(shù)列，則A=(a+b)/2.

等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念和公式

若a，G，b成等比數(shù)列，則G2=ab（a,b≠0）判斷（或證明）數(shù)列為等差(等比）的方法：方法一（定義）(an+1－an=d

或

an－an－1=d(n≥2)方法二(等差中項(xiàng))an+1+an－1=2an

(n≥2)1、等差數(shù)列：2、等比數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項(xiàng)和注意公式的變形應(yīng)用（1）（2）若則（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列等差數(shù)列的重要性質(zhì)等差數(shù)列的重要性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為n2則ndSS=-奇偶若項(xiàng)數(shù)為12-n則naSS=-偶奇（中間項(xiàng)）通項(xiàng)公式：等差數(shù)列{an}

的判定方法：等差數(shù)列性質(zhì)：若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則前n和公式：等差數(shù)列{an}說明：利用這一特征，可以簡化解題，減少運(yùn)算量.等差數(shù)列{an}的判定方法：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，即則知和求項(xiàng):等差數(shù)列和等比數(shù)列的比較1．通項(xiàng)公式等差數(shù)列等比數(shù)列2．前n項(xiàng)和

n的系數(shù)k就是公差

特征特征是關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)

a的n次冪的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)。底數(shù)a就是公比

3．性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列基本不等式（2）一“正”二“定”三“相等”重要結(jié)論：調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)1“直線定界、特殊點(diǎn)定域”.2“同側(cè)同號、異側(cè)異號”.知識串等價(jià)轉(zhuǎn)化思想2.直線方程：形式條件方程點(diǎn)斜式過點(diǎn)(x0,y0),斜率為k斜截式在y軸上的截距為b,斜率為k兩點(diǎn)式過P1（x1,y1),P2（x2,y2)截距式在y軸上的截距為b,在x軸上的截距為a一般式A、B不同時(shí)為0

3.

已知兩直線l1:y=k1x+b1

,l2:y=k2x+b2時(shí)，則直線l1∥l2k1=k2且b1≠b2k1·

k2=–1直線l1⊥l2

已知兩直線l1:A1x+B1y

+C1=0

,l2:A2x+B2y+C2=0且A1B1C1≠0,A2B2C2≠0，則直線l1∥l2

l1⊥l2直線l1與l2重合直線l1與l2相交4.與直線A

x+B

y+C=0平行的直線可設(shè)為:____________________________________；A

x+B

y+λ=0(λ≠C)

與直線A

x+B

y+C=0垂直的直線可設(shè)為:____________________________________；B

x－Ay+λ=0

過兩直線l1:A1

x+B1

y+C1=0,l2:A2

x+B2

y+C2=0交點(diǎn)的直線可設(shè)為:

_________________________________________________.A1

x+B1

y+C1+λ(A2

x+B2

y+C2)=05.兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式為:

，點(diǎn)P(x0，y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式為:

兩平行直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0間的距離為:基礎(chǔ)自查到定點(diǎn)的距離等于定長(a，b)x2＋y2＝r2

＞＜求曲線的軌跡方程1待定系數(shù)法2定義法3直接法4相關(guān)點(diǎn)法5點(diǎn)差法6向量法7參數(shù)法標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對稱性頂點(diǎn)離心率關(guān)于坐標(biāo)軸對稱、關(guān)于原點(diǎn)對稱．(-a,0),(a,0)(0,-a),(0,a)圖象焦點(diǎn)(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)漸近線準(zhǔn)線雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

等軸雙曲線的離心率e=?A1A2B1B2abcx0y幾何意義F1F2焦半徑公式：同理可得焦點(diǎn)在y

軸上的焦半徑公式：F1F2xy圖形

方程范圍

對稱性

頂點(diǎn)

離心率x軸拋物線的幾何性質(zhì)

x軸y軸y軸方程圖形范圍對稱性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對稱

關(guān)于x軸對稱

關(guān)于y軸對稱

關(guān)于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）

引例.yOx........ABF想一想？.①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，弦長公式：（其中（），（）是交點(diǎn)坐標(biāo)）。②拋物線的焦點(diǎn)弦長公式其中α為過焦點(diǎn)的直線的傾斜角。|AB|=基礎(chǔ)自查1．平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．

(2)公理2：如果兩個(gè)平面(不重合的兩個(gè)平面)有

公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．

(3)公理3：經(jīng)過

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．一個(gè)不在同一條直線上2．空間兩條直線

(1)空間兩條直線的位置關(guān)系有

、

、

．

(2)平行直線

①公理4：平行于同一條直線的兩條直線

．

②等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角

．

(3)異面直線

①定義：異面直線是指

的兩條直線．

②性質(zhì)：兩條異面直線既不相交又不平行．

③判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線．

(4)異面直線所成的角已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，由于a′和

b′所成角的大小與點(diǎn)O的選擇無關(guān)，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．如果兩條異面直線所成的角是

