高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章解三角形 同課異構(gòu)

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(五)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．(2023·鎮(zhèn)江高二檢測(cè))在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，則其面積等于________．【解析】由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×3×8×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3).【答案】6eq\r(3)2．有一長(zhǎng)為10m的斜坡，它的傾斜角是75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延伸________m.【解析】如圖，在△ABC中，由正弦定理可知：eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin30°)，∴x＝10eq\r(2)(m)．【答案】10eq\r(2)3．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得這兩條船的俯角分別為45°和60°，而且這兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則這兩條船相距________m.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91730016】【解析】設(shè)炮臺(tái)頂為A，底為D，兩船分別為B，C，由題意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30m，∴DB＝30m，DC＝10eq\r(3)m，在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝300，∴BC＝10eq\r(3)m，即這兩條船相距10eq\r(3)m.【答案】10eq\r(3)4．(2023·南京高二檢測(cè))為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)，如圖1-3-11所示，且B＋D＝180°，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______km.圖1-3-11【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cosD，由cosD＝－cosB，并消去AC2得cosB＝eq\f(1,2)，所以AC＝7.【答案】75.如圖1-3-12所示，甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東________(填角度)的方向前進(jìn)．圖1-3-12【解析】由題意知，AC＝eq\r(3)BC，∠ABC＝120°，由正弦定理知，eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴∠CAD＝60°－30°＝30°.【答案】30°6．若兩人用大小相等的力F提起重為G的貨物，且保持平衡，則兩力的夾角θ的余弦為_(kāi)_______．【解析】如圖，由平行四邊形法則可知，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝G，∴2F2(1＋cosθ)＝G2，∴cosθ＝eq\f(G2－2F2,2F2).【答案】eq\f(G2－2F2,2F2)7．如圖1-3-13所示，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別是75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于________m.圖1-3-13【解析】由題意可知，AC＝eq\f(60,sin30°)＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,∠BAC)，于是BC＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(240\r(2),\r(2)＋\r(6))＝120(eq\r(3)－1)(m)．【答案】120(eq\r(3)－1)8.如圖1-3-14，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．圖1-3-14【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)二、解答題9．如圖1-3-15所示，有兩條直線AB和CD相交成80°角，交點(diǎn)是O，甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h，4.5km/h,3小時(shí)后兩人相距多遠(yuǎn)(精確到0.1km)?圖1-3-15【解】經(jīng)過(guò)3小時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)P，OP＝4×3＝12(km)，乙到達(dá)點(diǎn)Q，OQ＝×3＝(km)，依余弦定理，知PQ＝eq\r(122＋－2×12×80°)≈(km)．10．如圖1-3-16，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝eq\f(4\r(3),7)，求BC邊上的高AD.圖1-3-16【解】在△ABC中，由已知設(shè)AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得eq\f(7x,sinC)＝eq\f(8x,sinB)，∴sinC＝eq\f(7,8)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°(C＝120°舍去，否則由8x>7x，知B也為鈍角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABC中，AD＝ABsinB＝eq\f(4\r(3),7)AB，∴AD＝12eq\r(3)或AD＝20eq\r(3).能力提升]1.如圖1-3-17，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.若此人步行的速度為每分鐘50m，則該扇形的半徑為_(kāi)_______m.圖1-3-17【解析】連結(jié)OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq\f(1,2)＝17500，∴OC＝50eq\r(7).【答案】50eq\r(7)2．如圖1-3-18所示，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是________m.圖1-3-18【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(m)．【答案】10eq\r(6)3．甲船在島B的正南A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是________小時(shí).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91730017】【解析】設(shè)行駛xh后甲到點(diǎn)C，乙到點(diǎn)D，兩船相距ykm，則∠DBC＝180°－60°＝120°.∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,14)))2－eq\f(25,7)＋100，∴當(dāng)x＝eq\f(5,14)時(shí)，y2有最小值，即兩船相距最近．【答案】eq\f(5,14)4．如圖1-3-19，在△ABC中，BC邊上的中線AD長(zhǎng)為3，且cosB＝eq\f(\r(10),8)，cos∠ADC＝－eq\f(1,4).圖1-3-19(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC邊的長(zhǎng)．【解】(1)因?yàn)閏osB＝eq\f(\r(10),8)，所以sinB＝eq\f(3\r(6),8).又cos∠ADC＝－eq\f(1,4)，所以sin∠ADC＝eq\f(\r(15),4).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(\r(15),4)×eq\f(\r(10),8)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\f(3\r(6),8)＝eq\f(\r(6),4).(2)在△ABD中