細胞存活曲線的推導王大獎

學號：2013202020061姓名：王大獎細胞存活曲線的推導

主要內(nèi)容一、電離輻射的細胞效應與細胞存活二、細胞存活曲線的數(shù)學基礎(chǔ)

1靶學說2擊中概率和泊松分布二項分布泊松分布三、基于靶學說的幾種細胞存活曲線模型的推導1單靶單擊模型S=e-D/D02多靶單擊模型S=1–(1–e-D/D0)N

3

二次線性平方（L-Q）模型S=e–(αD+βD2)

四、關(guān)于L-Q模型的思考及其他幾種模型1、l-q模型的局限性分析2、IR模型3、L-Q模型的數(shù)學推導過程及其向高劑量段擴展一、細胞存活曲線的數(shù)學基礎(chǔ)1靶學說①生物結(jié)構(gòu)內(nèi)存在對放射敏感的部分，稱之為“靶”，其損傷將引發(fā)某種生物效應；②射線與生物系統(tǒng)的相互作用是一種隨機過程，“擊中”是彼此無關(guān)的獨立事件，擊中概率服從泊松分布③單次或多次擊中靶區(qū)可產(chǎn)生某種放射生物效應，如生物大分子失活或斷裂等。

電離輻射的細胞效應輻射誘導的DNA損傷及修復研究顯示：DNA是引起一系列生物學效應的關(guān)鍵靶。DNA鏈斷裂的主要形式單鏈斷裂雙鏈斷裂插圖

電離輻射的細胞效應DNA鏈斷裂的修復DNA單鏈斷裂的修復以對側(cè)鏈為模板，是一種可完全修復的分子損傷DNA雙鏈斷裂的修復可修復的雙鏈斷裂（彼此分開間隔一段距離）不可修復的雙鏈斷裂（發(fā)生在對側(cè)互補堿基或僅間隔幾個堿基對--染色體折成兩段）

電離輻射的細胞效應輻射所致的細胞死亡.兩種主要形式分裂間期死亡（細胞在進行下一次分裂前死亡）有絲分裂死亡

(增殖性死亡）指由于染色體的損傷，細胞在試圖分裂時發(fā)生死亡。死亡可發(fā)生在照射后的第一次或以后的幾次分裂。是電離輻射引起細胞死亡的最常見形式，

電離輻射的細胞效應放射生物對細胞死亡的基本認識：一般意義的細胞死亡（celldeath)，細胞再繁殖完整性的丟失(lossofreproductiveintegrityoftumorcells)即是永久性克隆功能丟失兩者在概念上存在著根本意義上的不同，放射可治愈性結(jié)局的最主要依據(jù)是后者。放射治療對受照射后的存活細胞更加關(guān)注，因這對放射可治愈性非常重要細胞存活曲線描述放射線照射劑量和細胞存活比之間的關(guān)系，關(guān)注的是：一定劑量照射以后對克隆源細胞而不是細胞群任意細胞的殺滅電離輻射的細胞效應電離輻射的細胞效應細胞存活曲線放射生物學規(guī)定：鑒別“細胞存活”的唯一標準是照射后細胞是否保持再繁殖的完整性，即所分析的是克隆源細胞的增殖活性而不是受照射群體中任意細胞的功能活性MTT法、染料除外等方法均不被認可電離輻射的細胞效應細胞存活曲線克隆源細胞（clonogeniccell)指具有生成“克隆”能力的原始存活細胞。在離體培養(yǎng)細胞：這種無限增殖能力體現(xiàn)為形成一個完整的50個細胞的克隆在體內(nèi)：體現(xiàn)為腫瘤體積的不斷增大、復發(fā)、轉(zhuǎn)移在這個“細胞存活”的嚴格定義下，提示臨床必須重視這種存活細胞，這種具有無限增殖能力的細胞是在治療中必須根除的細胞電離輻射的細胞效應細胞存活曲線細胞形成克隆的能力被稱為“細胞存活”輻射所致的細胞殺滅是指數(shù)性的，指數(shù)關(guān)系的特點：增加一定劑量就有一定比例的細胞而不是數(shù)量的細胞被殺死2擊中概率及泊松分布細胞存活曲線的數(shù)學基礎(chǔ)（1）二項分布研究n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k次（k=0，1，…n）的概率由于n次試驗有k次A出現(xiàn)，共有種不同的事件，可得：此式為隨機變量X的概率分布函數(shù)，又因為為二項展開式（p+（1-p））n的一般項，故稱為二項分布上式的分布就為參數(shù)n，p的二項分布，記為B（n，p）二項分布的平均數(shù)：E(X)=np細胞存活曲線的數(shù)學基礎(chǔ)二項分布的公式在n→∞，p→0時就可進行如下推導：引入?yún)?shù)λ，λ=np（2）泊松分布