，就說兩條異面直線互相垂直．相交平行異面互相平行相等不同在任何一個(gè)平面內(nèi)直角3．斜二測畫法

(1)在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，畫直觀圖時(shí)，把它畫成對應(yīng)的軸

O′x′、O′y′使∠x′O′y′＝45°或135°，它們確定的平面表示水平面．

(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和

y′軸的線段．

(3)在直觀圖中，已知圖形中平行于x軸的線段，

；平行于y軸的線段，

．保持原長度不變長度為原來的一半基礎(chǔ)自查1．直線和平面平行

(1)定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則稱直線平行于平面．

(2)判定定理：如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號表示為：

.(3)性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，

的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行．用符號表示為：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.經(jīng)過這條直線a?α，b?α，且a∥b?a∥α2．兩個(gè)平面平行

(1)定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，稱這兩個(gè)平面平行．

(2)判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)

都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．用符號表示：a?α，b?α，a∩b＝M，a∥β，b∥β?α∥β.(3)性質(zhì)定理：如果兩平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．用符號表示：

.有兩條相交直線α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b1．直線與平面垂直

(1)判定直線和平面垂直的方法

①定義法．

②利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條

直線都垂直，則該直線和此平面垂直．

③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也

于這個(gè)平面．

(2)直線和平面垂直的性質(zhì)

①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)

直線．

②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線

．

③垂直于同一直線的兩平面

．相交垂直任意平行平行2．三垂線定理及其逆定理定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，

那么它也和這條斜線垂直．逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的

垂直．3．平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的判定方法

①定義法．

②利用判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的

，則這兩個(gè)平面垂直．

(2)平面與平面垂直的性質(zhì)兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于

的直線垂直于另一個(gè)平面．射影一條垂線交線基礎(chǔ)自查棱柱棱錐定義有兩個(gè)面互相

，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體有一個(gè)面是多邊形，其余各面是

的三角形，由這些面圍成的幾何體底面互相平行的面多邊形側(cè)面其余各面?zhèn)壤鈨蓚€(gè)側(cè)面的公共邊頂點(diǎn)側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)各側(cè)面的公共頂點(diǎn)高兩個(gè)底面間的距離頂點(diǎn)到底面的距離平行有一個(gè)公共頂點(diǎn)棱柱棱錐側(cè)面平行四邊形三角形側(cè)棱平行且相等交于一點(diǎn)平行于底面的截面與底面全等的多邊形與底面相似的多邊形縱截面平行四邊形三角形中心全等的等腰三角形相等平行四邊形面積之和

斜高乘積的一半．基礎(chǔ)自查1．多面體

(1)多面體的概念若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，若干個(gè)面的公共頂點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．把一個(gè)多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體．一個(gè)凸多面體至少有

面，多面體按照它的面數(shù)分別叫做四面體、五面體、六面體等．

(2)正多面體每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)都有相同數(shù)目的棱的凸多面體叫做正多面體．4個(gè)垂直直徑在下列條件下，判斷正三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影位置在下列條件下，判斷正三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影位置1、三條側(cè)棱相等2、側(cè)棱與底面所成的角相等3、側(cè)面與底面所成的角相等4、頂點(diǎn)P到⊿ABC的三邊距離相等5、三條側(cè)棱兩兩垂直6、相對棱互相垂直7、三個(gè)側(cè)面兩兩垂直外心外心內(nèi)心內(nèi)心垂心垂心垂心法向量1、平面圖形的直觀圖畫法（1）畫軸.（2）確定平行線段.x’y’o’(450或1350)xyo平行x軸的線段平行于x’

軸

平行y軸的線段平行于y’

軸（3）確定線段長度.平行x軸的線段的長度保持不變.

