圖像處理第9章圖像變換編碼

第9章圖像變換編碼圖象編碼的目的是在保證一定視覺質(zhì)量的前提下減少數(shù)據(jù)量（從而也減少圖象傳輸所需的時(shí)間），這也可看作使用較少的數(shù)據(jù)量來獲得較好的視覺質(zhì)量。圖象編碼以信息論為基礎(chǔ)，以壓縮數(shù)據(jù)量為主要目的，所以圖象編碼也常被稱為圖象壓縮。章節(jié)內(nèi)容可分離圖像變換離散余弦變換正交變換小波變換9.1可分離和正交圖像變換可分離性在實(shí)際中常用于簡(jiǎn)化計(jì)算。2-D圖像變換正向變換核及反向變換核只依賴于x,y,u,v而與f(x,y)或T(u,v)的值無關(guān)9.1可分離和正交圖像變換可分離性討論（以正向變換核為例）設(shè)定下式成立：這時(shí)稱正向變換核是可分離的，若h1與h2形式一樣，則正向變換核具有對(duì)稱性，上式可寫成即具有可分離變換核的2-D變換可分成兩個(gè)步驟計(jì)算，每一步驟用一個(gè)1-D變換9.1可分離和正交圖像變換H(x,y,u,v)是可分離的和對(duì)稱的函數(shù)時(shí)，正向變換核可寫為矩陣形式：

優(yōu)點(diǎn)：

表達(dá)簡(jiǎn)潔減少冗余減少操作次數(shù)

若得到逆變換，將式（9.1.5）兩邊分別乘一個(gè)反變換矩陣B得

T=AFA變換結(jié)果圖像矩陣對(duì)稱變換矩陣BTB=BAFAB（9.1.5）若B=A-1，則F=BTB

圖像F可完全由其變換結(jié)果來恢復(fù)

9.1可分離和正交圖像變換酉矩陣：在B=A-1基礎(chǔ)上（*代表共軛），若有

A-1=A*T則稱A為酉矩陣，相應(yīng)的變換為酉變換。若A為實(shí)矩陣，且

A-1=AT則稱A為正交矩陣，相應(yīng)變換為正交變換9.2離散余弦變換離散余弦變換（DCT）是一種可分離和正交變換，并且是對(duì)稱的。1.變換定義1-D離散余弦變換和其反變換定義：a(u)為歸一化加權(quán)系數(shù)：9.2離散余弦變換2-D的DOC變換定義

u,v=0,1,...,N-1x,y=0,1…N-19.2離散余弦變換2.變換計(jì)算對(duì)離散余弦變換的計(jì)算可借助離散傅里葉變換的實(shí)部計(jì)算進(jìn)行