設(shè)隨機變量所有可能取的值為0、1、2……,而取各個值的概率為

則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為式中：P{X=k}為出現(xiàn)某事件例數(shù)為k的理論概率。表示單位時間或空間內(nèi)某事件平均發(fā)生的次數(shù)，實際應用時，可以用樣本均數(shù)作為總體均數(shù)λ的估計值。

泊松分布刻畫了稀有事件在一段時間內(nèi)發(fā)生次數(shù)這一隨機變量的分布，如電話交換臺單位時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)，某公共汽車站在單位時間內(nèi)來站乘車的乘客數(shù)，宇宙中單位體積內(nèi)星球的個數(shù)，根底上單位面積內(nèi)雜草的樹木等。泊松分布引入?yún)?shù)，=np二項分布的公式在n很大，p很小時就可進行如下推導：泊松分布

參數(shù)較小時，泊松分布是偏態(tài)的；參數(shù)增大，分布逐漸對稱。當參數(shù)無限大時，泊松分布趨于正態(tài)分布。伯努利實驗二項分布泊松分布（只有兩個可能結(jié)果A和非A）

正態(tài)分布

≧20n較大，p和q都不太小n很大p很小二項分布、泊松分布及正態(tài)分布的關(guān)系n重實驗各種模型細胞存活曲線的推導每次射擊擊中概率為p,射擊次數(shù)為n，平均每靶被擊中一次的劑量為，總劑量為D，則np=D/D0根據(jù)Poisson分布，λ=np=D/D0靶子遭受k次擊中的概率為:單靶單擊模型從生物學上考慮，若靶的失活只需1次擊中就可發(fā)生，則靶存活的概率即個體的存活概率S就是靶擊中數(shù)為0(k＝0)的概率:這就是靶學說最基本的數(shù)學表達式。它表示生物大分子或病毒的未失活部分隨輻射劑量的升高呈指數(shù)下降,稱為指數(shù)存活方程或單靶一次擊中存活方程。上式兩邊取對數(shù)，得到是個一次方程，反映到圖像上是條直線單靶單擊模型細胞存活曲線單靶單擊模型存活曲線中僅有一個參數(shù)D0，D0表示圖中直線部分的斜率K的倒數(shù)(D0＝1/k)，它代表這一細胞群的放射敏感性、即照射后余37％細胞所需的放射線劑量。D0值越小，即殺滅63％細胞所需的劑量就越小，曲線下降迅速(斜率大)。D0為每靶平均受到一次打擊時的劑量，單靶單擊模型中也稱為平均致死劑量,不同的細胞，值不一樣，但人類腫瘤大概都為100-160cGy。D/D0則表示每靶的平均擊中數(shù)，與np的意義相當。當劑量D=D0時，細胞存活分數(shù)S=exp（-1）=37%D。值2簡單的多靶單擊模型假設(shè)：?每個細胞包含N個相同的靶?每個靶在單次帶電粒子穿越(單擊)時，會失活。?靶的失活是一次亞致死事件。?必須所有N個靶都失活才能殺死細胞。?對于劑量D0，平均每個特定靶被擊中一次。

