數字信號處理第7章 無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器的設計方法

第7章無限長單位沖激響應（IIR）數字濾波器的設計方法7.1引言

7.2數字濾波器的實現步驟7.3數字濾波器的技術指標

7.4IIR數字濾波器的設計方法分類7.5模擬濾波器的設計7.6間接法的IIR數字濾波器的設計方案7.7沖激響應不變法7.8階躍響應不變法7.9雙線性變換法7.1引言濾波器的設計：找到一個滿足技術指標要求的可實現的因果穩(wěn)定的數字濾波器去逼近這些理想的濾波器幅度特性。圖6.1各種數字濾波器的理想幅度頻率響應7.2數字濾波器的實現步驟

①按任務要求，確定濾波器的性能指標。②用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數去逼近這一性能要求。所謂實現是指從給定濾波器技術要求，設計一個線性時不變系統(tǒng)，利用有限精度算法的實際技術實現等的全部過程?？煞譃橐韵滤膫€步驟：例1：理想的數字低通濾波器的幅頻為1，相頻為0，求其單位沖激響應。無限長的非因果的不可實現的③利用有限精度算法來實現這個系統(tǒng)函數。這里包括選擇運算結構（如第5章中的各種基本結構），選擇合適的字長（包括系數量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數字的處理方法（舍入、截尾）等。實際的技術實現

通用計算機軟件、專用數字濾波器硬件、或者二者結合。7.3數字濾波器的技術指標濾波器的性能要求往往以頻率響應的幅度特性的允許誤差來表征。1容限的定義2衰減的定義3頻響的三個參量1容限的定義α1：通帶的容限α2：阻帶的容限

圖7.1低通濾波器幅度響應的容限圖在通帶內，幅度響應以誤差α1逼近于1，即

在阻帶內，幅度響應以誤差小于

而逼近于零，即2衰減的定義（7.3.3）（7.3.4）如|H(ejω)|在ωc處滿足|H(ejωc)|=0.707，則δ1=3dB；在ωst處滿足|H(ejωst)|=0.001，則δ2=60dB阻帶應達到的最小衰減δ2假定|H(ej0)|=1通帶允許的最大衰減（波紋）

的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的單位圓內的極點----單位圓外的極點-------若是H(z)的極點，則是的極點，由于為實序列，其零極點必然以共軛對形式出現。故必有兩極點。3頻響的三個參量a幅度平方響應H(z)b相位響應

