第5章頻率特性

1第5章頻率特性法5.1頻率特性的基本概念5.2極坐標(biāo)圖（奈氏圖）5.3伯德圖5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.6系統(tǒng)頻率特性與時(shí)域性能的關(guān)系5.7MATLAB用于頻域分析

時(shí)域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用的性能，對(duì)于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時(shí)域表達(dá)式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時(shí)域指標(biāo)直接評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。因此，時(shí)域法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。然而，工程實(shí)際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過(guò)時(shí)域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號(hào)作用下的輸出表達(dá)式是相當(dāng)困難的，需要大量計(jì)算，只有在計(jì)算機(jī)的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時(shí)，采用時(shí)域法難以確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。在工程實(shí)踐中,往往并不需要準(zhǔn)確地計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過(guò)程，而是希望避開繁復(fù)的計(jì)算，簡(jiǎn)單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡(jiǎn)便的工程分析方法來(lái)分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法。控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性）來(lái)分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問(wèn)題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性等，是工程實(shí)踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。

頻率特性分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點(diǎn)。如：①根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能,得到定性和定量的結(jié)論，可以簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響,并提出改進(jìn)系統(tǒng)的方法。頻率特性分析法的特點(diǎn)②時(shí)域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。③具有明確的物理意義，它可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法，借助頻率特性分析儀等測(cè)試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)，這對(duì)難以用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。

④頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。本章重點(diǎn)介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對(duì)數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。5.1頻率特性的基本概念5.1.1

頻率響應(yīng)

頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)的作用下，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出仍是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與相位是輸入正弦信號(hào)頻率的函數(shù)。示例：如圖所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，ui(t)與uo(t)分別為輸入與輸出信號(hào)，其傳遞函數(shù)為RC

RC網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)其中T=RC，為電路的時(shí)間常數(shù)，單位為s。在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)為一正弦信號(hào)，即ui(t)=Uisint，Ui與分別為輸入信號(hào)的振幅與角頻率，可以運(yùn)用時(shí)域法求電路的輸出。輸出的拉氏變換為：

對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得輸出的時(shí)域表達(dá)式：輸出與輸入相位差為：

=-arctanTω輸入信號(hào)為ui(t)=Uisint

二者均僅與輸入頻率，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比為：14頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為若：則：15拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)-pi都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：式中，分別為：16而17表明：對(duì)于一般的線性定常系統(tǒng)（或元件）輸入正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)，即頻率響應(yīng)是與輸入同頻率的正弦信號(hào)，但幅值和相位不一樣。線性系統(tǒng)(或元件)

對(duì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進(jìn)一步的分析，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比和相位差只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號(hào)的頻率ω有關(guān)。因此，頻率特性可定義為：

線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號(hào)的幅值比和相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。

頻率特性可以反映出系統(tǒng)對(duì)不同頻率的輸入信號(hào)的跟蹤能力，在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。5.1.2頻率特性的定義19頻率特性為系統(tǒng)頻率響應(yīng)與輸入信號(hào)的復(fù)數(shù)比，常用

或表示：稱為幅頻特性，它等于頻率響應(yīng)輸出幅值與輸入信號(hào)幅值之比；稱為相頻特性，它是穩(wěn)態(tài)輸出超前輸入的相位。

20將中的s用jw代替即得系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性與微分方程和傳遞函數(shù)一樣，是系統(tǒng)在頻域的數(shù)學(xué)模型，它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。各種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，則系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲(chǔ)能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號(hào)的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。頻率特性的物理意義235.1.3頻率特性的表示方法

頻率特性的解析式頻率特性是復(fù)變函數(shù)，它在復(fù)平面上的向量如圖所示表示，它可以用以下幾種形式的解析式表示。幅頻-相頻形式：指數(shù)形式：三角函數(shù)形式：實(shí)頻-虛頻形式：242.頻率特性常用的圖形⑴幅頻特性、相頻特性圖在直角坐標(biāo)系內(nèi)，以頻率為橫坐標(biāo)，分別作出的幅頻、相頻特性曲線。

⑵極坐標(biāo)圖--也稱幅相特性圖、奈奎斯特（Nyquist）圖，簡(jiǎn)稱奈氏圖它是在復(fù)平面上用一條曲線表示由時(shí)的頻率特性。即用矢量的端點(diǎn)軌跡形成的圖形。是參變量。在曲線的上的任意一點(diǎn)可以確定實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性。極坐標(biāo)圖是以開環(huán)頻率特性的實(shí)部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部為縱坐標(biāo)，以w為參變量畫出幅值與相位之間的關(guān)系。25

優(yōu)點(diǎn)：在一張圖上繪出整個(gè)頻率域的頻率響應(yīng)特性；缺點(diǎn)：不能明顯地表示出開環(huán)傳遞函數(shù)中每個(gè)典型環(huán)節(jié)的作用。由于幅頻特性是w的偶函數(shù)，而相頻特性是w的奇函數(shù)，所以當(dāng)w從0→∞的頻率特性曲線和w從－∞→0的頻率特性曲線是對(duì)稱于實(shí)軸的。26（3）對(duì)數(shù)頻率特性曲線（伯德圖，Bode圖）

