高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步 章末過關(guān)檢測卷(一)

章末過關(guān)檢測卷(一)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知平面α和直線l，則α內(nèi)至少有一條直線與l()A．平行B．相交C．垂直D．異面解析：無論l在α內(nèi)，還是與α平行或相交，都可在α內(nèi)找到一條直線與l垂直．答案：C2．對兩條異面直線a與b，必存在平面α，使得()A．a(chǎn)?α，b?α B．a(chǎn)?α，b∥αC．a(chǎn)⊥α，b⊥α D．a(chǎn)?α，b⊥α解析：已知兩條異面直線a和b，可以在直線a上任取一點(diǎn)A，則A?b.過點(diǎn)A作直線c∥b，則過a，c確定平面α，且使得a?α，b∥α.答案：B3．已知直線m，n和平面α，β滿足m⊥n，m⊥α，α⊥β，則()A．n⊥β B．n∥β或n?βC．n⊥α D．n∥α或n?α解析：在平面β內(nèi)作直線l垂直于α，β的交線，則由α⊥β得直線l⊥α.又因?yàn)閙⊥α，所以l∥m.若m?β，要滿足題中限制條件，顯然只能n∥α或n?α；同理m?β，仍有n∥α或n?α.綜上所述，D正確．答案：D4．已知空間兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題正確的是()A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥nD．若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m∥n解析：對于A，m與n還可能平行或相交或異面；對于C，m與n還可能相交或異面；對于D，m與n還可能相交或異面．答案：B5．(2023·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A．8cm3 B．12cm3\f(32,3)cm3 \f(40,3)cm3解析：該幾何體是由一個(gè)正方體和一個(gè)正四棱錐構(gòu)成的組合體．下面是棱長為2cm的正方體，體積V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面邊長為2cm，高為2cm的正四棱錐，體積V2＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)(cm3)，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝eq\f(32,3)(cm3)．答案：C6．(2023·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5解析：該三棱錐的直觀圖如圖所示，且過點(diǎn)D作DE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，連接AE，則BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝2＋2eq\r(5).答案：C7．(2023·課標(biāo)全國Ⅰ卷)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()A．1B．2C．4D．8解析：由題意知，2r·2r＋eq\f(1,2)·2πr·2r＋eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,2)πr2＋eq\f(1,2)·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.答案：B8．(2023·廣東卷)若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于3解析：當(dāng)n＝3時(shí)顯然成立，故排除A、B；由正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，兩兩距離相等，得n＝4時(shí)成立．答案：C9．如左下圖所示，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度\f(500π,3)cm3 \f(866π,3)cm3\f(1372π,3)cm3 \f(2048π,3)cm3解析：作出該球軸截面的圖象，如圖所示，依題意BE＝2，AE＝CE＝4，設(shè)DE＝x，故AD＝2＋x，因?yàn)锳D2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故該球的半徑AD＝5，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．答案：A10.如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為4，M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，使得平面AMN與平面MNCB所成的二面角為30°，則四棱錐A-MNCB的體積為()\f(3,2)\f(\r(3),2)\r(3)D．3解析：如圖所示，作出二面角A-MNB的平面角∠AED，AO為△AED底邊ED上的高，也是四棱錐A-MNCB的高．由題意，得AO＝eq\f(\r(3),2).V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝eq\f(3,2).答案：A11．軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積與全面積的比是()A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4答案：B12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取線段AB＝4，AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi)，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，則CD的長度為()A．13\r(151)C．12eq\r(3)D．15答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將正確答案填在題中的橫線上)13．已知正四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(3\r(2),2)，底面邊長為eq\r(3)，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為________．解析：設(shè)正四棱錐的高為h，則eq\f(1,3)×(eq\r(3))2h＝eq\f(3\r(2),2)，解得高h(yuǎn)＝eq\f(3\r(2),2).底面正方形的對角線長為eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，所以O(shè)A＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\r(6)，所以球的表面積為4π(eq\r(6))2＝24π.答案：24π14．(2023·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________．解析：根據(jù)三視圖還原幾何體，得如圖所示的三棱錐P-ABC，由三視圖的形狀特征及數(shù)據(jù)，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面為等腰三角形，AB＝BC，設(shè)D為AC中點(diǎn)，AC＝2，則AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝eq\r(2)，所以最長的棱為PC，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)15．