第1章函數(shù)、極限及連續(xù)

李俊杰E-mail:高等數(shù)學(xué)Tel:主要內(nèi)容函數(shù),極限,連續(xù)（1）

一元微分學(xué)（2）

一元積分學(xué)（1）

向量代數(shù)與空間解析幾何微分方程（1）

3函數(shù)與極限導(dǎo)數(shù)與微分中值定理不定積分與定積分微分方程和空間解幾082428412928092428393128102424353928112828343228122229333828歷屆數(shù)學(xué)試題分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表集合映射函數(shù)復(fù)合函數(shù)反函數(shù)初等函數(shù)有界性單調(diào)性奇偶性周期性函數(shù)考點(diǎn)：定義域12:（1）、11:（1）、10:（1）、09:（1）、08:（2）、07:（1）、②求解析式

12:（11）、11:（11）、07:（2）、③求反函數(shù)

10:（11）、08：（11）、07:（11）、④函數(shù)的性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）

11:（2）、10:（1）、08:（1）07:（5）1、集合定義、表示法及集合之間的關(guān)系（略）點(diǎn)的

鄰域2、區(qū)間和領(lǐng)域區(qū)間（略）第一節(jié)函數(shù)一、集合與區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:2、區(qū)間和領(lǐng)域區(qū)間（略）定義域1.函數(shù)的概念定義.

設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為f(D)稱為值域自變量因變量二、函數(shù)(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)

定義域

對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.如,

絕對(duì)值函數(shù)定義域值域符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0EX2、4三.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱說(shuō)明:

還可定義有上界、有下界、無(wú)界(2)單調(diào)性在I

上有界.(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說(shuō)明:

若在x=0有定義,則當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),必有(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為四.反函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù)

.其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):

2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)EX9則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.五.復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)EX10、11例.

將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合.(1)y=cos2x,是由y=u2,u=cosx復(fù)合而成.(2)y=arctge–x,是由y=arctgu,復(fù)合而成.(3)是由復(fù)合而成.2.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(a)(b)(d)(d)①冪函數(shù)②指數(shù)函數(shù)③對(duì)數(shù)函數(shù)④三角函數(shù)⑤反三角函數(shù)⑤反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如

,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù)

.可表為故為初等函數(shù).12:（1）、11:（1）、10:（1）、09:（1）、08:（2）、07:（1）第7--8頁(yè)1、6、8、13、1512:（11）、11:（11）、07:（2）、第7--9頁(yè)2、2910:（11）、08：（11）、07:（11）、第9頁(yè)19、22、2711:（2）、10:（1）、08:（1）、07:（5）第7--8頁(yè)4、5、12、16極限考點(diǎn)：①兩個(gè)重要極限12:（12）、12:（13）、11:（12）、09:（11）、08:（12）、07:（12）②等價(jià)無(wú)窮小

12:（2）、11:（3）、09:（2）、07:（3）③有界乘以無(wú)窮小

11:（13）、10:（12）④羅必達(dá)法則

12：（21）、11:（22）、10:（22）、09:（12）、09:（21）、08:（21）、07:（21）第二節(jié)數(shù)列極限自變量變化過(guò)程的六種形式:第三節(jié)函數(shù)的極限1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限EX4、52、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限第四節(jié)極限運(yùn)算法則1.夾逼準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1)

(P20)1.夾逼準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1’)函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則且(1)(2)兩個(gè)重要極限12:（12）、12:（13）、11:（12）、09:（11）、08:（12）、07:（12）第9頁(yè)20、23、25、30第六節(jié)無(wú)窮大與無(wú)窮小都是無(wú)窮小,引例.但可見(jiàn)無(wú)窮小趨于0的速度是多樣的.12:（2）、11:（3）、09:（2）、07:（3）第7--9頁(yè)3、9、17、11:（13）、10:（12）第8頁(yè)28、31連續(xù)考點(diǎn)：連續(xù)：極限與連續(xù)關(guān)系11:（4）、已知連續(xù)求參數(shù)10:（21）、08:（3）、07:（28）③討論點(diǎn)的連續(xù)性09:（22）、④間斷點(diǎn)11:（21）、09:（3）、08:（13）、07:（13）零點(diǎn)存在定理：12:（31）、09（31）在在三、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn)

.在無(wú)定義;為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:(4)為其跳躍間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)極限不存在，但為有界量,則稱若其中有一個(gè)為為無(wú)窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn)

.第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型

極限與連續(xù)關(guān)系11:（4）、

已知連續(xù)求參數(shù)10:（21）、08:（3）、07:（28）③