高中數(shù)學(xué)人教A版第二章平面向量單元測試【省一等獎(jiǎng)】

第二章平面向量一、向量的概念1．向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量．?dāng)?shù)量：我們把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量．2．有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段．3．向量的長度（模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模），記作．4．零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0，零向量的方向是任意的．單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量．5．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．若向量a、b是兩個(gè)平行向量，那么通常記作a∥b．平行向量也叫做共線向量．我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對(duì)于任一向量a，都有0∥a．6．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量a、b是兩個(gè)相等向量，那么通常記作a=b．例1若a為任一非零向量，b為其單位向量，下列各式：①|(zhì)a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1；⑤eq\f(a,|a|)＝b．其中正確的是（）．A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤答案：D

解析：|a|與|b|大小關(guān)系不能確定，故①錯(cuò)，a與其單位向量平行②正確．a(chǎn)≠0，∴|a|＞0，③正確．|b|＝1，故④錯(cuò)．由定義知⑤正確．例2如圖四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，則下列關(guān)系不一定成立的是（）．A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))| B．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線C．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))共線答案：C解析：當(dāng)菱形ABCD與其他兩個(gè)菱形不共面時(shí)，BD與EH異面，故選C．例3如圖所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）．A．圖中所標(biāo)出的向量中與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1個(gè)（不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身）B．圖中所標(biāo)出的向量中與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有4個(gè)（不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身）C．eq\o(BD,\s\up6(→))的長度恰為eq\o(DA,\s\up6(→))長度的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))不共線答案：D解析：易知△ABC和△ACD均為正三角形．對(duì)于A，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；對(duì)于B，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|；對(duì)于C，△BAD是頂角為120°的等腰三角形，則|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up6(→))|；對(duì)于D，eq\o(CB,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))成立，故D是錯(cuò)誤的．二、向量的加、減法1．已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作=a，=b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b．向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法．這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則．2．對(duì)于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a+0=0+a=a3．公式及運(yùn)算定律： ①=0 ②|a+b|≤|a|+|b|③a+b=b+a ④（a+b）+c=a+（b+c）4．相反向量：①我們規(guī)定，與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a．a(chǎn)和－a互為相反向量．②我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量與其相反向量的和是零向量，即a＋（－a）=（－a）＋a=0．④如果a、b是互為相反的向量，那么a=－b，b=－a，a＋b=0．⑤我們定義a－b=a＋（－b），即減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量．例1向量（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))）＋（eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))）＋eq\o(OM,\s\up6(→))等于（）．A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→)) C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))答案：C解析：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up6(→))．例2△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是（）．A．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)) B．eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝0 C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))≠0 D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠0答案：D例3若平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a、b表示向量eq\o(BC,\s\up6(→))為（）．A．a(chǎn)＋b B．－a－b C．－a＋b D．a(chǎn)－b答案：B解析：解法一：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋（－2eq\o(OA,\s\up6(→))）＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b．解法二：∵b＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝－a，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a－b．例4已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，M為斜邊中點(diǎn)，設(shè)eq\o(CM,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，試用向量a、b表示eq\o(AM,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(CB,\s\up6(→))、eq\o(BA,\s\up6(→))．解：如圖所示，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋2eq\o(AM,\s\up6(→))＝b＋2a－2b＝2a－eq\o(BA,\s\up6(→))＝－2eq\o(AM,\s\up6(→))＝－2（a－b）＝2b－2a三、數(shù)乘向量1．向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘．記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|=|λ||a|，②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，的方向與a的方向相反；λ=0時(shí)，λa=0．2．運(yùn)算定律：①λ（ua）=（λu）a②（λ＋u）a=λa＋ua③λ（a＋b）=λa＋λb④（－λ）a=－（λa）=λ（－a）⑤λ（a－b）=λa－λb3．定理：對(duì)于向量a（a≠0）、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa，那么a與b共線．相反，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b=ua；當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b=－ua．則得如下定理：向量a（a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa．例1點(diǎn)C在線段AB上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ等于（）．A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)答案：C解析：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))），∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴λ＝－eq\f(2,3)，故選C．例2在△ABC中，已知D為AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝（）．A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)答案：A解析：解法一：∵A、D、B三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,3)＋λ＝1，∴λ＝eq\f(2,3)．