c群延時它是濾波器平均延遲的一個度量當要求濾波器為線性相位響應特性時，則通帶內的群延遲必須為常數。7.4IIR數字濾波器的設計方法IIR濾波器的系統(tǒng)函數用極、零點表示如下：一般滿足M≤N，這類系統(tǒng)稱為N階系統(tǒng)，當M>N時，H(z)可看成是一個N階IIR子系統(tǒng)與一個(M-N)階的FIR子系統(tǒng)。以下討論都假定M≤N。1）利用模擬濾波器的理論來設計數字濾波器首先，設計一個合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預定指標的數字濾波器。這種方法很方便，因為模擬濾波器已經具有很多簡單而又現成的設計公式，并且設計參數已經表格化了，設計起來既方便又準確。2）計算機輔助設計法（最優(yōu)化設計法）第一步要選擇一種最優(yōu)準則。例如，選擇最小均方誤差準則或最大誤差最小準則等。第二步，求在此最佳準則下濾波器系統(tǒng)函數的系數ak,bk。一般是通過不斷改變?yōu)V波器系數ak、bk，分別計算ε;最后，找到使ε為最小時的一組系數ak,bk，從而完成設計。這種設計需要進行大量的迭代運算，故離不開計算機。所以最優(yōu)化方法又稱為計算機輔助設計法。本章著重討論第一種方法。間接法的設計步驟及要求：利用模擬濾波器來設計數字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數Ha(s)設計數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)。因此，它歸根結底是一個由S平面映射到Z平面的變換，這個變換通常是復變函數的映射變換，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求：（1）H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應，也即S平面虛軸jΩ必須映射到Z平面的單位圓ejω上。（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應能映射成因果穩(wěn)定的H(z)，也即S平面的左半平面Re［s］<0必須映射到Z平面單位圓的內部|z|<1。7.5模擬濾波器的設計常用的模擬原型濾波器有巴特沃思（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Chebyshev）濾波器、橢圓（Ellipse）濾波器、貝塞爾（Bessel）濾波器等。特點：巴特沃思濾波器具有單調下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的,但在通帶和阻帶內均為等波紋幅頻特性。6.8.1概述給定模擬低通濾波器的技術指標通帶允許的最大衰減阻帶允許的最小衰減阻帶截止頻率通帶截止頻率6.8.1由幅度平方函數來確定系統(tǒng)函數模擬濾波器幅度響應常用幅度平方函數|Ha(jΩ)|2來表示，即由于濾波器沖激響應ha(t)是實函數，因而Ha(jΩ)滿足所以（6-7）式中，Ha(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)函數，它是s的有理函數;Ha(jΩ)是濾波器的頻率響應特性；|Ha(jΩ)|是濾波器的幅度特性?，F在的問題是要由已知的|Ha(jΩ)|2求得Ha(s)?；氐绞剑?-7），設Ha(s)有一個極點（或零點）位于s=s0處，由于沖激響應ha(t)為實函數，則極點（或零點）必以共軛對形式出現，因而s=s0*處也一定有一極點（或零點），所以與之對應Ha(-s)在s=-s0和-s0*處必有極點（或零點），Ha(s)Ha(-s)在虛軸上的零點（或極點）（對臨界穩(wěn)定情況，才會出現虛軸的極點）一定是二階的，這是因為沖激響應ha(t)是實的，因而Ha(s)的極點（或零點）必成共軛對出現。Ha(s)Ha(-s)的極點、零點分布是成象限對稱的，如圖6-16所示。6-16Ha(s)Ha(-s)的極點、零點分布是成象限對稱我們知道，任何實際可實現的濾波器都是穩(wěn)定的，因此,其系統(tǒng)函數Ha(s)的極點一定落在s的左半平面，所以左半平面的極點一定屬于Ha(s)，則右半平面的極點必屬于Ha(-s)。零點的分布則無此限制，只和濾波器的相位特征有關。如果要求最小的相位延時特性，則Ha(s)應取左半平面零點。如果有特殊要求，則按這種要求來考慮零點的分配；如無特殊要求，則可將對稱零點的任一半（應為共軛對）取為Ha(s)的零點。最后,按照Ha(jΩ)與Ｈa(s)的低頻特性或高頻特性的對比確定出增益常數。由求出的Ha(s)的零點、極點及增益常數，則可完全確定系統(tǒng)函數Ha(s)。7.5.2模擬巴特沃思低通濾波器巴特沃思逼近又稱最平幅度逼近。巴特沃思低通濾波器幅度平方函數定義為式中，N為正整數，代表濾波器的階數。當Ω=0時，|Ha(j0)|=1；當Ω=Ωc時，|Ha(jΩc)|=1/=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jΩc)|=3dB，Ωc為3dB截止頻率。當Ω=Ωc時，不管N為多少，所有的特性曲線都通過－3dB點，或者說衰減為3dB。巴特沃思低通濾波器在通帶內有最大平坦的幅度特性，即N階巴特沃思低通濾波器在Ω＝0處幅度平方函數|Ha(jΩ)|2的前(2N-1)階導數為零，因而巴特沃思濾波器又稱為最平幅度特性濾波器。隨著Ω由0增大，|Ha(jΩ)|2單調減小，N越大，通帶內特性越平坦，過渡帶越窄。當Ω＝Ωst，即頻率為阻帶截止頻率時，衰減為δ2=-20lg|Ha(jΩs)|,δ2為阻帶最小衰減。對確定的δ2,N越大，Ωs距Ωc越近，即過渡帶越窄。巴特沃思低通濾波器的幅度特性如圖7.4所示。7.4巴特沃思低通濾波器的幅度特性在幅度平方函數式中，代入Ω=s/j,可得所以，巴特沃思濾波器的零點全部在s=∞處，在有限S平面內只有極點，因而屬于所謂“全極點型”濾波器。Ha(s)Ha(-s)的極點為k=1,2,…,2N