Bode圖由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲線組成。⒈伯德圖坐標(biāo)的分度：橫坐標(biāo)(稱為頻率軸)分度：它是以頻率w

的對(duì)數(shù)值lgw

進(jìn)行線性分度的。但為了便于觀察仍標(biāo)以w

的值，因此對(duì)w

而言是非線性刻度。w

每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長(zhǎng)度，稱為十倍頻程(或十倍頻)，用dec表示。類似地，頻率w

的數(shù)值變化一倍，橫坐標(biāo)就變化0.301單位長(zhǎng)度，稱為“倍頻程”，用oct表示。如下圖所示：由于w以對(duì)數(shù)分度，所以零頻率點(diǎn)在－∞處。27更詳細(xì)的刻度如下圖所示28縱坐標(biāo)分度：對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)以L(w)=20lgA(w)表示。其單位為分貝(dB)。直接將20lgA(w)值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上。

相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個(gè)橫坐標(biāo)（頻率軸）。

當(dāng)幅值用分貝值表示時(shí)，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：增益=20lg(幅值)對(duì)數(shù)坐標(biāo)系302.使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。31所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線(漸近線)近似表示。對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的頻率特性用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式。5.2幅相頻率特性及其繪制5.2.1幅相頻率特性曲線（奈氏圖）基本概念

繪制奈氏圖的坐標(biāo)系是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的重合。取極點(diǎn)為直角坐標(biāo)的原點(diǎn),極坐標(biāo)軸為直角坐標(biāo)的實(shí)軸。由于系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式為

G（jω）=A(ω)·

ej

對(duì)于某一特定頻率ω下的G(jω)總可以用復(fù)平面上的一個(gè)向量與之對(duì)應(yīng)，該向量的長(zhǎng)度為A(ω)，與正實(shí)軸的夾角為(ω)。

由于A()和()是頻率的函數(shù)，當(dāng)ω在0→∞的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，向量的幅值與相角均隨之連續(xù)變化，不同ω下的向量的端點(diǎn)在復(fù)平面上掃過(guò)的軌跡即為該系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線（奈氏曲線），如圖所示。

G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)w

極坐標(biāo)圖的表示方法

Im

在繪制奈氏圖時(shí)，常把ω作為參變量，標(biāo)在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時(shí)曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統(tǒng)頻率特性的變化規(guī)律。前面已經(jīng)指出，系統(tǒng)的幅頻特性與實(shí)頻特性是ω的偶函數(shù)，而相頻特性與虛頻特性是ω的奇函數(shù)，即G（jω）與G（-jω）互為共軛。

因此，假定ω可為負(fù)數(shù)，當(dāng)ω在-∞→0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，相應(yīng)的奈氏圖曲線G（jω）必然與G（-jω）對(duì)稱于實(shí)軸。ω取負(fù)數(shù)雖然沒(méi)有實(shí)際的物理意義，但是具有鮮明的數(shù)學(xué)意義，主要用于控制系統(tǒng)的奈氏穩(wěn)定判別中。繪制奈氏曲線的具體步驟：1.用jω代替s，求出頻率特性G（jω）2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性（ω）的表達(dá)式，也可求出實(shí)頻特性與虛頻特性，幫助判斷G（jω）所在的象限。3.在0→∞的范圍內(nèi)選取不同的ω，根據(jù)A(ω)與（ω）表達(dá)式計(jì)算出對(duì)應(yīng)值，在坐標(biāo)圖上描出對(duì)應(yīng)的向量G（jω），將所有G（jω）的端點(diǎn)連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。1．比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K=const

頻率特性表達(dá)式為：5.2.2典型環(huán)節(jié)的奈氏圖

比例環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性均與頻率無(wú)關(guān)。所以當(dāng)由0變到，G(j)始終為實(shí)軸上一點(diǎn)，說(shuō)明比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)，幅值上有放大或衰減作用；()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。2．積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：

積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性如圖所示，在0＜＜的范圍內(nèi),幅頻特性與負(fù)虛軸重合。積分環(huán)節(jié)的奈氏圖表明積分環(huán)節(jié)是低通濾波器，放大低頻信號(hào)、抑制高頻信號(hào)，輸入頻率越低，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。3．微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：

理想微分環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖所示，在0＜＜的范圍內(nèi),其奈氏圖與正虛軸重合。可見，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說(shuō)明輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見性作用。1．比例環(huán)節(jié)上一次課簡(jiǎn)單回顧：頻率特性的定義典型環(huán)節(jié)的頻率特性(部分)幅頻特性相頻特性實(shí)頻特性虛頻特性比例環(huán)節(jié)奈氏圖2．積分環(huán)節(jié)3．純微分環(huán)節(jié)低通濾波器高通濾波器4．慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：低通濾波0ReIm1慣性環(huán)節(jié)G(jω)慣性環(huán)節(jié)奈氏圖剛好是一個(gè)半圓，why?性質(zhì)：慣性環(huán)節(jié)為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→-90o。證明：所以，慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個(gè)以(1/2,

j0)為圓心，以1/2為半徑的半圓。以(K/2,

j0)為圓心，以K/2為半徑的半圓5、一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(s+1)平行于正虛軸向上無(wú)限延伸的直線。一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號(hào)的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大。一階微分環(huán)節(jié)的典型實(shí)例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號(hào)的問(wèn)題。輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見性作用。

性質(zhì)：6、振蕩環(huán)節(jié)

幾個(gè)重要的特征點(diǎn):可以判斷出虛頻特性恒≤0，故曲線必位于第三與第四象限。振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖如圖所示，且1＞2。特性曲線與負(fù)虛軸交點(diǎn)處頻率為=1/T，幅值為1/(2)。由奈氏圖可知，振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時(shí)的取值對(duì)曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況。1.

