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廣東省佛山市西南第二高級(jí)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,斜率為的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若,則的值為A.5
B.4
C.
D.參考答案:B略2.設(shè)a,b是互不垂直的兩條異面直線,則下列命題成立的是()A.存在唯一平面α,使得a?α,且b∥αB.存在唯一直線l,使得l∥a,且l⊥bC.存在唯一直線l,使得l⊥a,且l⊥bD.存在唯一平面α,使得a?α,且b⊥α參考答案:A【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)判斷,或舉出反例.【解答】解:對(duì)于A,在a上任取一點(diǎn)A,過(guò)A作b′∥b,設(shè)a,b′確定的平面為α,顯然α是唯一的,且a?α,且b∥α.故A正確.對(duì)于B,假設(shè)存在直線l使得l∥a,且l⊥b,則a⊥b,與已知矛盾,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,設(shè)a,b的公垂線為AB,則所有與AB垂直的直線與a,b都垂直,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,若存在平面α,使得a?α,且b⊥α,則b⊥a,與已知矛盾,故D錯(cuò)誤.故選:A.3.某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問(wèn)卷調(diào)查,將840人按1,2,…840隨機(jī)編號(hào),則抽取的42人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù) ()A.11 B.12 C.13 D.14參考答案:B略4.若(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(
)A.-1
B.1
C.-i
D.i參考答案:B5.若復(fù)數(shù)z滿足zi=1+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是(
)A.-1-i
B.1+i
C.-1+i
D.1-i參考答案:B
6.已知雙曲線的兩頂點(diǎn)為,虛軸兩端點(diǎn)為,兩焦點(diǎn)為,若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,則雙曲線的離心率為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C考點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系.7.橢圓y2+=1(0<m<1)上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2,則m的取值范圍是()A.[,1) B.(0,] C.[,1) D.(0,]參考答案:B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】由已知得短軸頂點(diǎn)B與焦點(diǎn)F1,F(xiàn)1所成角∠F1BF2≥90°,從而≥m,由此能求出m的取值范圍.【解答】解:∵橢圓y2+=1(0<m<1)上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2,∴短軸頂點(diǎn)B與焦點(diǎn)F1,F(xiàn)1所成角∠F1BF2≥90°,∴≥m,由0<m<1,解得0<m≤.故選:B.8.若實(shí)數(shù)x,y滿足,則的最大值為(
)A.3
B.
C.1
D.參考答案:A9.函數(shù)的圖象是
(
)參考答案:A10.已知,若的充分條件,則實(shí)數(shù)取值范圍是(
)A. B. C. D.參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)不等式的解集為M,如果,則實(shí)數(shù)的范圍是_____參考答案:12.若,則
參考答案:213.設(shè)雙曲線的兩條漸近線與直線圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為D,點(diǎn)為D內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則目標(biāo)函數(shù)的最小值為
▲
.參考答案:-
14.直線l:(t為參數(shù)),圓C:ρ=2(極軸與x軸的非負(fù)半軸重合,且單位長(zhǎng)度相同),若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為,則實(shí)數(shù)a的值為
.參考答案:0或2【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程;簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.【專題】計(jì)算題.【分析】化直線的參數(shù)方程為普通方程,化圓的極坐標(biāo)方程為一般方程,由直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離,由點(diǎn)到直線的距離公式求解實(shí)數(shù)a的值.【解答】解:直線l:,由②得,,代入①得直線l的方程為x+2y+(2﹣a)=0,由ρ=2,得=2cosθ﹣2sinθ.ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ,所以圓的方程為x2+y2=2x﹣2y,即(x﹣1)2+(y+1)2=2,所以圓心為(1,﹣1),半徑.若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為,則圓心到直線的距離,又,即|1﹣a|=1,解得a=0或a=2.故答案為0或2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了參數(shù)方程化普通方程,考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式,是中檔題.15.若圓柱的側(cè)面積和體積的值都是12π,則該圓柱的高為
.參考答案:316.若變量滿足條件,則的最大值為___▲___.參考答案:17.
在求兩個(gè)變量x和y的線性回歸方程過(guò)程中,計(jì)算得=25,=250,=145,=1380,則該回歸方程是
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,在拋物線上任取一點(diǎn),過(guò)做的垂線,垂足為.(1)若,求的值;(2)除外,的平分線與拋物線是否有其他的公共點(diǎn),并說(shuō)明理由.參考答案:(1),∴,即由拋物線的對(duì)稱性,不防取∵,∴,,∴(2)設(shè),∵,,.由知的平分線所在直線就是邊上的高所在的直線.∴的平分線所在的直線方程為.由,消得.∵,方程化為,即即的平分線與只有一個(gè)公共點(diǎn),除以外沒(méi)有其他公共點(diǎn).19.(12分)設(shè)函數(shù)
(I)若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)若的圖像上求兩點(diǎn),使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直,且兩切點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在區(qū)間參考答案:解析:(I)由已知得的定義域?yàn)?/p>
…………2分因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)增函數(shù),所以上恒成立即上恒成立顯然有上恒成立
…………4分由此可得:,即為所求。
…………6分
(II)設(shè)滿足條件的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為又過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直,所以即
…………9分又,則所求兩點(diǎn)坐標(biāo)為
…………12分20.(本題滿分12分)已知函數(shù),的圖像在點(diǎn)處的切線為.().(1)求函數(shù)的解析式;(理科)(2)若,且對(duì)任意恒成立,求的最大值.(文科)(2)若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:(1),.由已知,.………4分(理科)(2)對(duì)任意恒成立,
對(duì)任意恒成立,對(duì)任意恒成立.………6分令,,易知在上單調(diào)遞增,又,,,,∴存在唯一的,使得,………8分且當(dāng)時(shí),,時(shí),.即在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,又,即,.∴,∵,∴.對(duì)任意恒成立,,又,∴.………12分(文科)(2)對(duì)任意的恒成立對(duì)任意的恒成立,令,∴.易證:當(dāng)時(shí),恒成立,………8分令,得;,得.∴的增區(qū)間為,減區(qū)間為..∴,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.………………12分21.隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來(lái)”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到下表(單位:人):
經(jīng)常使用偶爾或不用合計(jì)30歲及以下703010030歲以上6040100合計(jì)13070200
(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?(Ⅱ)①現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)民中,按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取10人,然后,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選出3人贈(zèng)送優(yōu)惠券,求選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用共享單車的概率.②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常使用共享單車的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635參考答案:(Ⅰ)由列聯(lián)表可知,.∵,∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān).(Ⅱ)①依題意,可知所抽取的10名30歲以上網(wǎng)民中,經(jīng)常使用共享單車的有(人),偶爾或不用共享單車的有(人).則選出的3人中至少2人經(jīng)常使用共享單車的概率為.②由列聯(lián)表,可知抽到經(jīng)常使用共享單位的頻率為,將頻率視為概率,即從市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用共享單車的市民的概率為.由題意得,∴;.22.(09南通期末調(diào)研)(14分)如圖,在四邊形ABCD中,A
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