e-D/D0則n個靶中任一靶被擊中的概率是1-e-D/D0,即P(某特定靶點失活)=1-e-D/D0N個靶子全部被擊中的概率為

(1-e-D/D0)N

即P(所有N個靶點失活)=未被全部擊中的概率即存活概率：S=P(存活)=1-

上式稱為多靶單擊方程將多靶單擊方程展開，如下：在高劑量時，以后的項可以忽略，得到是一條對D的直線多靶單擊模型細胞存活曲線細胞存活曲線的參數(shù)D0值：細胞的平均致死劑量（meanlethaldose）為直線范圍內(nèi)使存活率下降63％(即降至原存活率的37％)所需劑量。由縱坐標0.1和0.037各作與橫坐標相平行的線與存活曲線直線部分相交，兩個相交點在橫坐標上投影的兩個劑量點之差即為D0值，此圖中為1.0Gy。D0愈小，斜率愈大D0值大小代表細胞放射敏感性的高低N值代表細胞內(nèi)靶的個數(shù)或所需擊中靶的次數(shù)將直線部分外推與縱坐標相交點的數(shù)值即為外推n值（extrapolationnumber)多為1～3Dq值準閾劑量（quasithreshoulddose）由縱坐標1.0處作一條與橫坐標的平行線，與外推線的交點在橫坐標上投影點的數(shù)值即為Dq。一個閾值劑量意味著小于這一劑量將沒有效應，但在射線的作用中沒有無效應的劑量，因此，稱之為準閾劑量。它表明細胞亞致死損傷修復能力的大小。Dq值小，表明細胞亞致死損傷修復能力小，很小劑量便使細胞進入致死損傷的指數(shù)存活曲線部分。多在0.5～2.5Gy分子模型提出者認為，DNA分子的雙鏈性質(zhì)意味著在理論上這種分子可以有兩種方式被輻射作用完全打斷：可以由于一個電離粒子的通過，在靠近DNA雙鏈處造成兩個同時發(fā)生的能量沉積事件而斷裂，這種作用方式生成的DNA雙鏈斷裂（DSBs）數(shù)直接與吸收劑量D成正比:N=αD；可以由兩個電離粒子獨立地在DNA雙鏈上產(chǎn)生兩個位置很靠近的能量沉積事件而形成，這時雙鏈斷裂數(shù)與劑量的平方成正比：N=βD2。兩個SSBs

于是一個細胞發(fā)生DNA雙鏈斷裂的平均數(shù)為:N=αD+βD2

線性二次L-Q模型前面的論述表明:輻射后細胞的存活分數(shù)（S）與平均DNA雙鏈斷裂數(shù)（N）成指數(shù)性反比關(guān)系：Se-N輻射劑量與存活分數(shù)的關(guān)系為：S=e-(αD+βD2)式中α和β的單位分別是1／Gy和1／Gy2，D為輻射劑量。N分次照射中，方程可寫為S=e-N(αD+βD2)公式兩邊取對數(shù)-lnＳ＝N(α

D+βD2)；-lnS代表放射線的生物效應，為簡便用Ｅ表示，則：Ｅ＝N(αD+βD２)；Ｅ/α＝ND(１+D/(α/β))Ｅ/α被稱為生物效應劑量(BED)，可以用來權(quán)衡不同時間－劑量分次模型的效應顯然系數(shù)因子的單位為，的單位為，上式子成立的前提是各分次造成的生物效應相同，即E1=E2....=En,那么S總=[e-(αD+βD2)]NL-Q模型細胞存活曲線只考慮雙鏈斷裂，即細胞死亡，不考慮單鏈斷裂介于兩種極端情況之間E1=αD和E2=βD2初始斜率不為0沒有量化參數(shù)D0DqN等，僅為α，β所描述,此參數(shù)α/β表示引起細胞殺傷中單擊和多擊成分相等時的劑量（非比值）。該值與早反應組織和晚反應組織有關(guān)，對不同的組織該值是不同的.L–Q曲線特征x=0:.1:30;s=ones;s=exp(-.1.*x-0.01.*x.^2);s1=exp(-.1.*x);s2=exp(-.01.*x.^2)semilogy(x,s,'.-r')holdonsemilogy(x,s1,'-g')holdonsemilogy(x,s2,'-b')holdoff生物學涵義：當D=α/β時

