第5章統(tǒng)計量及其分布011728

第5章統(tǒng)計量及其分布【考試要求】5.1總體與樣本

總體樣本

5.2樣本的分布與數值特征

樣本數據的整理與顯示樣本的數值特征

5.3統(tǒng)計量與抽樣分布

統(tǒng)計量的概念抽樣分布與正態(tài)總體有關的抽樣分布

【要點詳解】

§5.1總體與樣本1．總體

總體：在數理統(tǒng)計中研究對象的全體。

個體：構成總體的每一個成員。

注：由于每一項統(tǒng)計研究通常關心的是總體和個體的某個(或多個)特定的數量指標，所以，在具體的研究案例中通常用對應的數量指標表示總體和個體。數理統(tǒng)計的研究目的就是想了解總體X的分布特征和統(tǒng)計規(guī)律。

【例題5.1】要了解某市工業(yè)企業(yè)生產設備情況，則總體是（）。A．該市全部工業(yè)企業(yè)B．該市重點工業(yè)企業(yè)C．該市重點工業(yè)企業(yè)的每一臺設備D．該市工業(yè)企業(yè)的全部生產設備E．該市工業(yè)企業(yè)的每一臺設備的運轉情況

【答案】D

【解析】在數理統(tǒng)計中將研究對象的全體稱為總體，構成總體的每一個成員稱為個體。要了解某市工業(yè)企業(yè)生產設備情況，則統(tǒng)計總體應該為該市工業(yè)企業(yè)的全部生產設備。

2．樣本

樣本：從總體中抽取部分個體組成的集合。

樣品：樣本中所含的個體。

樣本容量：樣本中樣品的個數。獲取樣本的方法可以分為兩大類：概率抽樣和非概率抽樣。

概率抽樣（簡單隨機抽樣）的特征

①獨立性

樣本中每一個樣品的取值不受其他樣品取值的影響，即X1，X2，…，Xn相互獨立。②同分布

每一個個體入選樣本的機會等于它在總體中出現的概率，即每一個樣本Xi與總體X具有相同的分布。根據這兩個特征，概率抽樣所獲得的樣本也稱為獨立同分布樣本。簡記為：其中：F(x)為總體分布，X1，X2，…，Xn為樣本容量為n的隨機樣本，i.i.d.表示獨立同分布。在一次抽樣中具體抽到的觀察值，通常記作：

x1，x2，…，xnx1，x2，…，xn稱為X1，X2，…，Xn的觀察值，或簡稱為樣本觀察值。

【例題5.2】對某家公司進行審計，該公司年度內的所有發(fā)票是55400張，審計人員從中隨機抽查了100張發(fā)票進行審查，發(fā)現有2張發(fā)票有差錯，則樣本容量是（）。A．2B．98C．100D．55400E．55300

【答案】C

【解析】該題中總體是55400張發(fā)票，樣本是100張發(fā)票。樣本容量是100。

§5.2樣本的分布與數值特征1．樣本數據的整理與顯示

（1）頻數統(tǒng)計與頻率分布①離散隨機變量頻數：如果總體X是離散隨機變量，其可能的取值為a1，a2，…，ak，統(tǒng)計樣本觀察值x1，x2，…，xn中取到ai的個數，記作ni，i=1，2，…，k。

頻率：ai的頻數ni除以樣本容量n，記作fi根據頻數統(tǒng)計表或頻率分布表做條形圖。條形圖的橫軸為樣本數據的取值，縱軸為該取值的頻數或頻率。

②連續(xù)隨機變量

如果總體X是連續(xù)隨機變量，其可能的取值不可能一一列舉，這時數據整理的一般方法是進行分組統(tǒng)計，將其可能取值分成k個小區(qū)間：[a0，a1)，[a1，a2)，…，[ak-1，ak)，統(tǒng)計樣本觀察值x1，x2，…，xn落在每一個小區(qū)間的頻數ni，并計算相應頻率fi，i=1，2，…，k

根據頻率分布表可以做直方圖。直方圖的橫軸為樣本數據的取值，縱軸為該取值的頻數或頻率。和條形圖不同的是，直方圖條塊之間沒有空隙，它是以直方的面積表示取值概率，而條形圖只是以直方的高度表示取值概率。樣本直方圖近似反映了總體的概率分布情況。（2）樣本經驗分布函數經驗分布函數：設總體X的分布函數為F(x)，從中獲得的樣本觀察值為x1，x2，…，xn，將樣本觀察值從小到大排列，構成次序觀察值x(1)，x(2)，…，x(n)，令則稱Fn(x)為該樣本的經驗分布函數。

2．樣本的數值特征

常用的樣本數值特征可以分為三大類：①分布的集中趨勢測量值，反映各數據向中心值靠攏或聚集的程度；②分布的離散程度測量值，反映各數據遠離其中心值的趨勢；③分布的形狀測量值，反映數據分布的偏斜和聳立程度。（1）反映中心趨勢的樣本特征值

集中趨勢：一組數據向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數據中心點的位置所在。常用的中心趨勢特征值有三個：樣本均值、樣本中位數和樣本眾數。①樣本均值