由此看出，Ha(s)Ha(-s)的2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓（稱巴特沃思圓）上，極點間的角度間隔為π/Nrad。例如，N＝3及N＝4時，Ha(s)Ha(-s)的極點分布分別如圖7.5（a）和(b)所示。圖7.5N＝3和N＝4時極點分布可見，N為奇數時，實軸上有極點；N為偶數時，實軸上沒有極點。但極點決不會落在虛軸上，這樣濾波器才有可能是穩(wěn)定的。為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的2N個極點中只取S左半平面的N個極點為Ha(s)的極點，而右半平面的N個極點構成Ha(-s)的極點。Ha(s)的表示式為這里分子系數為ΩcN，可由Ha(s)的低頻特性決定，（代入Ha(0)=1，可求得分子系數為ΩcN），而sk為k=1,2,…,N一般模擬低通濾波器的設計中，都會把式中的Ωc選為1rad/s,即使頻率歸一化。而歸一化后巴特沃思濾波器的極點分布以及相應的系統(tǒng)函數、分母多項多的系數都有現成的表格可查。把原歸一化后的系統(tǒng)函數中的s用s/Ωc代替后，就可得到所需的系統(tǒng)函數。N巴特沃思多項式1s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)令HaN(s)代表歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數，Ha(s)代表截止頻率為Ωc的低通系統(tǒng)的傳遞函數，那么歸一化系統(tǒng)函數中的變量s用s/Ωc代替后，就得到所需濾波器的系統(tǒng)函數Ha(s)，即:（6-78）（6-79）例6-1導出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數，設Ωc＝2rad/s。

解幅度平方函數是令Ω2=-s2即Ω=-js，則有各極點滿足式（6-72）k=1,2,…,6前面三個sk（k=1,2,3）就是Ha(s)的極點。所給出的六個sk為:由s1,s2,s3三個極點構成的系統(tǒng)函數為此題用查表方法設計查N=3的巴特沃思濾波器分母多項式系數A1=2,a2=2頻率歸一化后的系統(tǒng)函數為：頻率反歸一化，即以變量s用s/Ωc代替后，就得到所需濾波器的系統(tǒng)函數Ha(s)6.3.3切比雪夫低通逼近巴特沃思濾波器的頻率特性無論在通帶與阻帶都隨頻率變換而單調變化，因而如果在通帶邊緣滿足指標，則在通帶內肯定會有富裕量，也就會超過指標的要求，因而并不經濟。所以，更有效的辦法是將指標的精度要求均勻地分布在通帶內，或均勻地分布在阻帶內，或同時均勻地分布在通帶與阻帶內。這樣，在同樣通帶、阻帶性能要求下，就可設計出階數較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數來實現。切比雪夫濾波器的幅度特性就是在一個頻帶中（通帶或阻帶）具有這種等波紋特性。幅度特性在通帶中是等波紋的，在阻帶中是單調的，稱為切比雪夫Ⅰ型。幅度特性在通帶內是單調下降的，在阻帶內是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型。由應用的要求來確定采用哪種形式的切比雪夫濾波器。圖6-19、圖6-20分別畫出了N為奇數與N為偶數的切比雪夫Ⅰ，Ⅱ型低通濾波器的幅度特性。圖6-19切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性圖6-8切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅度特性橢圓濾波器在通帶和阻帶都具有等波紋幅頻特性。我們以切比雪夫Ⅰ型低通濾波器為例來討論這種逼近。切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方函數為（6-80）式中，ε為小于1的正數，它是表示通帶波紋大小的一個參數，ε越大，波紋也越大。Ωc為通帶截止頻率，也是濾波器的某一衰減分貝處的通帶寬度（這一分貝數不一定是3dB。也就是說，在切比雪夫濾波器中，Ωc不一定是3dB的帶寬）。CN(x)是N階切比雪夫多項式，定義為|x|≤1(通帶)|x|>1(阻帶)當N≥1時，切比雪夫多項式的遞推公式為CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)(6-81)(6-82)切比雪夫多項式的零值點（或根）在|x|≤1間隔內。當|x|≤1時，CN(x)是余弦函數，故|CN(x)|≤1且多項式CN(x)在|x|≤1內具有等波紋幅度特性；對所有的N，CN(1)=1，N為偶數時CN(0)=±１;N為奇數時CN(0)=0。當|x|>1時，CN(x)是雙曲余弦函數，它隨x增大而單調增加。顯然，切比雪夫濾波器的幅度函數為的特點如下：（1）當Ω＝0，N為偶數時，；當N為奇數時，Ha(j0)=1。（2）Ω=Ωc時即所有幅度函數曲線都通過點，所以把Ωc定義為切比雪夫濾波器的通帶截止頻率。在這個截止頻率下，幅度函數不一定下降3dB，可以是下降其他分貝值，例如1dB等，這是與巴特沃思濾波器不同之處。（3）在通帶內，即當|Ω|<Ωc時，則|Ω|/Ωc<1，|Ha(jΩ)|在 之間等波紋地起伏。（4）在通帶之外，即當|Ω|>Ωc時，隨著Ω的增大,迅速滿足ε2CN2

