第09課多自由度系統(tǒng)的振動響應

第九課多自由度系統(tǒng)的振動響應Monday,February6,2023前課回顧模態(tài)正交性的含義？[U]T[M][U]=[∧][U]T[K][U]=[∧]展開定理？振動系統(tǒng)的響應是n個振型的線性組合主要內(nèi)容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析主要內(nèi)容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析1.概述(1)多自由度系統(tǒng)在外部激勵作用下的響應分析稱為動力響應分析。系統(tǒng)的動力響應與系統(tǒng)的固有振動特性、激勵特性以及系統(tǒng)的初始條件有關。響應類型：簡諧激勵響應周期性激勵響應非周期激勵響應隨機振動響應（第五章內(nèi)容）系統(tǒng)的動力響應分析可以從理論計算、數(shù)值模擬和試驗測試三個渠道進行，三者互相結(jié)合、促進，共同應用于實際的工程分析。1.概述(2)動力響應分析主要方法：振型疊加法逐步積分法積分變換方法1.概述(3)振型疊加法基于線性疊加與振型正交性理論，將物理空間耦合的振動模型轉(zhuǎn)換為模態(tài)空間解耦的微分方程；主要特點：計算效率高，適用于線性系統(tǒng)1.概述(4)逐步積分法（直接積分法）是指在積分運動方程之前不進行方程形式的變換，直接進行逐步數(shù)值積分。主要方法：中心差分法，Newmark方法，精細積分法主要特點：計算量大，適用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，可以求解所有確定激勵下的響應問題。1.概述(5)積分變換法利用Fourier變換或Laplace變換將時間域微分形式的運動方程變換為頻域域或Laplace域的代數(shù)方程進行求解。一般與振型疊加法與試驗模態(tài)分析方法相結(jié)合，獨立應用較少。主要應用于線性系統(tǒng)。主要內(nèi)容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析2振型疊加法(modesummationmethod)主要思想：將線性定常系統(tǒng)振動微分方程組中的物理坐標變換為模態(tài)坐標（主坐標），使方程解耦，成為一組以模態(tài)坐標及模態(tài)參數(shù)描述的獨立方程，以便求出系統(tǒng)的動力響應。主要依據(jù)：展開定理、模態(tài)正交性和線性疊加原理。=++++WhyBotherwithModalModels?PhysicalCoordinates=CHAOSModalSpace=Simplicityq1112q21q313BearingRotorBearingFoundation方程(1)與方程(2)計算量差多少？振型疊加法主要計算過程特征值分析：求解系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型坐標變換：將運動方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間Duhamel積分：求解一系列單自由度系統(tǒng)振動方程振型疊加：得到系統(tǒng)的物理響應SolutionofaSDOFsystem零輸入響應(初值問題)零狀態(tài)響應SolutionofaSDOFsystem？？？？？Summationofmodalequationsolutions例題4.5求圖示系統(tǒng)在零初始條件下的響應

主要思路利用影響系數(shù)法、牛頓第二定律或Lagrange方程列出系統(tǒng)的運動方程；利用頻率方程法或特征值分解法計算系統(tǒng)的固有頻率與振型；利用振型矩陣計算模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)剛度矩陣及模態(tài)力；利用Duhamel積分求解單自由度系統(tǒng)的動力響應；利用疊加原理和模態(tài)變換矩陣合成系統(tǒng)的物理響應。解：建立系統(tǒng)微分方程

固有頻率，主振型

解得

由

解得

構(gòu)成

主質(zhì)量矩陣

主剛度矩陣

主坐標下的振動微分方程（令）

利用杜哈梅積分

討論幾個問題振型疊加法的理論依據(jù)？展開定理，模態(tài)正交性，疊加原理阻尼問題振型矩陣對阻尼矩陣正交性，Rayleigh阻尼可以利用試驗模態(tài)分析測量的阻尼比振型疊加法的計算量？模態(tài)截斷將振型方程凝聚（個數(shù)減少）可以方便地只計算感興趣的自由度響應振型疊加法的基礎（依據(jù)）展開定理基于線性空間理論系統(tǒng)任一瞬時的響應都可以表示為各階振型的線性組合，從而運動方程可以實現(xiàn)物理空間與模態(tài)空間的轉(zhuǎn)換。模態(tài)正交性模態(tài)振型對于質(zhì)量矩陣、剛度矩陣正交，從而保證模態(tài)空間中的運動方程是解耦的。線性疊加原理模態(tài)空間中系統(tǒng)總響應等于各單自由度響應之和，從而可以獨立求解各振型方程，再疊加得到系統(tǒng)的響應。阻尼矩陣呢？Withregardto振型疊加法的計算量幾乎所有的工程結(jié)構(gòu)的振動響應中低階模態(tài)振動占主導地位，高階振動影響極小，因此只采用低幾階模態(tài)進行振型疊加計算可以獲得足夠的精度（模態(tài)截斷），這一思想在大量工程實踐得到充分證明。討論幾個問題振型疊加法的理論依據(jù)？展開定理，模態(tài)正交性，疊加原理阻尼問題振型矩陣對阻尼矩陣正交性，Rayleigh阻尼可以利用試驗模態(tài)分析測量的阻尼比振型疊加法的計算量？模態(tài)截斷將振型方程凝聚（個數(shù)減少）可以方便地只計算感興趣的自由度響應主要內(nèi)容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析主要內(nèi)容1.概述2.振型疊加法3.直接積分法4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析4.基于狀態(tài)空間理論的matlab動力響應分析k1=1000;k2=2000;k3=3000;m1=1;m2=2;alpha=1;beta=0.005;M=[m1,0;0,m2];K=[k1+k2,-k2;-k2,k2+k3];C=alpha*M+beta*K;n=size(M,1);Z=zeros(n);G=[CM;MZ];H=[K,Z;Z,-M];E=[eye(n);Z];ssA=-G\H;ssB=G\E;ssC=[-M\K-M\C];ssD=inv(M);t=0:0.01:10;f1=2