(2023·江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè)．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為________．解析：底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱的總體積為eq\f(1,3)π·52×4＋π·22×8＝eq\f(196π,3).設(shè)新的圓錐和圓柱的底面半徑為r，則eq\f(1,3)π·r2·4＋π·r2×8＝eq\f(28π,3)r2＝eq\f(196π,3)，解得r＝eq\r(7).答案：eq\r(7)16．設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，則eq\f(V1,V2)的值是________．解析：設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，則2πr1h1＝2πr2h2，所以eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1)，又eq\f(S1,S2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))·eq\f(r2,r1)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2023·課標(biāo)全國Ⅱ卷)如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)設(shè)AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱錐P-ABD的體積V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距離．(1)證明：如圖所示，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，連接EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB.因?yàn)镋O?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解：由V＝eq\f(1,6)PA·AB·AD＝eq\f(\r(3),6)AB，又V＝eq\f(\r(3),4)，可得AB＝eq\f(3,2).作AH⊥PB交PB于點(diǎn)H.由題設(shè)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝eq\f(\r(13),2)，所以AH＝eq\f(PA·AB,PB)＝eq\f(3\r(13),13).所以A到平面PBC的距離為eq\f(3\r(13),13).18．(本小題滿分12分)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BCD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)證明：PC⊥BD；(2)若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐P-BCE的體積．(1)證明：如圖所示，連接BD，AC交于點(diǎn)O.因?yàn)镻B＝PD，所以PO⊥BD.又因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.而AC∩PO＝O，所以BD⊥面PAC.所以BD⊥PC.(2)解：由(1)知BD⊥面PAC.由已知得BD＝2，AC＝2eq\r(3)，PO＝eq\r(3).所以S△PEC＝eq\f(1,2)S△PAC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).所以VP-BCE＝VB-PEC＝eq\f(1,3)·S△PEC·BO＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×1＝eq\f(1,2).19．(本小題滿分12分)將圓心角為120°，面積為3π的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積．解：設(shè)扇形的半徑和圓錐的母線都為l，圓錐的底面半徑為r，則eq\f(120,360)πl(wèi)2＝3π，l＝3；eq\f(2π,3)×3＝2πr，r＝1；S表面積＝S側(cè)面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π·12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.20．(本小題滿分12分)一個(gè)幾何體按比例繪制出的三視圖如圖所示(單位：m)．(1)試畫出其直觀圖；(2)求它的體積．解：(1)幾何體的直觀圖如圖所示．(2)由直觀圖知，該幾何體可看成底面立起來的四棱柱，其體積為V＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×1＝eq\f(3,2)(m3)．21.(本小題滿分12分)如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝eq\r(3)，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動．(1)求三棱錐E-PAD的體積；(2)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；(3)求證：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF.(1)解：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，所以三棱錐E-PAD的體積為V＝eq\f(1,3)S△PAD·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),6).(2)解：當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行．因?yàn)樵凇鱌BC中，E，F(xiàn)分別為BC，PB的中點(diǎn)，所以EF∥PC.又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，所以EF∥平面PAC.(3)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，所以EB⊥PA.因?yàn)镋B⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP?平面PAB，所以EB⊥平面PAB.又因?yàn)锳F?平面PAB，所以AF⊥BE.因?yàn)镻A＝AB＝1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，所以AF⊥PB.因?yàn)镻B∩BE＝B，PB，BE?平面PBE，所以AF⊥平面PBE.因?yàn)镻E?平面PBE，所以AF⊥PE.22．(本小題滿分12分)(2023·廣東卷)如圖①所示，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按圖②方式折疊，折痕EF中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF.(1)證明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱錐M-CDE的體積．(1)證明：如圖所示，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD.又因