(Ω/Ωc)>>1使|Ha(jΩ)|迅速單調地趨近于零。由幅度平方函數式（6-80）看出，切比雪夫濾波器有三個參數：ε，Ωc和N。Ωc是通帶寬度，一般是預先給定的;ε是與通帶波紋有關的一個參數。通帶波紋Ap表示成(6-83) 這里，|Ha(jΩ)|max=1表示通帶幅度響應的最大值。 ，表示通帶幅度響應的最小值，故因而(6-84)(6-86)可以看出，給定通帶波紋值δ1（dB）后，就能求得ε2，這里應注意通帶波紋值不一定是3dB，也可以是其他值，例如0.1dB等。濾波器階數N等于通帶內最大值和最小值的總數。前面已經說過，N為奇數時，在Ω=0處，|Ha(jΩ)|為最大值1；N為偶數時，在Ω＝0處,|Ｈa(jΩ)|為最小值 （見圖6-7）。N的數值可由阻帶衰減來確定。設阻帶起始點頻率為Ωs，此時阻帶幅度平方函數值滿足式中，A是常數。如果用誤差的分貝數δ2表示，則有所以(6-86)設Ωst為阻帶截止頻率，即當Ω＝Ωst時，將上面的|Ha(jΩ)|2的表達式代入式（6-80），可得由此得出由于Ωs/Ωc>1，所以，由式（6-21）的第二式有由此，并考慮式（6-26），可得(6-88)如果要求阻帶邊界頻率上衰減越大（即A越大），也就是過渡帶內幅度特性越陡，則所需的階數N越高?；蛘邔Ζ竤t求解，可得(6-89)這里，Ωc是切比雪夫濾波器的通帶寬度，但不是3dB帶寬，可以求出3dB帶寬為(6-90)注意，只有當Ωc<Ω3dB時才采用式（6-90）來求解Ω3dB。（因為滿足Ω3dB/Ωc>1)

ε,Ωc,N給定后，就可以求得濾波器的傳遞函數Ha(s)，這可查閱有關模擬濾波器手冊。7.7沖激響應不變法一·變換思路沖激響應不變法是從濾波器的沖激響應出發(fā)，使數字濾波器的單位沖激響應序列h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)，即將ha(t)進行采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足式中,

是采樣周期。左右兩端進行拉氏變換得可以看出，當

時，抽樣序列的Z變換就等于其理想抽樣信號的拉普拉斯變換。并非之間的變換關系。即沖激響應不變法從之間并沒有一個從s平面到z平面的簡單的代數映射關系。即沒有一一對應的變換關系。沖激響應不變法的映射關系二混疊失真即數字濾波器的頻響是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內時，即1數字濾波器頻響與模擬濾波器頻響之間的關系才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻率響應，而不產生混疊失真，即但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真，如圖所示。這時數字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用沖激響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。圖沖激響應不變法中的頻響混疊現象當模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應混疊失真就越小。這時，采用沖激響應不變法設計的數字濾波器才能得到良好的效果。2減小混疊失真的方法三模擬濾波器的數字化方法下面我們討論如何由沖激響應不變法的變換原理將Ha(s)直接轉換為數字濾波器H(z)。設模擬濾波器的系統(tǒng)函數Ha(s)只有單階極點，且假定分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因為只有這樣才相當于一個因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)），因此可將7.7.2其相應的沖激響應ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即式中,u(t)是單位階躍函數。在沖激響應不變法中，要求數字濾波器的單位沖激響應等于對ha(t)的采樣，即7.7.3對h(n)求Z變換，即得數字濾波器的系統(tǒng)函數7.7.5將(7.7.2）的Ha(s)和式（7.7.5）的H(z)加以比較，可以看出：（1）S平面的單極點s=sk變換到Z平面的單極點z=eskT。（2）Ha(s)與H(z)的部分分式的系數是相同的，都是Ak。（3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點sk位于S平面的左半平面即Re［sk］<0，則變換后的數字濾波器的全部極點在單位圓內即|eskT|=eRe［sk］T<1，因此數字濾波器也是因果穩(wěn)定的。（4）雖然沖激響應不變法能保證S平面極點與Z平面極點有這種代數對應關系，但是并不等于整個S平面與Z平面有這種代數對應關系，特別是數字濾波器的零點位置就與模擬濾波器零點位置沒有這種代數對應關系，而是隨Ha(s)的極點sk以及系數Ak兩者而變化。如果采樣頻率很高，即