樣本均值：一組數據加權平均的結果，通常記作。

?簡單平均數

如果樣本數據為點數據x1，x2，…，xn，則均值為簡單平均數

?加權平均值

如果樣本數據為區(qū)間數據，假設各區(qū)間的組中值為xi，各組頻數為ni，i=1，2，…，k，則均值為加權平均值均值是實際中應用最廣泛的一種度量數據中心趨勢的特征值。它的缺點是易受極端值的影響。②樣本中位數

樣本中位數：一組數據排序后處于中間位置上的特征值，通常記作Me。設樣本數據從小到大排序后為x(1)，x(2)，…，x(n)，則樣本中位數為：

?優(yōu)缺點

樣本中位數是一組數據中間位置上的代表值，它不易受極端值的影響，對中心位置的度量相對穩(wěn)定，但缺點是它只用到樣本數據的排序信息，相對均值而言，有信息的浪費。③樣本眾數

樣本眾數：一組數據中出現次數最多的特征值，通記作M0。

?優(yōu)缺點樣本眾數不易受極端值的影響，但是有些數據可能會不存在眾數，而有些數據可能會存在多個樣本眾數。

【例題5.3】某班共有60名學生，在期末的統(tǒng)計學考試中，男生的平均考試成績?yōu)?5分，標準差為6分；女生的平均考試成績?yōu)?0分，標準差為6分。如果該班的男女學生各占一半，則全班的平均考試成績?yōu)椋ǎ．75B．76C．77.5D．78E．80

【答案】C

【解析】設男生成績?yōu)閤，女生成績?yōu)閥，男女各30人，故全班的平均考試成績?yōu)椋?/p>

【例題5.4】下列關于樣本眾數的敘述，不正確的是（）。A．一組數據可能存在多個眾數B．眾數是一組數據中出現次數最多的值C．一組數據的眾數是惟一的D．眾數不受極端值的影響E．眾數是一個位置代表值

【答案】C

【解析】樣本眾數是一組數據中出現次數最多的特征值，通常記作M0。一組數據的頂峰所對應的數值即為樣本眾數。樣本眾數不易受極端值的影響，但是有些數據可能會不存在眾數，而有些數據可能會存在多個眾數。（2）反映離散程度的樣本特征值

數據的離散程度：反映的數據偏離中心值的程度。數據的離散程度越大，中心特征值對數據的代表性就越差，反之就越好。反映數據離散程度的特征值主要有樣本方差(或樣本標準差)，極差，四分位差。①樣本方差和標準差

樣本方差：各變量值與其平均數離差平方的平均數，通常記作s2。樣本方差開方后即得樣本標準差，樣本標準差通常記作s。

?計算公式

如果樣本數據為點數據x1，x2，…，xn，則樣本方差和樣本標準差分別為：如果樣本數據為區(qū)間數據，假設各區(qū)間的組中值為xi，各組頻數為ni，i=1，2，…，k，則樣本方差和樣本標準差分別為：②樣本極差

樣本極差：一組數據的最大值與最小值之差，通常記作R。

?優(yōu)缺點

樣本極差直觀地反映了數據最大的離散程度，但缺點是只利用了一組數據兩端的信息，極易受特征值的影響，而且也不能反映中間數據的離散程度。③樣本四分位差

四分位差：將樣本數據排序，位于25%分位點的樣本值稱為四分位點，記作Q1，位于75%分位點的樣本值稱為四分之三分位點，記作Q3。Q3與Q1之差記作Qd。

Qd=Q3—Q1

?含義：樣本四分位差反映了中心位置附近，聚集程度最高的數據的離散程度。四分位差越小，說明中間數據越集中，反之數據的離散程度越大。

【例題5.5】假定一個樣本由5個數據組成：3，7，8，9，13。該樣本的方差為（）。A．8B．9.7C．10.4D．13E．15

【答案】D

【解析】5個數據的均值為：根據未分組數據的樣本方差公式可得：

【例題5.6】計算樣本方差時，如果從每個數據中減去常數a，則計算結果與原方差相比（）。A．變大B．不變C．變小D．減少了aE．無法確定

【答案】B【解析】設原始數據為x1，x2，…，xn，均值為，則該組數據的方差為。若令=x1－a，=x2－a，…，=xn－a，則新數據組的均值，所以新數據組的方差為：（3）反映形狀特點的樣本特征值

數據的形狀特征主要是考察數據的分布是否對稱，峰形是高聳還是扁平。這涉及兩個特征值：偏態(tài)和峰態(tài)。①偏態(tài)

偏態(tài)：對數據分布對稱性的度量，偏態(tài)系數通常簡記為SK。如果樣本數據為點數據x1，x2，…，xn，則樣本偏態(tài)系數為：如果樣本數據為區(qū)間數據，假設各區(qū)間的組中值為xi，各組頻數為ni，i=1，2，…，k，則樣本偏態(tài)系數為：其中：s為樣本標準差。