解法二：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)（eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))）＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，故選A．例3已知G是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0．求證：G是△ABC的重心．解：如圖，∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＝－（eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())以eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形BGCD，則eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))，∴eq\o(GD,\s\up6(→))＝－eq\o(GA,\s\up6(→))，又∵在平行四邊形BGCD中，BC交GD于E，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，∴AE是△ABC的邊BC的中線，且|eq\o(GA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(GE,\s\up6(→))|，∴G為△ABC的重心．四、平面向量基本定理1．如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1＋e2．我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．向量a與b的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b．作=a，=b，則（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角．當(dāng)θ=0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=180°時(shí)，a與b反向．如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b．3．補(bǔ)充結(jié)論：已知向量a、b是不共線的兩個(gè)向量，且m、n∈R，若ma＋nb=0，則m=n=0．例1已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足（x－y）e1＋（2x＋y）e2＝6e1＋3e2，則x－y的值等于（）．A．3 B．－3C．6 D．－6答案：C解析：由，解得，∴x－y＝6，故選C．例2如圖，在△AOB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a、eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝3eq\o(NA,\s\up6(→))，而OM與BN相交于點(diǎn)P，試用a、b表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))．解：eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))）＝a＋eq\f(2,3)（b－a）＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b．∵eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OM,\s\up6(→))共線，令eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OM,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))．又設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝（1－m）eq\o(ON,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a?（1－m）＋mb∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(t,3)＝\f(3,4)1－m,\f(2,3)t＝m))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5),t＝\f(9,10)))．∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)a＋eq\f(3,5)b．五、正交分解與坐標(biāo)表示1．正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）．即若a=，b=，則a＋b=，a－b=．3．實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．即若a=，則λa=．4．當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1=0時(shí)，向量a、b（b≠0）共線．5．定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為①當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，點(diǎn)P叫線段P1P2的內(nèi)分點(diǎn)，λ＞0；②當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的延長線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，λ＜－1；③當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長線上時(shí)，P叫線段P1P2的外分點(diǎn)，－1＜λ＜0．6．從一點(diǎn)引出三個(gè)向量，且三個(gè)向量的終點(diǎn)共線，則，其中λ+μ=1．例1（1）設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是（－1，2）、（3，－5），求a＋b，a－b，2a＋3b（2）設(shè)向量a、b、c的坐標(biāo)分別為（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a－b＋c解：（1）a＋b＝（－1，2）＋（3，－5）＝（－1＋3，2－5）＝（2，－3）；a－b＝（－1，2）－（3，－5）＝（－1－3，2＋5）＝（－4，7）；2a＋3b＝2（－1，2）＋3（3，－5）＝（－2，4）＋（9，－15）＝（－2＋9，4－15）＝（7，－11）（2）3a－b＋c＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5）＝（5，－8）．例2平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝（3，2）、b＝（－1，2）、c＝（4，1），（1）求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m、n；（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求實(shí)數(shù)k．解：（1）∵a＝mb＋nc，∴（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3,2m＋n＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9),n＝\f(8,9)))．（2）∵（a＋kc）∥（2b－a），又a＋kc＝（3＋4k，2＋k），2b－a＝（－5，2），∴2×（3＋4k）－（－5）×（2＋k）＝0．∴k＝－eq\f(16,13)．例3已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求證：eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))．解：設(shè)E（x1，y1）、F（x2，y2），依題意有：eq\o(AC,\s\up6(→))＝（2，2）、eq\o(BC,\s\up6(→))＝（－2，3）、eq\o(AB,\s\up6(→))＝（4，－1）．因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))．因?yàn)閑q\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))．因?yàn)椋▁1＋1，y1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))．因?yàn)椋▁2－3，y2＋1）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，所以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3)))．又因?yàn)?×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×（－1）＝0，所以eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))．例4若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝（1，0），求向量a、b的坐標(biāo)．解：設(shè)a＝（m，n），b＝（p，q），則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n2＝1,p2＋q2＝1,m＋p＝1,n＋q＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝p＝\f(1,2),q＝－\f(\r(3),2),n＝\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝p＝\f(1,2),q＝\f(\r(3),2),n＝－\f(\r(3),2)))．故a＝（eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)）、b＝（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)）或a＝（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)）、b＝（eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)）．六．?dāng)?shù)量積（內(nèi)積）1．已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a?b即a?b=|a||b|．其中θ是a與b的夾角，|a|（|b|）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．我們規(guī)定，零向