＞0.707

幅頻特性A()隨的增大而單調(diào)減小，如上圖中1所對(duì)應(yīng)曲線，此時(shí)環(huán)節(jié)有低通濾波作用。當(dāng)＞1時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)有兩個(gè)相異負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，若足夠大，一個(gè)極點(diǎn)靠近原點(diǎn)，另一個(gè)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸（對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)影響很小），奈氏曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)的虛部為1/(2)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環(huán)節(jié)近似于慣性環(huán)節(jié)，如圖所示。2.

0≤≤0.707當(dāng)增大時(shí)，幅頻特性A()并不是單調(diào)減小，而是先增大，達(dá)到一個(gè)最大值后再減小直至衰減為0，這種現(xiàn)象稱為諧振。奈氏圖上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)處所對(duì)應(yīng)的頻率為諧振角頻率r，所對(duì)應(yīng)的向量長(zhǎng)度為諧振峰值Mr=A(r)。諧振表明系統(tǒng)對(duì)頻率r下的正弦信號(hào)的放大作用最強(qiáng)。諧振角頻率諧振峰值為

可見隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率n，超調(diào)量σp也越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越差。當(dāng)=0時(shí)，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

諧振角頻率r和諧振峰值Mr如何確定？0ReIm1AB振蕩環(huán)節(jié)G(jω)(0≤≤0.707)7、延遲環(huán)節(jié)幅頻特性為：A()=1相頻特性為：()=-單位為弧度（rad）。G(s)=e-sG(j)=e-j0ReIm延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓。即延遲環(huán)節(jié)可以不失真地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號(hào)頻率越高，延遲環(huán)節(jié)的輸出滯后就越大。5.2.3開環(huán)奈氏圖的繪制1.開環(huán)頻率特性的性質(zhì)則開環(huán)頻率特性應(yīng)該滿足下面的規(guī)律（重要）

開環(huán)系統(tǒng)可表示為若干個(gè)典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式：設(shè)典型環(huán)節(jié)的頻率特性為：(1)起點(diǎn)---低頻段的確定（→0）

G(jω)H(jω)的低頻段表達(dá)式為

根據(jù)向量相乘是幅值相乘、相位相加的原則，求出低頻段幅頻特性與相頻特性表達(dá)式分別為：假定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)全為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與零點(diǎn)：2.開環(huán)奈氏圖基本繪制規(guī)律1）

0型系統(tǒng)，v=0：2）Ⅰ型系統(tǒng)，v=1：

3）Ⅱ型系統(tǒng)，v=2：

4）Ш型系統(tǒng)，v=3：

開環(huán)奈氏圖的起點(diǎn)起點(diǎn)（→0）

A(0)=K，(0)=0o起點(diǎn)為實(shí)軸上的一點(diǎn)(K，j0)。A(0)=∞，

(0)=-90oA(0)=∞，(0)=-180oA(0)=∞，(0)=-270o(2)終點(diǎn)---高頻段的確定（

→∞）m為分子多項(xiàng)式的階數(shù)，

n為分母多項(xiàng)式的階數(shù)，若n>m終點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)決定特性曲線以什么角度進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)終點(diǎn)（→∞）1)(n-m)=1,開環(huán)奈氏圖的終點(diǎn)2)(n-m)=2,3)(n-m)=3,4)(n-m)=3,則()=-90。則()=-180。則()=-270。則()=-360。(3)奈氏圖與實(shí)軸、虛軸的交點(diǎn)

將頻率特性表達(dá)式按照分母有理化的方法分解為實(shí)部與虛部。1）曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)處的頻率由虛部為0:

Im[G(j)]

=

0

求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。2）曲線與虛軸的交點(diǎn)處的頻率由實(shí)部為0:

Re[G(j)]

=

0

求出交點(diǎn)處的，再代回頻率特性表達(dá)式求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。64

幅頻特性和相頻特性分別為1)起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)：終點(diǎn)：2)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)即，奈氏圖與實(shí)軸交于

例5-1

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制系統(tǒng)概略開環(huán)奈氏圖。-60-0.83ImRe

解系統(tǒng)的頻率特性為概略奈氏圖精確圖相位穿越頻率0-25ImRe例5-2繪制的開環(huán)奈氏圖。解：求交點(diǎn)：

曲線如圖所示：解得無(wú)實(shí)數(shù)解，與虛軸無(wú)交點(diǎn)5.3對(duì)數(shù)頻率特性及其繪制5.3.1

對(duì)數(shù)頻率特性曲線基本概念

對(duì)數(shù)頻率特性圖（Bode圖）將幅頻和相頻特性分別畫出，并按對(duì)數(shù)分度運(yùn)算，使系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)變得十分簡(jiǎn)便。