很小，數字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單的修正，令則有:四修正型方法例6-3設模擬濾波器的系統(tǒng)函數為試利用沖激響應不變法將Ha(s)轉換成IIR數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)。解：直接利用式可得到數字濾波器的系統(tǒng)函數為設T=1，則有模擬濾波器的頻率響應Ha(jΩ)以及數字濾波器的頻率響應H(ejω)分別為:把|Ha(jΩ)|和|H(ejω)|畫在圖上。由該圖可看出，由于Ha(jΩ)不是充分限帶的，所以H(ejω)產生了嚴重的頻譜混疊失真。圖6-8例6-3的幅頻特性五優(yōu)缺點優(yōu)點：沖激響應不變法使得數字濾波器的單位沖激響應完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好；模擬頻率Ω和數字頻率ω之間呈線性關系ω=ΩT。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過沖激響應不變法得到的仍然是一個線性相位的數字濾波器。缺點：頻率響應的混疊效應。所以，沖激響應不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中。如果要對高通和帶阻濾波器采用沖激響應不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用沖激響應不變法轉換為數字濾波器。當然這樣會進一步增加設計復雜性和濾波器的階數。沖激響應不變法的映射關系7.9雙線性變換法7.9.1基本思路

沖激響應不變法的主要缺點是產生頻率響應的混疊失真。這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關系所造成的。第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的一條橫帶里（寬度為）；圖7.20雙線性變換的映射關系第二步通過標準變換關系

將此橫帶變換到整個Z平面上。映射關系如圖7-20所示。為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實現式中,T仍是采樣間隔。7.9.2變換過程，變換關系式將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面：z=es1T

從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為：上式是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此稱為雙線性變換。7.9.3逼近的情況式（6-57）與式（6-58）的雙線性變換符合6.4節(jié)中提出的映射變換應滿足的兩點要求（1）首先,把z=ejω代入可得即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。（2）其次，將s=σ+jΩ代入式（6-57），得因此由此看出，當σ<0時，|z|<1；當σ>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經雙線性變換后所得的數字濾波器也一定是穩(wěn)定的。圖7.21雙線性變換法的頻率變換關系7.9.4非線性頻率變換關系由圖看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數字頻率ω之間的變換關系接近于線性關系；但當Ω進一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象，從而消除了頻率混疊現象。因此，DF的幅頻響應相對于AF的幅頻響應會產生畸變。首先，一個線性相位的模擬濾波器經雙線性變換后得到非線性相位的數字濾波器，不再保持原有的線性相位；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖6-14所示。圖7.22理想微分器經雙線性變換后幅頻響應產生畸變對于分段常數的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經變換后正好映射到所需要的數字頻率上。圖7.23雙線性變換的頻率非線性預畸7.9.5模擬濾波器的數字化方法1、直接代入法雙線性變換法比起沖激響應不變法來，在設計和運算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數關系，所以可以直接將式（6-57）代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數，得到數字濾波器的系統(tǒng)函數，即頻率響應也可用直接代換的方法得到（6-62）2、間接代入法應用式（6-62）求H(z)時，若階數較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設計，一方面，可以先將模擬系統(tǒng)函數分解成并聯的子系統(tǒng)函數（子系統(tǒng)函數相加）或級聯的子系統(tǒng)函數（子系統(tǒng)函數相乘），使每個子系統(tǒng)函數都變成低階的（例如一、二階的），然后再對每個子系統(tǒng)函數分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數上進行的，而模擬系統(tǒng)函數的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。雙線性法設計DF的步驟：2)由模擬濾波器的指標設計H