?結果解釋

如果數據呈現對稱分布特征，則SK趨向于0。在對稱分布場合，有均值=中位數=眾數的優(yōu)良屬性，統(tǒng)計上稱為“三線合一”。如果SK>0，稱為正偏分布，正偏分布意味著取值小的數據發(fā)生概率大。在正偏分布場合，通常是眾數<中位數<均值。如果SK<0，稱為負偏分布，負偏分布意味著取值大的數據發(fā)生概率大。在負偏分布場合，通常是均值<中位數<眾數(圖5-1)。圖5-1不同偏態(tài)分布的特征

②峰態(tài)

峰態(tài)：對數據分布高聳或扁平程度的度量，峰態(tài)系數通常簡記為K。如果樣本數據為點數據x1，x2，…，xn，則樣本峰態(tài)系數為：如果樣本數據為區(qū)間數據，假設各區(qū)間的組中值為xi，各組頻數為ni，i=1，2，…，k，則樣本峰態(tài)系數為：其中：s為樣本標準差。

?結果解釋

峰態(tài)系數實際上是以標準正態(tài)分布的峰形作為參考，標準正態(tài)分布的K=0。比標準正態(tài)分布的峰形高聳，稱為尖峰分布，尖峰分布的K>0。比標準正態(tài)分布的峰形扁平，稱為平峰分布，平峰分布的K<0。在其他統(tǒng)計屬性近似時，平峰分布的數據比尖峰分布的數據更加分散。

【例題5.7】如果峰態(tài)系數K>0，表明該組數據是（）。A．尖峰分布B．平峰分布C．左偏分布D．右偏分布E．對稱分布

【答案】A

【解析】峰態(tài)是數據分布高聳或扁平程度的度量，峰態(tài)系數用K表示。峰態(tài)通常是與標準正態(tài)分布相比較而言的。如果一組數據服從標準正態(tài)分布，則峰態(tài)系數的值等于0；若峰態(tài)系數的值明顯不等于0，則表明分布比正態(tài)分布更平或更尖，通常稱為平峰分布或尖峰分布。平峰分布的K<0，尖峰分布的K>0。

【例題5.8】隨機抽取25個網絡用戶，得到他們的年齡數據，如表5-1所示。表5-1則偏態(tài)系數和峰態(tài)系數分別為（）。A．1.08，0.77B．1.05，0.72C．1.00，0.77D．0.77，1.08E．0.29，1.02

【答案】A【解析】均值由均值可得：偏態(tài)系數：峰態(tài)系數：

§5.3統(tǒng)計量與抽樣分布1．統(tǒng)計量的概念

定義：設總體X的分布函數為F(x，θ)，其中θ為未知參數，從總體中隨機抽取樣本容量為n的一個樣本X1，X2，…，Xn，稱不含未知參數θ的樣本實值函數T為統(tǒng)計量，記T為T=T(X1，X2，…，Xn)。統(tǒng)計量的兩個特別重要特征：①統(tǒng)計量中不能含有未知參數；②統(tǒng)計量是樣本的函數。

【例題5.9】設是來自兩點分布的一個樣本，其中0<p<1，p未知，下列樣本的函數不是統(tǒng)計量的是（）。A．B．C．D．E．【答案】D【解析】統(tǒng)計量是用來描述樣本特征的概括性數字度量，不含有未知參數。D項中含有未知參數EX1=p。

2．抽樣分布

抽樣分布：統(tǒng)計量是隨機變量的函數，統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。

?尋找抽樣分布的方法①精確方法當總體分布己知，通過總體分布的屬性推導出統(tǒng)計量分布的顯式表達。②大樣本方法漸近分布：隨著樣本容量n的無限遞增，統(tǒng)計量通常逼近于一個穩(wěn)定的極限的分布。

大樣本方法：將上面的漸近分布作為抽樣分布在大樣本場合的一種近似分布。

3．與正態(tài)總體有關的抽樣分布

（1）三大檢驗分布①分布

?定義

設隨機變量X1，X2，…，Xn獨立同分布于標準正態(tài)分布則它們的平方和服從自由度為n的分布，記作Y~。

?密度函數

(n)分布的密度函數為：

?均值和方差

(n)均值和方差分別為：E(X)=n，Var(X)=2n。

?可加性

相互獨立的分布之和仍然服從分布。

②t分布

?定義

設X~N(0，1)，Y~(n)，且X與Y相互獨立，則服從自由度為n的t分布，記作T~t(n)。

?密度函數

t(n)分布的密度函數為：

?均值和方差

其均值和方差分別為：

?收斂性

當n→+∞時，t(n)分布收斂到N(0，1)分布。③F分布

?定義

設X~(n)，Y~(m)，且X與Y相互獨立，則服從自由度為n和m的F分布，記作F~F(n，m)。

?密度函數

F(n，m)分布的密度函數為：其中n，m為正整數。

?均值和方差

其均值和方差分別為：

【例題5.10】設總體X服從正態(tài)分布，總體Y服從正態(tài)分布，且X與Y相互獨立。是來自總體X的簡單隨機樣本，是來自總體Y的簡單隨機樣本，令其中a+b=1，若要使Z的方差最小，則a的取值為（）。[2008年春季真題]

A．1/2B．C．D．E．

【答案】E

【解析】因，則，故，同理，，故