1.伯德（Bode）圖的構(gòu)成

對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫坐標(biāo)是對(duì)

取以10為底的對(duì)數(shù)進(jìn)行分度的。標(biāo)注角頻率的真值，以方便讀數(shù)。每變化十倍,橫坐標(biāo)lgω就增加一個(gè)單位長(zhǎng)度，記為decade或簡(jiǎn)寫dec,稱之為“十倍頻”或“十倍頻程”。橫坐標(biāo)對(duì)于ω是不均勻的，但對(duì)lgω卻是均勻的線性分度。由于0頻無(wú)法表示，橫坐標(biāo)的最低頻率是由所需的頻率范圍來(lái)確定的。

若橫軸上有兩點(diǎn)ω1與ω2，

則該兩點(diǎn)的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1。對(duì)數(shù)頻率特性曲線坐標(biāo)系如圖所示，在求解函數(shù)關(guān)系時(shí)，相當(dāng)于lgω為自變量。

縱坐標(biāo)是對(duì)幅值分貝(dB)數(shù)進(jìn)行分度，用L()=20lgA(ω)表示。對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)分度方法同對(duì)數(shù)幅頻特性，而縱坐標(biāo)則對(duì)相角進(jìn)行線性分度，單位為度（o）

,仍用()表示。2．Bode圖法的特點(diǎn)（1）橫坐標(biāo)按頻率取對(duì)數(shù)分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)（一般為低頻系統(tǒng)）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數(shù)［20lg|G(jw)|］后，使各因子間的乘除運(yùn)算變?yōu)榧訙p運(yùn)算，在Bode圖上則變?yōu)楦饕蜃臃l特性曲線的疊加，大大簡(jiǎn)化了作圖過(guò)程，使系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析變得容易。（3）可采用由直線段構(gòu)成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡(jiǎn)便。（4）在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和調(diào)試中，開環(huán)放大系數(shù)K是最常變化的參數(shù)。而K的變化不影響對(duì)數(shù)幅頻特性的形狀，只會(huì)使幅頻特性曲線作上下平移。

5.3.2典型環(huán)節(jié)的伯德圖1．比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K=const

頻率特性表達(dá)式為：ωL(ω)/dB0dBω0°φ(ω)20lgK比例環(huán)節(jié)的Bode圖比例環(huán)節(jié)可以完全、真實(shí)地復(fù)現(xiàn)任何頻率的輸入信號(hào)輸出與輸入同相位2．積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：ω＝1時(shí)，L(ω)＝-20lg1=0dBω＝10時(shí)，L(ω)＝-20lg10=-20dB75①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec][-20dB/dec][-20dB/dec]②G(s)=10s1③

G(s)=5s90000-900相角均為-900是一條直線，斜率-20dB/dec積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線0.01

放大低頻信號(hào)、抑制高頻信號(hào)，輸入頻率越低，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)。積分環(huán)節(jié)是低通濾波器？輸出滯后輸入的相位恒為90o。77對(duì)數(shù)曲線求斜率的方法ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb斜率=對(duì)邊鄰邊=La-Lbωa-ωb×lgωa-lgωb78例：求截止頻率ωcL(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∴–(-21.94)–lg53．純微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：頻率特性表達(dá)式為：ω＝1時(shí)，L(ω)＝20lg1=0dBω＝10時(shí)，L(ω)＝20lg10=20dB0.10.21210201000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[+20]微分環(huán)節(jié)L(ω)

理想微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性相比較，只相差正負(fù)號(hào)，二者以軸為基準(zhǔn)，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡象。可見，理想微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，輸入頻率越高，對(duì)信號(hào)的放大作用越強(qiáng)；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說(shuō)明輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見性作用。4.慣性環(huán)節(jié)

(1)對(duì)數(shù)幅頻特性

為簡(jiǎn)化對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的繪制，常常使用漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線（特別是在初步設(shè)計(jì)階段）。1.低頻段在T<<1(或<<1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為T0,從而有

故在頻率很低時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示，稱為低頻漸近線。2.高頻段

在T>>1(或>>1/T)的區(qū)段,可以近似地認(rèn)為

L()為因變量，lg為自變量，因此對(duì)數(shù)幅頻特性曲線是一條斜線,斜率為-20dB/dec,稱為高頻漸近線，與低頻漸近線的交點(diǎn)為T

=1/T，T稱為轉(zhuǎn)折頻率，是繪制慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)的一個(gè)重要參數(shù)。

如需繪制精確曲線，只須分別在低于或高于轉(zhuǎn)折頻率的一個(gè)十倍頻程范圍內(nèi)對(duì)漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線進(jìn)行修正就足夠了。？（2）對(duì)數(shù)相頻特性