g(x)的前半部分是f(x)的偶數(shù)項(xiàng)，

g(x)的后半部分是f(x)的奇數(shù)項(xiàng)的逆排傅里葉變換(9.2.6)g(x)表示對(duì)f(x)的如下重排：9.2離散余弦變換式（9.2.6）將對(duì)N點(diǎn)離散余弦變換的計(jì)算轉(zhuǎn)化為對(duì)N點(diǎn)的離散傅里葉變換計(jì)算。利用N點(diǎn)的快速傅里葉變換就可快速的計(jì)算離散余弦變換所有N個(gè)系數(shù)。直接計(jì)算一個(gè)1-D的N點(diǎn)DCT需要N2次乘法和N(N-1)次加法，將1個(gè)N×N的圖像塊用1-D形式計(jì)算需要2N3次乘以2N2(N-1)次加法。余弦函數(shù)是偶函數(shù)，所以N點(diǎn)的離散余弦變換中隱含了2N點(diǎn)的周期性，與隱含N點(diǎn)周期性的傅里葉變換不同，余弦變換可減少在圖像分塊邊界處的間斷，這是他在圖像壓縮，尤其JPEG標(biāo)準(zhǔn)中得到應(yīng)用的重要原因之一。離散余弦變換的基本函數(shù)與傅里葉變換的基本函數(shù)類似，都定義在整個(gè)空間，在計(jì)算任意一個(gè)變換域或中點(diǎn)的變換時(shí)都需要用到所有原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的信息，所以也常被認(rèn)為具有全局的本質(zhì)特性或被稱為全局基本函數(shù)9.3正交變換編碼{利用正交變換將圖像映射成一組變換系數(shù)，然后將這些系數(shù)量化和編碼}9.3.1正交變換編碼系統(tǒng)減少變換的計(jì)算復(fù)雜度，解除每個(gè)子圖象內(nèi)部像素之間的相關(guān)性，或者說將盡可能多的信息集中到盡可能少的變換系數(shù)上。圖像分解：圖像變換：圖9.3.1典型的正交變換編解碼系統(tǒng)框圖9.3.2子圖像尺寸選擇利用正交圖像變換進(jìn)行變換編碼需要將圖像分解為子圖像集合，一般均分解為尺寸相同的一組子圖像。子圖像尺寸是影響變換編碼誤差和計(jì)算復(fù)雜度的一個(gè)重要因素（壓縮量和計(jì)算復(fù)雜度都隨子圖象尺寸的增加而增加）兩個(gè)選擇子圖像尺寸的基本條件：①相鄰子圖象之間的相關(guān)（冗余）減少到某個(gè)可接受的水平；②子圖象的長(zhǎng)和寬都是2的整數(shù)次冪,(簡(jiǎn)化對(duì)子圖像變換的計(jì)算）。{p03例9.3.1子圖像尺寸選擇}最常用的子圖象尺寸：8×8和16×169.3.3變換選擇1.重建均方誤差一副N×N圖像f(x,y)可表示成它的2-D變換T(u,v)的函數(shù)：

現(xiàn)將式(9.3.1)表示成如下形式：

n×n矩陣(9.3.1)(9.3.2)9.3.3變換選擇定義一個(gè)變換系數(shù)的模板函數(shù)0如果T(u,v)滿足特定的截?cái)鄿?zhǔn)則m(u,v)=1其他情況那么給出一個(gè)F的截?cái)嘟?。其中m(u,v)是根據(jù)把對(duì)式(9.3.2)的求和貢獻(xiàn)最少的基本函數(shù)消除的原則而設(shè)計(jì)的。（9.3.3）（9.3.4）9.3.3變換選擇子圖像F和其近似之間的均方誤差可表示為矩陣范數(shù)系數(shù)在變換位置(u,v)的方差（9.3.5）上式最后一步的簡(jiǎn)化基于變換基本函數(shù)的正交歸一化性質(zhì)，以及F中的像素是由零均值和已知方差的隨機(jī)過程所產(chǎn)生的假設(shè)。另外，根據(jù)上式的假設(shè)可知，一幅N×N的圖像中的所有(N/n)2個(gè)子圖像的均方誤差是相同的，所以等于其中單幅子圖像的均方誤差9.3.3變換選擇圖像和其近似之間的總均方誤差是所有被截除變換系數(shù)的方差之和。變換具有將圖像能量或信息集中于某些系數(shù)的能力，如果變換后在較少幾個(gè)系數(shù)上的方差越高，在變換域進(jìn)行壓縮的可能性就越大。一個(gè)能把最多的信息集中到最少的系數(shù)上的變換所產(chǎn)生的重建均方誤差會(huì)最小。9.3.3變換選擇2.兩種變換的比較(1)重建均方誤差方面：DFT和DCT均屬于正弦變換，有較高的信息集中能力，能取得較小均方誤差；(2)計(jì)算方面：均有與輸入數(shù)據(jù)無關(guān)的固定的基本核函數(shù)，均有快速算法，且已被設(shè)計(jì)在單個(gè)集成塊上；(3)相對(duì)DFT，DCT能給出最小的使子圖像邊緣可見的塊效應(yīng)（歸因于它的偶函數(shù)性質(zhì)）。9.3.4比特分配比特分配：

