自動(dòng)控制理論第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1系統(tǒng)微分方程的建立2.2非線性微分方程的線性化2.3傳遞函數(shù)2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.5信號(hào)流圖第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型目的

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為課程的后續(xù)內(nèi)容提供必備的工具內(nèi)容掌握建立物理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法掌握數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換掌握數(shù)學(xué)模型的圖解形式數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型就是對(duì)實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述。確切地說：數(shù)學(xué)模型是對(duì)于一個(gè)特定的對(duì)象為了一個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式，算法、表格、圖示等。

控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：

描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

引言數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是通過物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等定律來描述的。通過數(shù)學(xué)模型來研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運(yùn)動(dòng)規(guī)律。建模方法:解析法：即依據(jù)系統(tǒng)及元部件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

實(shí)驗(yàn)法：給系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號(hào)（階躍信號(hào)、正弦信號(hào)等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而擬合辨識(shí)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)頻率特性結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖狀態(tài)空間表達(dá)式反映元件及系統(tǒng)的特性要正確實(shí)驗(yàn)法解析法寫出的數(shù)學(xué)式子要簡(jiǎn)明§2.1控制系統(tǒng)的微分方程引例：由電阻R與電容C組成的一階濾波電路，寫出以u(píng)i為輸入，uo為輸出的系統(tǒng)關(guān)系方程。

控制系統(tǒng)的微分方程線性定常系統(tǒng)的微分方程可表示為線性定常系統(tǒng)滿足疊加原理參數(shù)為常數(shù)疊加原理如果有 輸入x1(t)輸出y1(t)

輸入x2(t)輸出y2(t)則系統(tǒng)的輸入為輸出保持線性可加為2.控制系統(tǒng)微分方程的建立用解析法建立運(yùn)動(dòng)方程的步驟是：

分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；從輸入端入手，依據(jù)各元件所遵循的物理，化學(xué)，生物等規(guī)律，列寫各自方程式；將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標(biāo)準(zhǔn)方程。電學(xué)系統(tǒng)：

元件約束電學(xué)系統(tǒng)：

網(wǎng)絡(luò)約束遵從基爾霍夫電壓電流定律例：考慮由電阻R與電容C組成的一階濾波電路，寫出以u(píng)i

為輸入，u0為輸出的微分方程。由基爾霍夫電壓定律元件約束整理得力學(xué)系統(tǒng)：

牛頓定律約束例：設(shè)彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)如圖所示，試列出以力Fi

為輸入，以質(zhì)量單元的位移x為輸出的運(yùn)動(dòng)方程。由牛二：外力彈性阻力

粘滯阻力代入整理16例電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)

電樞電壓控制的直流電動(dòng)機(jī)線路原理圖和結(jié)構(gòu)圖（1）列寫原始方程式。（2）消去中間變量。整理后得

17若輸出為電動(dòng)機(jī)軸的轉(zhuǎn)角q，則有

（三階線性定常微分方程）——機(jī)電時(shí)間常數(shù)(秒)

——電動(dòng)機(jī)電樞回路時(shí)間常數(shù)(秒)，一般比Tm小或例

水箱水位系統(tǒng)如圖，建立系統(tǒng)的微分方程；1、確定輸入、輸出輸入：流入水箱的流量干擾是流出水箱的流量輸出：2、原始方程組假設(shè)①水箱截面積S為常數(shù)②設(shè)流量系數(shù)(調(diào)節(jié)閥開度系數(shù))α為常數(shù)③水是不可以被壓縮的c—密度

由物質(zhì)守恒定律存在：又因?yàn)闉榉浅?shù)，有：非線性的

3、消去中間變量有：§2.2非線性微分方程的線性化為什么要線性化非線性系統(tǒng)的性質(zhì)比線性系統(tǒng)要復(fù)雜得多哪種非線性系統(tǒng)可以線性化連續(xù)可導(dǎo)的非線性系統(tǒng)如何進(jìn)行線性化使用小偏差法連續(xù)可導(dǎo)的非線性特性本質(zhì)非線性特性小偏差理論具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)A[x0，y0]為預(yù)定工作點(diǎn)，則該非線性函數(shù)可以線性化的條件是變量x偏離預(yù)定工作點(diǎn)很小線性化方法步驟：(1)建立系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）運(yùn)動(dòng)方程；(2)利用Taylor級(jí)數(shù)或一次微分方法，將輸出－輸入函數(shù)在工作點(diǎn)展開或求一次微分；(3)忽略Taylor展開式或一次微分式中關(guān)于微小偏差的高次項(xiàng)(僅保留一次項(xiàng))；(4)得到一個(gè)關(guān)于輸出增量偏差與輸入增量的一次項(xiàng)的增量方程；(5)整理方程并去掉增量符號(hào)，即得到線性化方程。近似線性化方程為令作變量替換例：三相全橋整流裝置輸入量為控制角輸出量為整流電壓UD,二者之間的關(guān)系為試建立其線性化方程。解：預(yù)定工作點(diǎn)為例：?jiǎn)螖[系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為試列寫其線性化方程。解：運(yùn)動(dòng)方程中的非線性項(xiàng)為預(yù)定工作點(diǎn)為線性化方程為當(dāng)預(yù)定工作點(diǎn)為[0,0]當(dāng)預(yù)定工作點(diǎn)為總