第17章動(dòng)力學(xué)普遍定理

§17-4動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

第17章動(dòng)力學(xué)普遍定理§17-1動(dòng)量定理§17-2動(dòng)量矩定理§17-3動(dòng)能定理1

實(shí)際上的問題是：(1)聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。(2)大量的問題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。動(dòng)力學(xué)普遍定理概述對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題：可由前一章內(nèi)容建立運(yùn)動(dòng)微分方程求解。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題：可以逐個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出其動(dòng)力學(xué)微分方程聯(lián)立求解，但求解過(guò)程很復(fù)雜。2

本章將要講述求解動(dòng)力學(xué)問題普遍適用的方法,即動(dòng)力學(xué)普遍定理(包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理及由此推導(dǎo)出來(lái)的其它一些定理)，它們從不同的側(cè)面揭示了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系總體的運(yùn)動(dòng)與其受力之間的關(guān)系，可以求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題。3§17-1動(dòng)量定理1.動(dòng)量在日常生活和工程實(shí)踐中可看出，質(zhì)點(diǎn)的速度和質(zhì)量的乘積表征了質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱，例：槍彈：速度大，質(zhì)量??；船：速度小，質(zhì)量大。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積mv稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。是瞬時(shí)矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和。4如i質(zhì)點(diǎn)的矢徑為ri，其速度為，代入式(17-1)，因mi不變，則有：(17-1)式中n為質(zhì)點(diǎn)數(shù)，mi為i質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，vi為質(zhì)點(diǎn)速度矢量。5令

為質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量，與重心坐標(biāo)類似，定義質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心（質(zhì)心）代入上式，得上式表明，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)心速度與其全部質(zhì)量的乘積。6剛體是由無(wú)限多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的不變質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)心是剛體內(nèi)某一確定的點(diǎn)。對(duì)于質(zhì)量均勻分布的規(guī)則剛體，質(zhì)心就是幾何中心，由式(17-3)可以方便的計(jì)算剛體或者剛體系統(tǒng)的動(dòng)量。7曲柄連桿機(jī)構(gòu)的曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)OA=AB=l

，曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿，質(zhì)量各為m，滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng)j

=45o時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量。

例題17-18解：曲柄OA：滑塊B：連桿AB：

(P為速度瞬心，

)例題17-19例題17-1q102．沖量力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動(dòng)車子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與較小的力作用較長(zhǎng)的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)。如力F是常矢量,則此力的沖量為：I=Ft(17-4)11如力F

是變矢量（包括大小和方向的變化）：在微小時(shí)間間隔內(nèi)，力F的沖量稱為元沖量。而力F在時(shí)間t內(nèi)的沖量為矢量積分：

(17-5)元沖量為：dI

=Fdt沖量的單位：N·s=kg·m/s2·s=kg·m/s

與動(dòng)量單位相同。123.動(dòng)量定理(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理式(17-6)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力，或質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的元沖量。對(duì)上式積分，時(shí)間由0到t，速度由v0變?yōu)関，得式(17-7)是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式。13質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式，表明在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力在此段時(shí)間內(nèi)的沖量。(2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的外力與內(nèi)力

外力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。內(nèi)力：所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對(duì)任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：14設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)

i，對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有n個(gè)方程，相加得因質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量增量為：15上式可變?yōu)槭?17-8)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式，表明質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和；式(17-9)表明質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于該系外力的矢量和（外力的主矢）。或16式(17-10)為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式，表明在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的沖量矢量和。對(duì)(17-8)式積分，得另外，從上述定理可看出，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。17

(17-12)動(dòng)量定理是矢量式，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)采用投影式，如式(17-9)和式(17-10)在直角坐標(biāo)系的投影式分別為：18由式(17-11)和式(17-12)，如果質(zhì)點(diǎn)系受到外力之主矢等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量將保持不變，即(3)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律。同樣，如果質(zhì)點(diǎn)系受到外力之主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影也保持不變。如，則19質(zhì)量為m2的大三角形柱體,放于光滑水平面上,斜面上另放一質(zhì)量為m1的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時(shí),大三角形柱體的位移。例題17-2m2120解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。受力分析：水平方向px