整個(gè)對(duì)變換子圖象的系數(shù)截?cái)唷⒘炕途幋a的全過程上面的截?cái)嗾`差與2個(gè)因素有關(guān)①截除的變換系數(shù)的數(shù)量和相對(duì)重要性②用來表示所保留系數(shù)的精度（量化）保留系數(shù)的2個(gè)準(zhǔn)則①最大方差準(zhǔn)則，稱為分區(qū)編碼②最大幅度準(zhǔn)則，稱為閾值編碼9.3.4比特分配1.分區(qū)編碼具有最大方差的變換系數(shù)帶有最多的圖象信息，他們應(yīng)當(dāng)保留在編碼過程中。方差既可從(N/n)2個(gè)變換后的子圖像中算的，也可基于某些圖像模型算得。這兩種情況下，根據(jù)式(9.3.5)都可將分區(qū)采樣過程看做用T(u,v)與一個(gè)分區(qū)模板中對(duì)應(yīng)元素相乘。事先確定模板并保留一定的系數(shù)，即分區(qū)，分區(qū)中對(duì)應(yīng)最大方差位置的一些系數(shù)為1，其他位置系數(shù)為0.一般具有最大方差的系數(shù)集中于接近圖像變換的原點(diǎn)處（圖9.3.4a）9.3.4比特分配分區(qū)采樣過程保留的系數(shù)需要量化和編碼，故分區(qū)模塊中每個(gè)元素可用對(duì)每個(gè)系數(shù)編碼所需的比特?cái)?shù)表示（圖9.3.4b）9.3.4比特分配兩種分配策略①給個(gè)系數(shù)分配相同數(shù)量的比特

（將系數(shù)用它們的均方差歸一化，然后均勻量化）②給不同系數(shù)分配總數(shù)固定的比特?cái)?shù)

（對(duì)每個(gè)系數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)量化器，將零階或直流分量系數(shù)模型化為一個(gè)瑞利密度函數(shù)，其他系數(shù)模型化為拉普拉斯或高斯密度函數(shù)）由于每個(gè)系數(shù)都是子圖像中像素的線性組合，所以根據(jù)中心極限定理，隨著子圖像尺寸的增加，系數(shù)趨向于高斯分布，由于一個(gè)高斯隨機(jī)變量所包含的信息內(nèi)容正比于其方差，故對(duì)式(9.3.5)中基于最大方差而保留的系數(shù)，必須分配正比于這些系數(shù)的方差的比特?cái)?shù)。9.3.4比特分配2.閾值編碼閾值編碼在本質(zhì)上是自適應(yīng)的，為各個(gè)子圖像保留的變換系數(shù)的位置隨子圖像的不同而不同，計(jì)算簡(jiǎn)單，是實(shí)際中最常用的自適應(yīng)變換編碼方法根據(jù)子圖象特性自適應(yīng)選擇保留系數(shù)將系數(shù)排隊(duì)，與閾值比較確定去舍（游程/變長(zhǎng)碼）9.3.4比特分配隨子圖象不同而保留不同位置的變換系數(shù)常用三種對(duì)變換子圖象取閾值（即產(chǎn)生式(9.3.3)所示模板函數(shù)）的方法：(1)對(duì)所有子圖象用一個(gè)全局閾值

（壓縮的程度隨（不同）子圖象而異）(2)對(duì)各個(gè)子圖象分別用不同的閾值

（舍去同數(shù)量系數(shù)，碼率是個(gè)常數(shù)）

（3）根據(jù)子圖像中各系數(shù)的位置選取閾值

（碼率是變化的，可將取閾值和量化結(jié)合起來）方法(3)中，將式(9.3.4)中的T(u,v)m(u,v)用TN(u,v)代替：式中，TN(u,v)是T(u,v)的取閾值和量化后的近似，N(u,v)是變換歸一化矩陣N的元素：在歸一化的變換子圖像TN(u,v)被反變換以得到F(u,v)的近似前，要先將TN(u,v)與N(u,v)相乘，得到解除了歸一化的數(shù)組記為TA(u,v):