精確相頻特性為:()=-arctan(ωT)；

對(duì)數(shù)相頻特性曲線將對(duì)應(yīng)于ω=1/T及()=-45°這一點(diǎn)斜對(duì)稱，如圖所示，可以清楚地看出在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，()呈滯后持續(xù)增加的趨勢(shì)，極限為-90。

當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T改變時(shí)，其轉(zhuǎn)折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動(dòng)。與此同時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性及對(duì)數(shù)相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動(dòng)，但它們的形狀保持不變。88①G(s)=10.5s+1②G(s)=100s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性曲線[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90oω=1/T為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率ω=5轉(zhuǎn)折頻率ω=25．一階微分環(huán)節(jié)1.低頻段

在T<<1(或<<1/T)的區(qū)段，對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似用零分貝線表示，為低頻漸近線。2.高頻段

在T>>1(或>>1/T)的區(qū)段，可以近似地認(rèn)為高頻漸近線是一條斜線，

斜率為20dB/dec，當(dāng)頻率變化10倍頻時(shí)，L()變化20dB。轉(zhuǎn)折頻率為T=1/T。

可知,一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性與慣性環(huán)節(jié)的相應(yīng)特性互以橫軸為鏡像。精確曲線的修正方法也與慣性環(huán)節(jié)相同。但需要注意轉(zhuǎn)折頻率處T對(duì)應(yīng)的精確值是L(T)=3dB。

一階微分環(huán)節(jié)具有放大高頻信號(hào)的作用，輸入頻率越大，放大倍數(shù)越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對(duì)輸入有提前性、預(yù)見性作用。

一階微分環(huán)節(jié)的典型實(shí)例是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但存在放大高頻干擾信號(hào)的問(wèn)題。6．二階振蕩環(huán)節(jié)

（1）對(duì)數(shù)幅頻特性

1.低頻段T<<1(或<<1/T)時(shí)，L()20lg1=0dB，低頻漸近線與0dB線重合。（0≤≤1）2.高頻段T>>1(或>>1/T)時(shí)，并考慮到（0≤≤1），有L()

-20lg(T)2

=-40lg(T)

=

-40lgT

-

40lg

(dB)這說(shuō)明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線，稱為高頻漸近線。T=1/T為低頻漸近線與高頻漸近線交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，稱為轉(zhuǎn)折頻率，也就是環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率n。當(dāng)ζ不同時(shí)振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線

可見0.4時(shí)，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統(tǒng)的阻尼比越小，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性就越差，單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量σ%也越大。

當(dāng)=0時(shí)，r≈n，Mr≈，即振蕩環(huán)節(jié)處于等幅振蕩狀態(tài)。

（2）相頻特性

可知，當(dāng)ω=0時(shí)，()=0；ω=1/T時(shí)，()=-90°；ω→∞時(shí)，()→-180°。與慣性環(huán)節(jié)相似，振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線將對(duì)應(yīng)于ω=1/T及()=-90°這一點(diǎn)斜對(duì)稱。振蕩環(huán)節(jié)具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時(shí)的取值對(duì)曲線形狀的影響較大。振蕩環(huán)節(jié)再分析0dBL(ω)dBω20lgK(0＜

＜0.707)[-40]0＜＜0.5

=0.50.5＜

＜1?提醒:對(duì)數(shù)幅頻漸近曲線0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ζ<0.707時(shí)有峰值：7．二階微分環(huán)節(jié)ωr8．延遲（純滯后）環(huán)節(jié)

()是呈指數(shù)規(guī)律下降的曲線，隨ω增加而滯后相位無(wú)限增加。

系統(tǒng)的頻率特性有兩種，由反饋點(diǎn)是否斷開分為閉環(huán)頻率特性Ф(jω)與開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)

，分別對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Ф(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)較易獲取，并與系統(tǒng)的元件一一對(duì)應(yīng)，在控制系統(tǒng)的頻率分析法中，分析與設(shè)計(jì)系統(tǒng)一般是基于系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：

由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成5.3.3開環(huán)伯德圖的繪制1.基本規(guī)律（1）由于系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性的漸近線是由各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。順序斜率疊加法在繪制系統(tǒng)Bode圖時(shí)，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個(gè)典型環(huán)節(jié)的L(ω)繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(ω)曲線,()曲線描點(diǎn)或疊加求取。（2）低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）的確定G(jω)H(jω)的低頻段表達(dá)式為()=-v90°對(duì)數(shù)頻率特性的低頻漸近線表達(dá)式為可見低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v有關(guān)。

低頻段為一條斜率為-20v（dB/dec）的斜線。同時(shí)，低頻漸近線（及其延長(zhǎng)線）上在=1時(shí),有L(1)=20lgK。（3）轉(zhuǎn)折頻率及轉(zhuǎn)折后斜率變化量的確定低頻段只與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v

及開環(huán)傳遞系K

有關(guān)，而其他典型環(huán)節(jié)的影響是在各自的轉(zhuǎn)折頻率處使L()的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率-20dB/dec；在一階微分環(huán)節(jié)G(s)=(Ts+1)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率+20dB/dec；在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/T處，斜率-40dB/dec。（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關(guān)系當(dāng)→時(shí),由于n＞m，所以高頻段的近似表達(dá)式為()=-（n-m）·90°對(duì)數(shù)頻率特性的高頻漸近線表達(dá)式為高頻段為一條斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。說(shuō)明高頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性均與（n-m）有關(guān)。()=-(n-m)·90°2．繪制步驟利用規(guī)律，可以從低頻到高頻，將L()整條曲線一次畫出，步驟如下：