=常量。由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；則運(yùn)動(dòng)分析：設(shè)大三角塊速度v，小三角塊相對(duì)大三角塊速度為vr，則小三角塊va=ve+vr。例題17-2FNm2gm1gvrv21例題17-2FNm2gm1gvrv22質(zhì)點(diǎn)系在力作用下其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)跟質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布狀態(tài)有關(guān)，前面定義了質(zhì)心的位置，即4.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(1)質(zhì)量中心質(zhì)心位置反映出質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的一種特征，在動(dòng)力學(xué)中該概念具有重要地位，計(jì)算中常用直角坐標(biāo)下的投影式，即23(2)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由式(17-3)知，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心速度乘積，則動(dòng)量定理的微分形式可寫成24對(duì)質(zhì)量不變質(zhì)點(diǎn)系，該式改寫為(17-14)上式表明質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力矢量和，該規(guī)律稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；它同質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程相似，可以把質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，此質(zhì)點(diǎn)集中了質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和外力。25(3)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理知，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系外力主矢為零，則質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；若開始靜止，則質(zhì)心位置不變。如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某個(gè)軸上投影的代數(shù)和恒為零，則質(zhì)心速度在該軸上投影不變；若開始速度為零，則質(zhì)心在該軸坐標(biāo)不變?！摻Y(jié)論稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律。只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。26電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子(包括外殼）重為P,轉(zhuǎn)子重為P

,轉(zhuǎn)子的軸通過(guò)定子的質(zhì)心O1,但由于制造誤差,轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。求轉(zhuǎn)子以角速度

作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底座上的水平和鉛垂約束力。例題17-327解:取整個(gè)電動(dòng)機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)系研究，分析受力，受力圖如圖。運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心加速度a1=0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。例題17-3a1=0，a2=e2根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有m2=P/g)28可見，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。例題17-3m1=m2=P/g所以:29浮動(dòng)起重船,船的重量為P1=200kN,起重桿的重量為P2=10kN,長(zhǎng)l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN。

設(shè)開始起吊時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置的夾角為1=60o,水的阻力不計(jì),求起重桿OA與鉛直位置成角2

=30o時(shí)船的位移。例題17-430解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象。受力分析如圖示，，且初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質(zhì)心的位置坐標(biāo)xC保持不變。例題17-4oyxm1=P1/g,m2=P2/g,m3=P3/g31設(shè)船的位移x１，向右，桿的質(zhì)心水平位移重物的位移例題17-4oyx32計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表明船的位移水平向左。例題17-4oyx33【思考題17-1】為什么動(dòng)量定理的微分形式可用其兩邊向任何軸（直角坐標(biāo)軸與自然坐標(biāo)軸）上投影來(lái)求解動(dòng)力學(xué)問題？動(dòng)量定理的積分形式是否也可將其兩邊向自然坐標(biāo)軸上投影來(lái)求解動(dòng)力學(xué)問題？【思考題17-2】當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒時(shí)，其中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是否也必須保持不變？34

動(dòng)量定理只揭示了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化與外力主矢的關(guān)系；質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理只揭示了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與外力主矢的關(guān)系。但不是質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械運(yùn)動(dòng)的全貌。下面介紹動(dòng)量矩定理，動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)（軸）之矩兩者之間的關(guān)系，從另一個(gè)側(cè)面揭示出質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。35

§17-2動(dòng)量矩定理(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩設(shè)質(zhì)點(diǎn)某瞬時(shí)動(dòng)量為mv，其對(duì)O點(diǎn)的位置為矢徑r，如圖所示，定義質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量對(duì)于O點(diǎn)的矩為質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩，是矢量；定義質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv在Oxy平面上的投影（mv)xy對(duì)于點(diǎn)O的矩，為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)于z軸的矩，簡(jiǎn)稱對(duì)于z軸的動(dòng)量矩，是代數(shù)量。表示如下(17-15)(17-16)動(dòng)量矩的單位為：kg·m2/s1．動(dòng)量矩36正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同對(duì)著軸看：順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正。