E1=αD=α(α/β)=α2/βE2=βD2=β(α/β)2=α2/βE1=E2

當D<α/β或低LET

生物效應主導為E=αD

當D>α/β或高LET生物效應主導為E=βD2

晚反應組織損傷更多為βD2，顯然α/β值較小α/β的含義數(shù)學涵義：n次照射d分割量的L-Q表達式

S=e–n(αd+βd2)

E=αnd+βnd2D=nd代入E=αD+βDd

同除以ED1/D=(α/E)+(β/E)d

總劑量的倒數(shù)為分次量d的一次線性函數(shù)

早反應組織指機體內(nèi)那些分裂增殖活躍并對放射線早期反應比較強烈的組織。如上皮、粘膜、骨髓等，腫瘤屬于早反應組織，早反應組織的α／β值比較大，在10GY左右。如皮膚9.4；小腸7.1；脾8.9；結(jié)腸8.4；

晚反應組織指機體內(nèi)那些無再增殖能力，損傷后僅以修復代償其正常功能的組織。如脊髓、腎、肺、肝等。其α／β值比較小，在3GY以下。如脊髓2.5；腎（小白鼠）1.8；肺3.6；眼1.2；根據(jù)多次的實驗總結(jié)，可以得到α/β值。在照射后數(shù)天至數(shù)周內(nèi)出現(xiàn)損傷的早期反應組織，其α/β至一般在7~20Gy;而在照射后數(shù)月至數(shù)年出現(xiàn)放射性損傷的晚期反應組織中，其α/β值一般在0.5~6Gy。重要的是，得認識到α/β值不是常數(shù)，特定的組織有特定的α/β值，一定要認真選擇。早反應組織晚反應組織人體正常組織和腫瘤的α/β值組織或器官損傷α/β值（Gy)

早期反應組織皮膚紅斑8.8~12.3皮膚剝脫11.2口腔粘膜粘膜炎8~15

晚期反應組織皮膚/血管毛細血管擴張2.6~2.8皮下組織纖維化1.7肌肉/血管/軟骨肩部運動障礙3.5人體正常組織和腫瘤的α/β值組織或器官損傷α/β值（Gy)

神經(jīng)臂叢神經(jīng)損傷<3.5臂叢神經(jīng)損傷~2視神經(jīng)損傷1.6脊髓脊髓損傷<3.3眼角膜損傷2.9腸狹窄，穿孔3.9肺肺炎3.3纖維化(放射性）3.1頭頸各種晚期反應3.5~3.8口腔,口咽各種晚期反應0.8人體正常組織和腫瘤的α/β值組織或器官損傷α/β值（Gy)腫瘤

頭頸部喉14.5聲帶~13口咽~16頰粘膜6.6扁桃體7.2鼻咽16

皮膚

8.5黑色素瘤0.6脂肪肉瘤0.4α/β值的測定方法直接法:編寫軟件處理原始實驗數(shù)據(jù)，得到精確度很高的α/β值等效公式法：可以兩個生物等效方案中推算出α/β值：

式中，d為分次劑量，D為總劑量，N為分次數(shù)，D=NdE=-ln(S)α/β的應用

--放射治療方案之間時間劑量因子的變換公式n1(αd1+βd12)=n2(αd2+βd22)即n1[（α/β）d1+d12]=n2[（α/β）d2+d22]d確定求n的變換值

n2=n1(d1/d2)[(α/β+d1)/(α/β+d2)]n確定求d的變換值d2=d1(n1/n2)[(α/β+d1)/(α/β+d2)]亦可D1/D2=(α/β+d2)/(α/β+d1)方案變換選擇的一般性原則

1.d<1.8~2Gy有利于晚反應組織防護2.日分次照射總量<4.8~5Gy3.分割劑量時間間隔>6hr4.兩周照射劑量<55Gy5.延長OTT（總治療時間）以減輕急性反應時可能導致腫瘤局部控制率下降；6.D不變，延長OTT對減輕晚期損傷無收益；7.進退維谷時，寧可急性反應稍重，而應避免嚴重晚期損傷L-Q模型的局限性現(xiàn)有的α／β多數(shù)是離體細胞或動物實驗（集落生成實驗）中所得出的數(shù)據(jù)，與臨床有一定的差距。