1．開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式，確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。

2．選定Bode圖坐標(biāo)系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右。確定坐標(biāo)比例尺，由小到大標(biāo)注各轉(zhuǎn)折頻率。

3．確定低頻漸近線（由積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K決定），找到橫坐標(biāo)為

ω=1、縱坐標(biāo)為20lgK

的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作斜率為-20v

dB/dec

的斜線。

4.由低頻向高頻延伸，每到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，斜率根據(jù)具體環(huán)節(jié)作相應(yīng)的改變，最終斜率為-20(n-m)dB/dec。5．如有必要，可對(duì)分段直線進(jìn)行修正，以得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性，其方法與典型環(huán)節(jié)的修正方法相同。通常只需修正各轉(zhuǎn)折頻率處以及轉(zhuǎn)折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()通過(guò)0分貝線,即

L(c)=0或A(c)=1時(shí)的頻率c稱為幅值穿越頻率。幅值穿越頻率c

是分析與設(shè)計(jì)時(shí)的重要參數(shù)。6．在對(duì)數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線，將各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性曲線。也可求出()的表達(dá)式，逐點(diǎn)描繪。低頻時(shí)有()=-v90，最終相位為()=-(n-m)90。7.若系統(tǒng)串聯(lián)有延遲環(huán)節(jié)，不影響系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性，只影響系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性，則可以求出相頻特性的表達(dá)式，直接描點(diǎn)繪制對(duì)數(shù)相頻特性曲線。例5-5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]繪制的L(ω)曲線低頻段：時(shí)為38db時(shí)為52db轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]例5-6

已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)

試作系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻L(w)和相頻(w)。

解：

(1)作L():/s-1L()/dB0.11011002040-20-400A-20dB/dec0.2B-40dB/decC-20dB/decD-60dB/dec123(2)作():114例5-7

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線。解（1）系統(tǒng)有放大、積分、振蕩、慣性、一階微分5個(gè)基本環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率確定點(diǎn)：

斜率：-20dB/dec

（1型系統(tǒng)）（3）繪制中、高頻段漸近線。斜率轉(zhuǎn)折：-20dB/dec—-40dB/dec—-20dB/dec—-60dB/dec（4）繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線.系統(tǒng)開環(huán)相頻特性為（2）低頻段直線。1155.3.3最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

“最小相位”這一概念來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環(huán)節(jié)，其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環(huán)節(jié);反之，其中相角位移大于最小可能值的環(huán)節(jié)稱為非最小相位環(huán)節(jié)。1.基本概念控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般是關(guān)于s的有理真分式，系統(tǒng)的性質(zhì)是由開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的性質(zhì)決定的。（1）如果系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半S平面上沒(méi)有極點(diǎn)和零點(diǎn)，則稱該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)（由除延遲環(huán)節(jié)之外的典型環(huán)節(jié)組成），如（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上有一個(gè)(或多個(gè))零點(diǎn)或極點(diǎn)，稱為非最小相位系統(tǒng)；根據(jù)零極點(diǎn)的不同，一般分為以下兩種系統(tǒng)：顯然G1(s)屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個(gè)系統(tǒng)幅值相同，具有同一個(gè)幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明最小相位系統(tǒng)的慨念。兩者的對(duì)數(shù)幅頻特性是相同的，而相頻特性則有1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanT從傳遞函數(shù)看,這二者均有相同的儲(chǔ)能元件數(shù)，但是由于G2(s)的零點(diǎn)在右半s平面，它產(chǎn)生了附加的相位滯后位移，因而

G1(s)具有較小的相位變化范圍（0°，-90°），為最小相位環(huán)節(jié)；而G2(s)為非最小相位環(huán)節(jié)，相位變化范圍較大（0°，-180°）。

從波德圖上看，最小相位系統(tǒng)為具有相同幅頻特性的許多系統(tǒng)中其相移范圍為最小可能值的系統(tǒng)。2、性質(zhì)☆ (1)最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性是一一對(duì)應(yīng)的。也就是說(shuō)，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，一條對(duì)數(shù)幅頻特性只有一條對(duì)數(shù)相頻特性與之對(duì)應(yīng)，知道其對(duì)數(shù)幅頻特性，也就知道其對(duì)數(shù)相頻特性。因此，利用Bode圖對(duì)最小相位系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，往往只分析其對(duì)數(shù)幅頻特性L()。(2)最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性的變化趨勢(shì)相同，即若L()的斜率減小（或增大），則()的相位也相應(yīng)地減小（或增大）；如果在某一頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)幅頻特性L()的斜率保持不變，則在這些范圍內(nèi)，相位也幾乎保持不變。1233.最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)最小相位系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由單一的幅值曲線唯一確定。