質(zhì)點(diǎn)對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在z軸上的投影，等于對(duì)z軸的動(dòng)量矩。動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。37質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和，或者稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的主矩，即(2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一軸z動(dòng)量矩的代數(shù)和，即利用式(17-16)，得上式表明：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的z軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該軸的動(dòng)量矩。

38剛體移動(dòng)時(shí)，可把其質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)計(jì)算其動(dòng)量矩；剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其對(duì)軸z的動(dòng)量矩為令稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，于是有即繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。39已知，滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1；滑輪B：m2，R2，J2

；物體C：m3；運(yùn)動(dòng)情況如圖所示。求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。例題17-5C40解：例題17-5C412.動(dòng)量矩定理(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩求一次導(dǎo)數(shù)，得42(17-21)式(17-21)表示質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩，稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理。43上式的投影式分別為44(2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理n個(gè)方程相加，有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理有由于45上式表明質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和，（外力對(duì)點(diǎn)O的主矩）稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，其投影式為：于是（17-22）46(3)動(dòng)量矩守恒定理作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)某定點(diǎn)O的矩恒為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩保持不變,即。作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)某定軸的矩恒為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的動(dòng)量矩保持不變,即。以上結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律同理，當(dāng)外力對(duì)某固定點(diǎn)（或某固定軸）的主矩等于零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該點(diǎn)（或該軸）的動(dòng)量矩保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定律。另外，質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。47運(yùn)動(dòng)分析：，由動(dòng)量矩定理微幅擺動(dòng)時(shí)，并令，則解：將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力分析；受力圖如圖示。已知單擺m，l，t=0時(shí)=0，從靜止開始釋放。求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。即例題17-6lFT48注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致（本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎┵|(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用：在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。解微分方程，并代入初始條件則運(yùn)動(dòng)方程例題17-6lFT49解：系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣的，均為。已知：猴子A重等于猴子B重，猴B以相對(duì)繩速度v

上爬，猴A不動(dòng)，問當(dāng)猴B向上爬時(shí)，猴A將如何動(dòng)？動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）例題17-750

3.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程如圖示一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸動(dòng)量矩定理以上各式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。514.剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：剛體對(duì)任意軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國(guó)際單位制中單位kg·m2。（一）勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l,質(zhì)量為m，其分別對(duì)z和z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(1)簡(jiǎn)單形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則：52（二）勻質(zhì)薄圓環(huán)半徑R，質(zhì)量為m，其對(duì)中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（三）勻質(zhì)圓板半徑R，質(zhì)量為m，其對(duì)中心軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量任取一圓環(huán)，則53(2)回轉(zhuǎn)半徑即物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于該物體質(zhì)量與回轉(zhuǎn)半徑的平方的乘積；對(duì)于均質(zhì)物體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。則定義：(3)平行移軸定理剛體對(duì)于某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)于過(guò)質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體質(zhì)量與軸距平方的乘積，即54證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，O'z'∥Cz剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。55當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,然后再加起來(lái)就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來(lái)處理。(4)計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法56解：已知：均質(zhì)直桿m1,l

