第14次課第6章彈性力學變分解法

第六章彈性力學的變分解法

偏微分方程求解的困難應力函數解法的限制計算機的廣泛應用

6.1變形體的虛功原理6.2功的互等定理6.3最小勢能原理

6.4最小勢能原理的應用6.1變形體的虛功原理1.變形比能變形勢能對于線彈性材料，單位體積的變形能：變形比能(變形比能)變形勢能oWv:體積改變比能Wf:形狀改變比能對W

進行分解有2.體積改變比能形狀改變比能Wv:體積改變比能Wf:形狀改變比能對W

進行分解有2.體積改變比能形狀改變比能式中:體積改變比能形狀改變比能3.平面問題變形比能表達式彎曲應力:彎曲力矩:式中I為對中性軸的慣性矩:則變形比能4.梁彎曲變形比能表達式變形勢能xzo在Su

上在V內5.變形體的基本方程與邊界條件在上SuSσV加載的變形體7.變形體的虛功原理SuSσV平衡方程組幾何方程組加載的變形體

滿足幾何方程與上位移邊界條件的位移,稱可能位移；

與可能位移相應的應變，稱可能應變；（1）可能位移可能應變可能應力可能位移可能應變

真實位移一定是可能位移。真實應變一定是可能應變。可能應力

滿足平衡方程與上力邊界條件的應力稱為可能應力;真實應力一定是可能應力。7.變形體的虛功原理設變形體體積V，表面積為S。給定面力表面Ss

：成立；給定位移表面Su

：成立。

對平衡的變形體，外力在任一組可能位移上作的功，等于任一組可能應力在可能應變上作的功。

即在外力作用下，產生可能應力，可能位移，可能應變，則有外力的功:（2）虛功原理SuSσV內力的功：存在即此式為變形體的虛功方程。應用條件：彈性體、塑性體，小變形假設。

虛功原理：對平衡的變形體，外力在任一組可能位移上作的功，等于任一組可能應力在可能應變上作的功。在V內；在上。即有虛功原理說明：因為變形體是平衡的，所以有外力的功（稱為外力的虛功）為虛功原理常用的一種形式：在真實位移與真實應力基礎上,給定一個虛位移,

其產生一個相應的虛應變。虛位移原理虛位移:在真實位移的基礎上，假想變形體各點產生了位移邊界約束所允許的任意微小位移。屬于可能位移。由虛功原理：虛應變:與虛位移相應的應變稱虛應變。屬于可能應變。(2)虛位移原理外力的虛功:內力的虛功:則有變形體的虛位移方程：虛位移原理：對平衡的變形體，給定其虛位移，外力虛功與內力虛功相等。從平衡條件和邊界條件導出虛位移原理：此式即虛位移原理方程。（3）虛位移原理的等價性從虛位移原理方程導出平衡條件和邊界條件：由于的任意性，有：（力邊界條件）（平衡微分方程）

因此虛位移原理與平衡方程和力邊界條件是等價的。即滿足虛位移原理的解，一定滿足平衡方程和力邊界條件，或者說變形體平衡的充要條件是：外力所做的的虛功等于內力所作的虛功。也稱為位移變分原理。因為對于真實位移應力有與變形體的虛位移原理是一致的。由上式對位移及相應的應變取變分得對于變形體的虛位移原理由于是微小的，所以有:由虛位移原理（位移變分原理）關于虛位移原理的進一步的解析令則對于有令則有即稱為外力勢能稱為變形勢能稱為總勢能對于內力的虛功內力的虛功在數值上等于變形體的虛變形勢能。又稱為變形體的虛變形勢能。作用于彈性體的第一種外力狀態(tài)(體力和面力)，在第二種外力狀態(tài)對應的位移上所做的功，等于第二種狀態(tài)外力在第一種狀態(tài)對應的位移上所做的功。6.2功的互等定理

q

ΔV第二種外力狀態(tài)第一種位移狀態(tài)設F引起的體積改變?yōu)棣q在l上引起的線伸長為Δl則由功的互等定理有第一種外力狀態(tài)FFΔVl第二種外力狀態(tài)qΔll＝第一種外力狀態(tài)第二種位移狀態(tài)F

Δl總勢能是應變分量的泛函，又是位移分量的泛函?？倓菽芏x第一項變形勢能總勢能的變分第二項外力勢能總勢能6.3最小勢能原理最小勢能原理是變分表達的平衡條件的數學形式，等價于平衡微分方程和力邊界條件。

1.最小勢能原理：真實的位移使變形體的總勢能取最（極）小值。最小勢能原理說明，真實位移除滿足位移邊界條件外，還滿足最小勢能原理，即滿足：上式稱為總勢能變分方程。6.3最小勢能原理

瑞利-里茲法(Rayleigh-Ritz),給定幾何邊界條件。伽遼金法(Galerkin),給定混合邊界條件。2.最小勢能原理的應用基本思想構造一個位移試函數(幾何可能的位移函數)通過總勢能變分方程，使偏微分方程邊值問題轉化為線性代數方程組。滿足邊界條件：且代入總勢能變分方程中可解出系數即對i不求和

(1)瑞利-里茲法：構造一個位移試函數即任意展開上式m=1，2，3…m=1，2，3…m=1，2，3…上式為瑞利-里茲法方程。對于(2)伽遼金法：由有展開上式(2)(1)即即得若位移試函數不僅滿足位移邊界條件，而且滿足力邊界條件，則有（1）、（2）式代入有也得

若位移試函數滿足位移邊界條件，不滿足力邊界條件，但滿足積分形式的力邊界條件，即

意義為在變形體V上內力與外力滿足平衡方程。對于將代入上式得：展開上式為伽遼金方程。對于用位移表示的平衡方程代入上式有:展開上式將代入上式得：由于是任意的變分對于展開上式得

m=1，2，3…m=1，2，3…m=1，2，3…上式也為伽遼金方程。對于(2)滿足梁的位移邊界條件在x=0，l處，w=0解1：(1)構造位移試函數例題：兩端簡支的等截面梁，受均勻分布載荷q作用如圖所示。試求解梁的撓度w(x)

。(3)總勢能xzo所以回代有

(4)根據m為奇數m為偶數m為奇數m為偶數xzo取1項

取2項

取3項

取4項

取5項

取6項

如果取一項這一結果與材料力學值的相對誤差為0.38%

。撓曲線表達式是無窮級數—精確解；這個級數收斂很快，只要取前兩項就可以得到足夠的精度。材料力學解

xzo(2)位移邊界條件:w|x=0

=0,w|x=l

=0

力邊界條件:w"|x=0

=0,w"

|x=l

=0(因M=-EIw”)(1)位移試函數可見w(x)滿足位移邊界條