例5-8

最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由對(duì)數(shù)幅頻漸近特性求傳遞函數(shù)是伯德圖曲線繪制的逆問(wèn)題。解由圖可確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)形式為再由解得5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)閉環(huán)特征根都具有負(fù)實(shí)部，即位于s左半平面。在時(shí)域分析中判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一種方法是求出特征方程的全部根，另一種方法就是使用勞斯判據(jù)。然而，這兩種方法都有不足之處，對(duì)于高階系統(tǒng)，非常困難且費(fèi)時(shí),也不便于研究系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)對(duì)穩(wěn)定性的影響。特別是，如果知道了開環(huán)特性，要研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要求出閉環(huán)特征方程，無(wú)法直接利用開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而對(duì)于一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，其開環(huán)數(shù)學(xué)模型易于獲取，同時(shí)它包含了閉環(huán)系統(tǒng)所有環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

除勞斯判據(jù)外，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種常用判據(jù)為奈奎斯特（Nyquist）判據(jù)。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有：1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來(lái)研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對(duì)穩(wěn)定性）。3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對(duì)系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

127F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對(duì)于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)ds都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)df，

df稱為ds在F(s)平面上的映射。

F(s)的值域構(gòu)成的復(fù)平面稱為F(s)平面。[例]輔助方程為：，則s平面上點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn)為（0，-j1）,見下圖：5.4.1幅角定理(數(shù)學(xué)基礎(chǔ))128同樣，在s平面上任取一條不通過(guò)F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)的封閉路徑Γ，當(dāng)s從封閉路徑Γ上任一點(diǎn)起順時(shí)針沿Γ運(yùn)動(dòng)一周回到該點(diǎn)時(shí)，則對(duì)應(yīng)F(s)平面上的映射ΓF亦會(huì)是一條封閉路徑。如圖所示。

幅角定理設(shè)s平面封閉路徑Γ包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)、P

個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)s沿Γ按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)行一周時(shí)，平面上的映射ΓF逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)為:

R＝P–Z當(dāng)R＜0時(shí)，表示ΓF順時(shí)針包圍F(s)平面的原點(diǎn)，R＝0表示不包圍F(s)平面的原點(diǎn)。1295.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)設(shè)如圖所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為構(gòu)造輔助方程其中，——為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)；——為F(s)的零點(diǎn)，也是特征方程的根；（判穩(wěn)欲知）——為F(s)的極點(diǎn)，也是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。（已知）

130對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于上面討論的輔助方程，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。131應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的，輔助方程也已知。假設(shè)：如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射曲線逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：

R＝P–Z

＝開環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)－閉環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由R判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。完成這個(gè)設(shè)想需要解決兩個(gè)問(wèn)題：2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)R，并將它和開環(huán)頻率特性相聯(lián)系？1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足幅角定理的？133第1個(gè)問(wèn)題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒(méi)有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蜃饕粭l曲線包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑。如下圖所示，分為三部分：

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ①正虛軸：s=jw，②右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓：③負(fù)虛軸：s=jw，134F(s)平面上的映射是這樣得到的：②以代入F(s)，令

，得第二部分的映射；得到映射曲線后，就可由幅角定理計(jì)算R=P－Z，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。若已知P，并能確定R，可求出Z=P－

R。當(dāng)Z=0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。①以s=jw

代入F(s)，令w從0→∞變化，得第一部分的映射；③以s=jw

代入F(s)，令w從－∞→0，得第三部分的映射。135奈奎斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對(duì)應(yīng)，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱。①由可求得，而是開環(huán)頻率特性。一般在中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)

時(shí)，，即F(s)=1。（對(duì)應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）第2個(gè)問(wèn)題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的輔助方程為，為開環(huán)傳遞函數(shù)。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：

136②F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(duì)(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)R與對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。③F(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。1372.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)的正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)P(Z=0)。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，P

=0,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)。奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，奈氏曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定(s右平面特征根數(shù)Z=P-R)；若奈氏曲線穿越(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)138例5-9

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試用奈氏判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面上沒(méi)有極點(diǎn)，即P＝0。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性開環(huán)奈氏圖：起點(diǎn)終點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸無(wú)交點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性作圖。由圖可知，奈氏曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，即R＝0，所以Z＝P－R＝0。這表示對(duì)于任意正值K、T1和T2，該閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。139例5-10

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試用奈氏判據(jù)確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為開環(huán)奈氏圖：起點(diǎn)終點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸相交于點(diǎn)（-K,j0)，根據(jù)對(duì)稱性作出奈氏曲線如圖。當(dāng)K＞1，R＝1=P，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。則Z＝P－R＝01403．含有積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的奈氏判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為可見，在原點(diǎn)有重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)，不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)（即通過(guò)虛軸的整個(gè)s右半平面），不滿足幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小做右半圓。141④半徑為無(wú)窮小的右半圓，下面討論對(duì)于這種奈奎斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；2、第Ⅱ部分：，。假設(shè)

的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；ⅠⅡⅢⅣ①正虛軸：②右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓：③負(fù)虛軸：奈氏路徑由以下四部分組成：142(b)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個(gè)圓（順時(shí)針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓（順時(shí)針）。3、第Ⅳ部分：（右半無(wú)窮小半圓）