；均質(zhì)圓盤：m2,R。求JO

。例題17-857兩根質(zhì)量各為m=8kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T

字型，可繞通過(guò)O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí),T

形桿具有角速度=4rad/s

。求該瞬時(shí)軸承O的約束力。例題17-958解：選T字型桿為研究對(duì)象。受力分析如圖示。由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例題17-9FxOFyO59根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得例題17-9FxOFyO60圖

a、b中所示的兩個(gè)滑輪O1和O2完全相同，在圖

a所示情況中繞在滑輪上的繩的一端受拉力F(F=P)作用，在圖

b所示情況中繩的一端掛有重物A，其重量等于P。問兩輪的角加速度是否相同？等于多少？設(shè)繩重及軸承摩擦均可不計(jì)。思考題17-361思考題17-4圖示均質(zhì)等截面直桿,質(zhì)量為m,已知，問是否。62§17-3動(dòng)能定理各種運(yùn)動(dòng)形式存在能量轉(zhuǎn)換和功的關(guān)系，其表現(xiàn)為動(dòng)能定理，與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理從能量角度研究動(dòng)力學(xué)問題，建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量—?jiǎng)幽芎妥饔昧Φ奈锢砹俊χg的聯(lián)系，有時(shí)可以方便有效地解決動(dòng)力學(xué)問題。63力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。圖示質(zhì)點(diǎn)在常力作用下，力F

的功定義為：力的功是代數(shù)量。在國(guó)際單位制中，其單位為1J=1N·m1.力的功sM64

對(duì)變力的功，如圖所示，質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)。在無(wú)限小位移dr中力F視為常力，ds視為直線，力F的功稱為元功，記為dW。則65力在全路程上作的功為元功之和，即則力從M1到M2過(guò)程作的功為66(1)重力的功對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，重力功為：質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。重力投影：67(2)彈性力的功

彈簧原長(zhǎng)l0，在彈性極限內(nèi)F=kl

，k為剛度系數(shù)，表示彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。N/m,N/cm。如圖示F=-kl,(彈性力指向與質(zhì)點(diǎn)位移方向相反，彈性力作的功為彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。68(3)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功、力偶的功

設(shè)在繞定軸z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上A點(diǎn)作用有力F，如圖示，則力F在切線上投影為Ft=Fcosq轉(zhuǎn)角j與弧長(zhǎng)s的關(guān)系為ds=Rdj則力F的元功為Rr69作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。如果作用力偶，則力偶作的功仍可用上式計(jì)算。因?yàn)镕tR

等于力F對(duì)軸z的力矩Mz，則dW=Mzdj剛體從j1到j(luò)2轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中力F作的功為70

1)萬(wàn)有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。(4)其它常見力作的功2)摩擦力的功(一)動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功FN=常量時(shí),W=–f′FNs,與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。71正壓力FN，摩擦力F作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(二)圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功(三)滾動(dòng)摩擦力偶M的功若M=常量則FNM722.質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能是因物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的另一度量。(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為(2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能73定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能移動(dòng)剛體的動(dòng)能式中Jp為剛體繞速度瞬心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。743.動(dòng)能定理(1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理即積分上式，得上式分別稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式和積分形式。a75(2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理對(duì)任一質(zhì)點(diǎn)mi，有n個(gè)方程相加得到積分上式，得上面式(17-25)和(17-26)分別稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式和積分形式。76在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可寫成以下的形式(3)理想約束與內(nèi)力作功約束力作功為零的約束稱為理想約束。在理想約束下，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變只與主動(dòng)力有關(guān)，式(17-25)和(17-26)中只需要計(jì)算主動(dòng)力所作的功。活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承光滑固定面約束FNFxFyFNFN77拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零。剛體沿固定面作純滾動(dòng)聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功FNFN′drAdrB78

圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量m=30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA'，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解：研究OA桿例題17-10P=mg79由例題17-1080行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動(dòng)齒輪半徑r,重P1,視為均質(zhì)圓盤；曲柄重P2,長(zhǎng)l,作用一力偶,其矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)。求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示)和角加速度。例題17-1181解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象例題17-1182根據(jù)動(dòng)能定理，得將(1)式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得例題17-1183兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B端的速度。例題17-1284解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象例題17-1285長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。解：因水平方向不受外力，且初始靜止，質(zhì)心C鉛垂下降。因約束力不作功,主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。初瞬時(shí)：任一瞬時(shí)：例題17-1386由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡(jiǎn)后得例題17-1387