(s)3)H

(s)轉換為H(z)1)將數字濾波器的頻率指標{wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2)轉換為模擬濾波器的頻率指標

{Wk}例6-4設計一個一階數字低通濾波器，3dB截止頻率為ωc=0.26π，將雙線性變換應用于模擬巴特沃思濾波器。

解數字低通濾波器的截止頻率為ωc=0.26π，相應的巴特沃思模擬濾波器的3dB截止頻率是Ωc，就有模擬濾波器的系統(tǒng)函數為將雙線性變換應用于模擬濾波器，有由上題可知，T不參與設計，即雙線性變換法中用 設計與用 設計得到的結果一致。

例6-6用雙線性變換法設計一個三階巴特沃思數字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250μs），其3dB截止頻率為fc=1kHz。三階模擬巴特沃思濾波器為

解首先，確定數字域截止頻率ωc=2πfcT=0.6π。第二步，根據頻率的非線性關系式（6-46），確定預畸變的模擬濾波器的截止頻率第三步，將Ωc代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得最后，將雙線性變換關系代入就得到數字濾波器的系統(tǒng)函數應該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1kHz的實際濾波器，它只是一個“樣本”函數，是由低通模擬濾波器到數字濾波器的變換中的一個中間變換階段。圖6-16給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快。最后在折疊頻率處形成一個三階傳輸零點。這個三階零點正是模擬濾波器在Ωc=∞處的三階傳輸零點通過映射形成的。圖6-16用雙線性變換法設計得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的頻響6.6設計IIR濾波器的頻率變換法圖6-23兩種等效的設計方法(a)先模擬頻率變換，再數字化;(b)將(a)的兩步合成一步設計對于第一種方案，重點是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，這里我們不作詳細推導，僅在表6-3列出一些模擬到模擬的頻率轉換關系。一般直接用歸一化原型轉換，取Ωc=1,可使設計過程簡化。表6-3截止頻率為Ωc的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉換公式第二種方法實際上是把第一種方法中的兩步合成一步來實現，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式與用雙線性變換得到相應數字濾波器的公式合并，就可直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關系，一步完成各種類型數字濾波器的設計，因而簡捷便利，得到普遍采用。此外，對于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應不變法不能直接采用，或者只能在加了保護濾波器以后使用，因此，沖激響應不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮，故對于沖激響應不變法來說，采用第一種方案有時更方便一些。我們在下面只考慮雙線性變換，實際使用中多數情況也正是這樣。6.6.1模擬低通濾波器變換成數字低通濾波器1、把數字低通濾波器的性能要求轉換為與之相應的作為“樣本”的模擬濾波器的性能要求，根據此性能要求設計模擬濾波器； 2、通過沖激響應不變法或雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數字化為所需的數字濾波器H(z)。

例6-6用沖激響應不變法設計一個三階巴特沃思數字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250μs），其3dB截止頻率為fc=1kHz。