(a)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：143實(shí)際上，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則若s沿小半圓弧繞行時(shí)，（其中）可見，當(dāng)s從沿?zé)o限小半圓弧到時(shí)，由

逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，其在GH平面上的映射就是一個(gè)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的半徑為無(wú)窮大的圓弧。144例5-7

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

1型系統(tǒng)，奈氏路徑應(yīng)是圖5-23b所示的閉合曲線Γ。系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性開環(huán)奈氏圖：起點(diǎn)終點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn),令，解得與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率，交點(diǎn)（-0.4,j0)。

增補(bǔ)奈氏路徑小半圓的映射：從的映射點(diǎn)開始順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)到映射點(diǎn)的無(wú)窮大圓弧。可見，奈氏曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍圈數(shù)R＝0，P=0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1455.4.3伯德圖上的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

1.正、負(fù)穿越的奈氏判據(jù)奈氏曲線對(duì)

(-1,

j0)點(diǎn)的包圍可以用正、負(fù)穿越的概念來(lái)表示：正穿越—從上向下穿過(guò)

(-1,

j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸,用N+表示；負(fù)穿越—從下向上穿過(guò)(-1,

j0)

點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸,用N-表示；起始于負(fù)實(shí)軸或終止于負(fù)實(shí)軸時(shí)，穿越次數(shù)定義為0.5次。設(shè)N為時(shí)開環(huán)奈氏曲線在(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)穿越負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，則有：正、負(fù)穿越概念的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)時(shí)，開環(huán)奈氏曲線在點(diǎn)（-1，j0）左側(cè)負(fù)實(shí)軸上正、負(fù)穿越的次數(shù)之差為P/2。w增加時(shí)，相角增大146如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個(gè)數(shù)為v

，則繪制開環(huán)奈氏曲線后，應(yīng)從與頻率0+

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開始，逆時(shí)針?lè)较蜓a(bǔ)畫v/4個(gè)半徑無(wú)窮大的圓。1471482.伯德圖的奈氏判據(jù)

開環(huán)奈氏曲線與伯德圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

1）極坐標(biāo)圖上單位圓與伯德圖上的0dB線相對(duì)應(yīng)，單位圓的外部對(duì)應(yīng)于dB，單位圓的內(nèi)部對(duì)應(yīng)于dB。

2）極坐標(biāo)圖上負(fù)實(shí)軸與伯德圖上的線相對(duì)應(yīng)。伯德圖上的正、負(fù)穿越

開環(huán)奈氏曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越，對(duì)應(yīng)于伯德圖上，在dB的頻段內(nèi)相頻特性曲線

對(duì)線的穿越。負(fù)穿越——相頻特性曲線從上而下對(duì)的穿越。正穿越——相頻特性曲線從下而上對(duì)的穿越；150伯德圖上的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：設(shè)P為開環(huán)傳遞函數(shù)正實(shí)部極點(diǎn)個(gè)數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)時(shí)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性上dB的頻段內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性穿越線的次數(shù)為P/2。151例5-9

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用伯德圖分別確定K=2和K=10時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率為。繪制K=2和K=10時(shí)的伯德圖如圖。系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，P=0。

由圖可見，K=2時(shí),,在的頻段內(nèi)無(wú)穿越，N=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

K=10時(shí),,在的頻段內(nèi)有一次負(fù)穿越，N-=1,N=N+-N-=-1

閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。152152臨界穩(wěn)定的概念最小相位系統(tǒng)G(jω)過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)(見圖)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。G(jω)曲線過(guò)(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，G(jω)=1同時(shí)成立！特點(diǎn)∠G(jω)=-180o0j1-1G(jω)5.5

控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

1535.5.1相位裕量

幅值穿越頻率

——

系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性為1時(shí)的角頻率，也稱為截止頻率或剪切頻率。即相位裕量——在系統(tǒng)的幅值穿越頻率處，使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相位（超前或滯后相位）量,稱為相位裕量，用表示。有單位圓相位裕量越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越好，一個(gè)良好的控制系統(tǒng)，一般要求。物理意義：閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性再滯后γ度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。1545.5.2幅值裕量相位穿越頻率——系統(tǒng)開環(huán)相頻特性等于-180°時(shí)所對(duì)應(yīng)的角頻率，稱為相位穿越頻率。即

幅值裕量——在系統(tǒng)的相位穿越頻率處開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)，稱為幅值裕量，用表示。有在伯德圖中，幅值裕量以分貝表示：■物理意義

：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性增大倍后系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。一個(gè)良好的控制系統(tǒng)，一般要求h＝6～10dB。155

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，相角裕度大于零、幅值裕度大于1(0db)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

和h越大，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越好；

小于零、h小于1(h的分貝值為負(fù))，系統(tǒng)則不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性增大到原來(lái)的h

倍，

則系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。如果系統(tǒng)對(duì)頻率c信號(hào)的相角滯后再增大度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。156例5-10

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的相位裕量和幅值裕量。解由開環(huán)伯德圖計(jì)算裕量。轉(zhuǎn)折頻率為