TA(u,v)=TN(u,v)N(u,v)對(duì)TA(u,v)求反變換得到解壓縮的近似子圖像。9.4小波變換9.4.1小波變換基礎(chǔ)3個(gè)概念：序列展開、縮放函數(shù)（尺度函數(shù)）、小波函數(shù)1.序列展開1-D函數(shù)f(x,y),可用一組序列展開函數(shù)的線性組合來表示：ak是實(shí)數(shù)，稱為展開系數(shù)，uk(x)是實(shí)數(shù)，稱為展開函數(shù)。對(duì)u(k)為偶函數(shù)。*表示復(fù)共軛?？紤]兩種特殊情況(1)展開函數(shù)構(gòu)成空間U的正交歸一化基：此時(shí)基函數(shù)與其對(duì)偶函數(shù)相等，即uk(x)=u'k(x)：(2)展開函數(shù)僅構(gòu)成U的正交基，沒有歸一化：考慮基函數(shù)與其對(duì)偶函數(shù)的雙正交9.4.1小波變換基礎(chǔ)雙正交基：（幾何矢量解釋，例9.4.1）例：雙正交基u1=[20]T，

u2=[?11]T對(duì)偶基為u'1=[1/21/2]T，u'2=[01]T9.4.1小波變換基礎(chǔ)2.縮放函數(shù)用展開函數(shù)作為縮放函數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行平移和2進(jìn)制縮放k確定了uj,k(x)沿X-軸的位置，j確定了uj,k(x)沿X-軸的寬度（所以u(píng)(x)也稱為尺度函數(shù)），系數(shù)2

j/2控制uj,k(x)的幅度。給定一個(gè)初始j（下面常取為0），就可確定一個(gè)縮放函數(shù)空間Uj，Uj的尺寸隨j的增減而增減。（9.4.7）9.4.1小波變換基礎(chǔ)各個(gè)縮放函數(shù)空間Uj，j=–∞,…,0,1,…,∞是嵌套的，Uj中的展開函數(shù)可以表示成Uj+1中展開函數(shù)的加權(quán)和用hu(k)表示縮放函數(shù)系數(shù)，因?yàn)閡(x)=u0,0(x)，有多分辨率細(xì)化方程任何一個(gè)子空間的展開函數(shù)都可用其下一個(gè)分辨率（1/2分辨率）的子空間的展開函數(shù)來構(gòu)建9.4.1小波變換基礎(chǔ)3.小波函數(shù)用v(x)表示小波函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行平移和二進(jìn)制縮放，的到集合：與vj,k(x)對(duì)應(yīng)的空間為Vj，將f(x)表達(dá)為空間Uj，Uj+1和Vj有如下關(guān)系（⊕表示空間的并）圖9.4.2與縮放函數(shù)和小波函數(shù)相關(guān)的函數(shù)空間之間的關(guān)系在Uj+1中，Uj的補(bǔ)是Vj每一個(gè)Vj空間是與其同一級(jí)的Uj空間和上一級(jí)的Uj+1空間的差.9.4.1小波變換基礎(chǔ)Uj中所有uj,k(x)與Vj中所有vj,k(x)是正交的：如果考慮把j取到趨近–∞，則有可能僅用小波函數(shù)，而完全不用縮放函數(shù)來表達(dá)所有的f(x)如果用hv(k)表示小波函數(shù)系數(shù)，則可把小波函數(shù)表示成其下一個(gè)分辨率個(gè)位置縮放函數(shù)的加權(quán)和：9.4.1小波變換基礎(chǔ)4.縮放函數(shù)和小波函數(shù)示例先考慮單位高度和單位寬度的縮放函數(shù)

這樣的函數(shù)構(gòu)成空間U的正交歸一化基，因?yàn)椋海?.4.15）（9.4.15）下圖(a)-(d)分別給出將上述縮放函數(shù)帶入式(9.4.7)所得到的uj,k(x).從圖中可以看出，隨著j的增加，縮放函數(shù)變窄變高,能表達(dá)出更多的細(xì)節(jié)。9.4.1小波變換基礎(chǔ)例9,4,2用縮放函數(shù)表示1-D函數(shù)f(x)對(duì)圖9.4.4中的f(x)，僅用j=0的縮放函數(shù)不夠，還需要j=1的縮放函數(shù)f(x)是屬于U1的，而不是屬于U0的注意：u1,2(x)+u1,3(x)的組合可用u0,1(x)表示，但u1,5(x)+u1,6(x)的組合不能用U0中的縮放函數(shù)表示。9.4.1小波變換基礎(chǔ)與式(9.4.15)

