高中數(shù)學人教A版第二章點直線平面之間的位置關系 課后提升作業(yè)十四

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)十四平面與平面垂直的判定(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共40分)1.已知二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為()° ° ° °【解析】選B.由題可知，因為有m⊥α，n⊥β，所以m，n所成的角與二面角α-l-β所成的角相等或者互補，因為二面角α-l-β的大小為60°，所以異面直線m，n所成的角為60°.2.(2023·吉安高二檢測)在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點，下列結(jié)論中不成立的是()∥平面PDF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDF⊥平面ABC【解析】選，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，DF為三角形的中位線，則BC∥DF，依據(jù)線面平行判定定理可知，BC∥平面PDF；又E為BC的中點，連接AE，PE，則BC⊥PE，BC⊥AE，依據(jù)線面垂直判定定理可知BC⊥平面PAE，因BC∥DF，則DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，則平面PDF⊥平面PAE，所以只有D不成立.【延伸探究】本題中若將條件“D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點”改為“PC⊥AB，AC⊥PC”，則下列結(jié)論成立的是()

A.平面PAB⊥平面PBC B.平面PAB⊥平面PAC

C.平面PAB⊥平面ABC D.平面PBC⊥平面ABC

【解析】選D.因為PC⊥AB，PC⊥AC，AB∩AC=A，所以PC⊥平面ABC，又PC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.3.(2023·太原高二檢測)如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有()對 對 對 對【解析】選D.觀察圖形，根據(jù)空間垂直關系的判定方法，可以得出下面幾組互相垂直的平面：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB，一共5對.4.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法中正確的是()A.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB.若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC.若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β【解析】選D.對于選項A，分別在兩個垂直平面內(nèi)的兩條直線平行、相交、異面都可能，但未必垂直；對于選項B，分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線平行、異面都可能；對于選項C，兩個平面分別經(jīng)過兩垂直直線中的一條，不能保證兩個平面垂直；對于選項D，m⊥α，m∥n，則n⊥α；又因為n∥β，則β內(nèi)存在與n平行的直線l，因為n⊥α，則l⊥α，由于l⊥α，l?β，所以α⊥β.5.如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點，則下面結(jié)論中錯誤的是()A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D.∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角【解析】選正確，因為GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE=G，PC∩CB=C，所以平面EFG∥平面PBC；B正確，因為PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，所以GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC=C，所以GF⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面ABC；C正確，易知EF∥BP，所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角；D錯誤，因為GE與AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角.6.(2023·嘉峪關高一檢測)三棱錐的頂點在底面的射影為底面正三角形的中心，高是3，側(cè)棱長為7，那么側(cè)面與底面所成的二面角是()° ° ° °【解析】選A.過B作AC邊上的中線BD，交AC于D，連接VD，則V在底面ABC上的射影O點在中線BD上，且BO=2OD，因為VO⊥平面ABC，所以BO2=VB2-VO2，又VO=3，VB=7，所以BO=2，OD=1，所以cos∠VDO=12所以∠VDO=60°.即平面VAC與平面ABC所成二面角為60°.7.(2023·贛州高二檢測)如圖，P是正方體ABCD-A1B1C1D1中BC1上的動點，下列說法①AP⊥B1C；②BP與CD1所成的角是60°；③QUOTEVPAD1C為定值；④B1P∥平面D1AC；⑤二面角P其中正確說法的個數(shù)有()個 個 個 個【解析】選C.①AB⊥BC，AB⊥BB1，所以平面ABP⊥平面BB1C1C，從而AP⊥B1C正確；②由于CD1∥A1B，并且BC1與A60°正確；③雖然點P變化，但P到AD1的距離始終不變，故QUOTEVPAD1C為定值正確；⑤P點變化，但二面角P-AB-C都是面AD1C1B與面ABCD所成的角，故二面角P-8.如圖，將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與CD所成的角為60°；④AB與平面BCD所成的角為60°.其中錯誤的結(jié)論是()A.① B.② C.③ D.④【解析】選D.如圖所示，取BD的中點E，連接AE，EC，AC，易知BD⊥面AEC，所以①正確；設正方形的邊長為a，則AE=EC=22由勾股定理可得AC=a，所以△ACD是等邊三角形，②正確；取BC的中點F，AC的中點G，連接EF，EG，F(xiàn)G，則EF=FG=12a，EG=1所以AB與CD所成的角為60°，③正確；AB與平面BCD所成的角為∠ABE=45°，所以④錯誤.二、填空題(每小題5分，共10分)9.(2023·濟寧高一檢測)如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點.有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________(填上所有正確命題的序號)【解析】①不正確，因為PA?平面MOB；②正確，因為MO∥PA，而且MO?平面PAC，所以MO∥平面PAC；③不正確，OC不垂直于AC；④正確，因為BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC.答案：②④【補償訓練】(2023·廣州高一檢測)如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA=45°.其中正確的有____________(把所有正確的序號都填上).【解析】對于①，由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以AE⊥PB，①正確；對于②，因為平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯；對于③，由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直線BC∥平面PAE也不成立，③錯；對于④，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，所以④正確.答案：①④10.(2023·臺州高二檢測)A是銳二面角α-l-β的α內(nèi)一點，AB⊥β于點B，AB=3，A到l的距離為2，則二面角α-l-β的平面角大小為________.【解析】由題可知，設過點A作l的垂線，垂足為C，由于AB⊥β，則三角形ABC為直角三角形，∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，BC=22-3=1，因此∠ACB=60°，即二面角α-l答案：60°三、解答題(每小題10分，共20分)11.如圖所示，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC.(2)求二面角D-AP-C的正弦值.【解析】(1)因為D是AB的中點，△PDB是正三角形，AB=20，所以PD=12又AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC.又AC⊥BC，AP∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.又BC?平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)因為PA⊥PC，且PA⊥PB，所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC⊥平面PAC，則BC⊥PC，所以sin∠BPC=BCPB=12.(2023·山東高考)在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O'的直徑,FB是圓臺的一條母線.(1)已知G,H分別為EC,FB的中點,求證:GH∥平面ABC.(2)已知EF=FB=12AC=23【解析】(1)如圖,設FC中點為I,連接GI,HI,在△CEF中,GI∥EF,又EF∥OB,所以GI∥OB;在△CFB中,HI∥BC,又HI∩GI=I,所以,平面GHI∥平面ABC,又因為GH?平面GHI,GH?平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)如圖,連接OO',過點F作FM垂直O(jiān)B于點M,則有FM∥OO'.又OO'⊥平面ABC,所以FM⊥平面ABC,可得FM=FB過點M作MN⊥BC,垂足為N,易得FN⊥BC,從而∠FNM為二面角F-BC-A的平面角.又AB=BC,AC為下底面圓的直徑,可得MN=BMsin45°=62由勾股定理可得,FN=422,從而cos∠FNM=7所以二面角F-BC-A的余弦值為77【能力挑戰(zhàn)題】如圖，四邊形ABCD是正方形，△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點F是PB的中點，點E是邊BC上的任意一點.(1)求證：AF⊥EF.(2)求二面角A-PC-B的平面角的正弦值.【解析】(1)因為F是PB的中點，且PA=AB，所以AF⊥PB，因為△PAB與△PAD均是以A為直角頂點的等腰直角三角形，所以PA⊥AD，PA⊥AB.因為AD∩AB=A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.因為BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以BC⊥AB.因為PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因為AF?平面PAB，所以BC⊥AF.因為PB∩BC=B，PB?平面PBC，BC?平面PBC，所以AF⊥平面PBC.因為EF?平面PBC，所以AF⊥EF.(2)作FH