解查表可得歸一化三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數然后,以s/Ωc代替其歸一化頻率，則可得三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數為式中，Ωc=2πfc。上式也可由巴特沃思濾波器的幅度平方函數求得。為了進行沖激響應不變法變換，將上式進行因式分解并表示成如下的部分分式形式：將此部分分式系數代入(6-40)式就得到式中，ωc=ΩcT=2πfcT=0.6π是數字濾波器數字頻域的截止頻率。將上式兩項共軛復根合并，得從這個結果我們看到，H(z)只與數字頻域參數ωc有關，也即只與臨界頻率fc與采樣頻率fs的相對值有關，而與它們的絕對大小無關。例如fs=4kHz，fc=1kHz與fs=40kHz，fc=10kHz的數字濾波器將具有同一個系統(tǒng)函數。這個結論適合于所有的數字濾波器設計。將ωc=ΩcT=2πfcT=0.6π代入上式，得這個形式正好適合用一個一階節(jié)及一個二階節(jié)并聯起來實現。沖激響應不變法由于需要通過部分分式來實現變換，因而對采用并聯型的運算結構來說是比較方便的。圖6-18給出了沖激響應不變法得到的三階巴特沃思數字低通濾波器的頻響幅度特性，同時給出例6-6雙線性變換法設計的結果。由圖可看出，沖激響應不變法存在微小的混淆現象，因而選擇性將受到一定損失，并且沒有傳輸零點。圖6-18三階巴特沃思數字低通濾波器的頻響6.6.2模擬低通濾波器變換成數字高通濾波器由表6-3可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關系為（6-62）式中，Ωc為模擬低通濾波器的截止頻率，Ωc′為實際高通濾波器的截止頻率。根據雙線性變換原理，模擬高通與數字高通之間的S平面與Z平面的關系仍為（6-63）把變換式（6-62）和變換式（6-63）結合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數字高通濾波器的表達式，也就是直接聯系s與z之間的變換公式（6-64）式中， 。由此得到數字高通系統(tǒng)函數為式中，Ha(s)為模擬低通濾波器傳遞函數?？梢钥闯觯瑪底指咄V波器和模擬低通濾波器的極點數目（或階次）是相同的。根據雙線性變換，模擬高通頻率與數字高通頻率之間的關系仍為則又因故（6-66）下面討論模擬低通濾波器與數字高通濾波器頻率之間的關系。令s=jΩ，z=ejω，代入式（6-64），可得或（6-66）其變換關系曲線如圖6-19所示。由圖可看出，Ω=0映射到ω=π,即z=-1上;Ω=∞映射到ω=0,即z=1上。通過這樣的頻率變換后就可以直接將模擬低通變換為數字高通，如圖6-20所示。圖6-19從模擬低通變換到數字高通時頻率間關系的曲線還應當明確一點，所謂高通數字濾波器，并不是ω高到∞都通過，由于數字域存在折疊頻率ω=π，對于實數響應的數字濾波器，ω由π到2π的部分只是ω由π到0的鏡像部分。因此，有效數字域僅只是從ω=0到ω=π，高通也僅指這一端的高端，即到ω=π為止的部分。圖6-20模擬低通變換到數字高通

例6-7設計一個巴特沃思高通數字濾波器，其通帶截止頻率（-3dB點處）為fc=3kHz，阻帶上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3dB，阻帶衰減不小于14dB，采樣頻率fs=10kHz。

解（1）求對應的各數字域頻率:（2）求常數C。采用歸一化（Ωc=1）原型低通濾波器作為變換的低通原型，則低通到高通的變換中所需的C為（見表6-4）（3）求低通原型Ωst。設Ωst為滿足數字高通濾波器的歸一化原型模擬低通濾波器的阻帶上限截止頻率，可按Ω=C·cot(ω/2)的預畸變換關系來求，得（4）求階次N。按阻帶衰減求原型歸一化模擬低通濾波器的階次N，由巴特沃思低通濾波器頻率響應的公式|Ha(jΩst)|取對數，即式中Ωc=1。解得取N=3。（5）求歸一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表6-2可得Ha(s)為（6）求數字高通濾波器的系統(tǒng)函數H(z)，有將C代入，可求得6.6.3模擬低通濾波器變換成數字帶通濾波器由表6-3可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關系為（6-67）式中，Ωc為模擬低通濾波器的截止頻率，Ωh、Ωl分別為實際帶通濾波器的通帶上、下截止頻率。根據雙線性變換，模擬帶通與數字帶通之間的S平面與Z平面的關系仍為（6-68）把變換式（6-67）和變換式（6-68）結合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數字帶通濾波器的表達式，也就是直接聯系s與z之間的變換公式經推導后得式中（6-60）（6-61）根據雙線性變換，模擬帶通頻率與數字帶通頻率之間的關系仍為（6-62）定義:式中，Ω0為帶通濾波器通帶的中心頻率，B為帶通濾波器的通帶寬度。設數字帶通的中心頻率為ω0，數字帶通濾波器的上、下邊帶的截止頻率分別為ω2和ω1，則將式（6-62）代入式（6-63）、式（6-64），可得:（6-66）（6-66）考慮到模擬帶通到數字帶通是通帶中心頻率相對應的映射關系，則有（6-67）將式（6-66）、式（6-66）和式6-67）代入式（6-60）及式（6-61），并應用一些標準三角恒等式可得:（6-68）（6-69）所以，在設計時，要給定中心頻率和帶寬或者是中心頻率和邊帶頻率，利用式（6-68）和式（6-69）來確定D和E兩常數；然后，利用式（6-69