對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)為(9.4.17)由圖9.4.5可以看出，隨著j的增加，小波函數(shù)也變窄變高，同時(shí)能表達(dá)更多的細(xì)節(jié)9.4.21-D小波變換1.小波序列展開對(duì)給定的函數(shù)f(x)，可以用u(x)和v(x)對(duì)它進(jìn)行展開a0(k)：縮放系數(shù)dj(k)：小波系數(shù)如果展開函數(shù)僅構(gòu)成U和V的雙正交基，則u(x)和v(x)要用他們的對(duì)函數(shù)u'(x)和v'(x)來替換（9.4.19）（9.4.20）（9.4.21）9.4.21-D小波變換2.離散小波變換如果f(x)是一個(gè)離散序列，展開得到的系數(shù)稱為f(x)的離散小波變換（DWT）同樣，如果展開函數(shù)僅構(gòu)成U和V的雙正交基，則u(x)和v(x)要用他們的對(duì)函數(shù)u'(x)和v'(x)來替換（9.4.22）(9.4.23)（9.4.24）9.4.3快速小波變換小波變換在實(shí)現(xiàn)上的快速算法即稱為快速小波算法考慮多分辨率細(xì)化方程，用m表示求和變量：（9.4.25）對(duì)x用2j進(jìn)行縮放，用k進(jìn)行平移，令n=2k+m,可得到：(9.4.26)對(duì)式（9.4.13），對(duì)x用2j縮放，用k進(jìn)行平移，并令n=2k+m,類似得到(9.4.27)離散小波變換在尺度j的近似系數(shù)也是離散小波變換在尺度j+1的近似系數(shù)的函數(shù)，即：在尺度j上的系數(shù)Wu(j,k)和Wv(j,k)都可用在尺度j+1的近似系數(shù)Wu(j+1,k)分別與縮放矢量hu和小波矢量hv卷積再進(jìn)行亞抽樣得到?？捎孟聢D所示分析方框圖表示，表示亞抽樣。9.4.42-D小波變換1.2-D變換函數(shù)需要1個(gè)2-D縮放函數(shù)u(x,y)和3個(gè)2-D小波函數(shù)vH(x,y)，vV(x,y)，vD(x,y)，每一個(gè)都是1-D縮放函數(shù)和對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)的乘積

可分離的縮放函數(shù)

水平邊緣垂直邊緣沿對(duì)角線的變化9.4.42-D小波變換縮放和平移的基函數(shù)得到M×N的2-D圖像f(x,y)的離散小波變換:(9.4.37)(9.4.38)(9.4.39)(9.4.40)一般選擇N=M=2J,j=0,1,2...,J-1，m,n=0,1,2....,2j-1。通過離散小波反變換得到f(x,y):9.5小波變換編碼{在JPEG-2000及MPEG-4和H.264中都得到了應(yīng)用}9.5.1小波變換編解碼系統(tǒng)基本思路：通過變換減小像素間的相關(guān)性，以獲得壓縮數(shù)據(jù)的效果。（書218說明）

與采用正交變換（如DCT）的編解碼系統(tǒng)不同，小波變換編解碼系統(tǒng)中沒有圖象分塊的模塊?小波變換的計(jì)算效率很高，且本質(zhì)上具有局部性?小波變換編碼不會(huì)產(chǎn)生使用DCT變換在高壓縮比時(shí)出現(xiàn)的塊效應(yīng)9.5.1小波變換編解碼系統(tǒng)小波變換編碼需考慮的幾個(gè)因素1.小波選擇（218頁(yè)）如：哈爾小波、雙正交小波2.分解層數(shù)選擇影響小波編碼計(jì)算的復(fù)雜度和重建誤差3.量化設(shè)計(jì)對(duì)小波編碼壓縮和重建誤差影響最大需在不同尺度間調(diào)整量化間隔{例：P.219}9.5.