平行y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?確定點(diǎn)位置的畫法:在斜坐標(biāo)系里橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?特殊的平行投影畫法——斜二測畫法無平面外此平面內(nèi)a?α,b?α,且a∥b?a∥α【知識梳理】1．直線與平面垂直的判定類別

語言表述

應(yīng)

用

判

定

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么這條直線和這個(gè)平面垂直

證直線和平面垂直

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面

證直線和平面垂直

如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于同一個(gè)平面

證直線和平面垂直

【知識梳理】2．直線與平面垂直的性質(zhì)baba

類別語言表述圖示字母表示應(yīng)用性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面垂直,那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直

ab證兩條直線垂直如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行ab證兩條直線平行【知識梳理】2．兩個(gè)平面平行的判定aP

baaP

ba'b'類別語言表述圖示字母表示應(yīng)用判定如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．

證兩平面平行如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．

垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．【知識梳理】3．兩個(gè)平面平行的性質(zhì)aab

a

類別語言表述圖示字母表示應(yīng)用性質(zhì)如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面．a(chǎn)證直線和平面平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．a(chǎn)b證兩條直線平行性質(zhì)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面.a證直線和平面垂直a

,bab=Pa//b////面面平行的判定定理符號語言線不在多貴在相交面面平行線面平行線線平行？ab圖形語言

如果一個(gè)有兩條

直線分別于另一個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平面平行。P轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化平面內(nèi)平行a

,bab=Pa//b////面面平行的判定定理符號語言線不在多貴在相交ab圖形語言

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條

直線分別平行于另一個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平面平行。P面面平行線面平行線線平行？轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化判定定理

如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.αBmnlα三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直PAOaPAOa三垂線定理的逆定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直作二面角的平面角的常用方法①點(diǎn)P在棱上②點(diǎn)P在一個(gè)半平面上③點(diǎn)P在二面角內(nèi)

lPABABP

ABO

lP—定義法—三垂線(逆)定理法—垂面法CQ∠APBl指出下列各圖中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B—B’C--AADBCl二面角-l-AC⊥lBD⊥lOEOO二面角A--BC--DD14隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件必然事件不可能事件定義0＜P＜1P=1P=0概率頻率求法事件事件的概率事件的關(guān)系包含并交互斥對立加法公式（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型。P(A)=A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件總數(shù)

當(dāng)且僅當(dāng)所描述的基本事件的出現(xiàn)是等可能性時(shí)才成立古典概型

在幾何概型中,事件A的概率計(jì)算公式如下:P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）

當(dāng)且僅當(dāng)所描述的基本事件的出現(xiàn)是等可能性時(shí)才成立（1）試驗(yàn)總所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為幾何概率模型，簡稱幾何概型。幾何概型畫頻率分布直方圖的步驟:

第一步:求極差:(數(shù)據(jù)組中最大值與最小值的差距)

第二步:決定組距與組數(shù):（強(qiáng)調(diào)取整）

第三步:將數(shù)據(jù)分組

(給出組的界限)

第四步:列頻率分布表.

（包括分組、頻數(shù)、頻率、頻率/組距）

第五步:畫頻率分布直方圖（在頻率分布表的基礎(chǔ)上繪制，橫坐標(biāo)為樣本數(shù)據(jù)尺寸，縱坐標(biāo)為頻率/組距.）

組距：指每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)的距離，組距組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，按數(shù)據(jù)多少常分5-12組?；貞洠豪L制頻率分布直方圖有哪幾個(gè)步驟呢？

例1某賽季甲乙兩籃球運(yùn)動員每場比賽得分原始記錄如下：甲：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39乙：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39用莖葉圖表示兩人成績，說明哪一個(gè)成績好．甲 乙012345255416167949084633683891葉 莖葉（二）.莖葉圖(一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖)

方差、標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離。它用來描述樣本數(shù)據(jù)的分散程度。在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性。1、方差（標(biāo)準(zhǔn)差的平方）公式為：假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是平均數(shù)是2、標(biāo)準(zhǔn)差公式為：在刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度上，兩者是一致的！性質(zhì)歸納：2、方差（標(biāo)準(zhǔn)差的平方）公式為：3、標(biāo)準(zhǔn)差公式為：

方差、標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離。它用來描述樣本數(shù)據(jù)的分散程度。在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性。頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.52.03回歸方程的斜率與截距的一般公式:

以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡單：即各點(diǎn)到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。統(tǒng)計(jì)

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:注意：

只有當(dāng)α的取值使三角函數(shù)有意義時(shí)，上面恒等式才成立.

當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí),正弦線、正切線分別變成一個(gè)點(diǎn)；

這三條與單位圓有關(guān)的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線．

當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在．

sin(π

-α)=sinαcos(π

-α)=-cosαtan(π

-α)=-tanα公式四：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式三：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα公式二：

sin(α+2kπ)=sinαcos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z公式一：誘導(dǎo)公式公式

七

公式

八

公式

五

公式

六

公式五~公式八可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的互化.1:定義域:2:值域：

3:周期性：

4:奇偶性：5:單調(diào)性：6:對稱性：先平移變換，再周期變換,最后振幅變換：平移個(gè)單位橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋犊v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