建模時沒有考慮修復，但實際上組織是有修復的。臨床的腫瘤治療中，腫瘤和早反應組織至少能產(chǎn)生一次再增殖(一般在放療后2周后開始)，故應充分考慮因組織再增殖而額外增加的劑量，但L-Q模型沒有予以考慮?？傊?α∕β值及其數(shù)學模式是為了更實際地反映放射過程中發(fā)生在腫瘤及正常組織內(nèi)的變化，以數(shù)字模式定量化，但要注意，根據(jù)公式獲得的各種數(shù)據(jù)不是實際照射劑量，故在實際工作中僅作為參考，而不能作為吸收劑量照搬套用。IR模型提出背景

建模時沒有考慮修復，但實際上組織是有修復的。這個模型中的參數(shù)只與細胞本身的特性有關(guān)，反映不出照射條件(照射次數(shù)，劑量率)、細胞修復能力的影響。當治療的時間間隔變小，劑量率較低，此時產(chǎn)生相同生物效應的總劑量會減小很多，這一現(xiàn)象就叫做不完全修復。IR模型L-Q模型S=exp[一(αD十βD2)中的α項反映單個粒子徑跡引起的損傷，而β項(即平方項)反映了兩個獨立的徑跡引起的兩個亞損傷相互作用產(chǎn)生的損傷，兩個亞損傷之間的時間間隔(取決于劑量率)和第二個亞損傷出現(xiàn)之前對第一個亞損傷的修復(取決于修復能力)均會影響細胞的最終的存活率。因此β項實際上將受到細胞修復能力和劑量率的影響，但是這個模型中的參數(shù)α、β只與細胞本身的特性有關(guān)，反映不出照射條件(照射次數(shù)，劑量率)、細胞修復能力的影響。IR模型可解決上述問題。IR模型IR模型的表達式為：

S(D,t)=exp{-αD+βg(μt)D2}其中函數(shù) g(μ,t)=2[μt-1+exp(-μt)]/(μt)2式中D為照射總劑量，t為照射時間，t=D/P,P為劑量率，μ稱為修復速率常數(shù)。這樣，就將細胞存活率S與照射總劑量D和劑量率P兩個變量聯(lián)系起來，不僅可獲得修復速率常數(shù)μ，而且還可得到半值修復時間T1/2:T1/2=ln2/μ在低劑量率照射時，T1/2就是完全修復時間的一半。t→0,S(D,t)=exp[-αD+βD2]表動物實驗中正常組織放射性損傷修復的半修復期L-Q模型的數(shù)學推導過程及其向高劑量段擴展圖體外培養(yǎng)的細胞受照射后典型的細胞存活曲線注：（a）繪制在普通的繪圖紙上；(b)繪制在對數(shù)繪圖紙上L-Q模型的數(shù)學推導過程及其向高劑量段擴展由于細胞存活曲線符合指數(shù)形式，因此設(shè)：ln(s)=f(d)（1）式中：s為細胞存活率，d為照射劑量。f(d)為關(guān)于d的多項式。將f(d)根據(jù)Taylor在d0=0處展開

（2）

（3）

（4）取前三項，忽略余項，當d=0時：式中：α=f'(0)，β=-f''(0)/2!。由于d=0時，s=1,ln(s)=0，故f(0)=0,所以：或L-Q模型的數(shù)學推導過程及其向高劑量段擴展顯然，如果余項不為0，這是個近似公式。L-Q公式的計算結(jié)果隨著劑量d的加大會逐漸偏離實驗結(jié)果。LQ模型在描述劑量<5~6Gy時的細胞反應較好，很適合在這個范圍內(nèi)使用。但是在高劑量段將會與實驗結(jié)果發(fā)生偏離上式是由f(d)在d0=0處展開，并且保留前三項。由此，可以從一下兩種方式將L-Q公式推向高劑量段：