2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 平面向量的應(yīng)用（精練）（解析版）

10.3平面向量的應(yīng)用（精練）【題組一平面向量與四心】1．（2021·重慶市長壽中學(xué)校）在中，是三角形的外心，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，則=（）A．16 B．8 C．24 D．32【答案】D【解析】如圖，,因?yàn)?所以，又因?yàn)槭侨切蔚耐庑?，所?所以.故選：D2．（2021·廣東高三月考）（多選）對(duì)于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．向量與共線D．過點(diǎn)的直線分別與、交于、兩點(diǎn)，若，，則【答案】BCD【解析】A：為外心，則，僅當(dāng)時(shí)才有，錯(cuò)誤；B：由，又，故，正確；C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；D：，又三點(diǎn)共線，則，故，正確.故選：BCD3．（2021·廣東深圳市·深圳第三高中）（多選）在所在平面內(nèi)有三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（）A．滿足，則點(diǎn)是的外心B．滿足，則點(diǎn)是的重心C．滿足，則點(diǎn)是的垂心D．滿足，且，則為等邊三角形【答案】ABCD【解析】對(duì)于，因?yàn)?，所以點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，故正確；對(duì)于B，如圖所示，為的中點(diǎn)，由得：，所以，所以是的重心，故B正確；對(duì)于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以點(diǎn)是的垂心，故C正確；對(duì)于D，由得：角的平分線垂直于，所以；由得：，所以，所以為等邊三角形，故D正確．故選：ABCD．4．（2021·深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué)高三月考）（多選）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列正確的是（）A．若，則點(diǎn)在的中位線上B．若，則為的重心C．若，則為銳角三角形D．若，則與的面積比為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，，，，即，三點(diǎn)共線，又為的中位線，點(diǎn)在的中位線上，A正確；對(duì)于B，設(shè)中點(diǎn)為，由得：，又，，在中線上，且，為的重心，B正確；對(duì)于C，，與夾角為銳角，即為銳角，但此時(shí)有可能是直角或鈍角，故無法說明為銳角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，即，，D正確.故選：ABD.5．（2021·全國高三專題練習(xí)）（多選）點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A．已知平面向量、、滿足，且，則是等邊三角形B．若，則點(diǎn)為的垂心C．若，則點(diǎn)為的外心D．若，則點(diǎn)為的內(nèi)心【答案】AC【解析】選項(xiàng)A，平面向量、、滿足，且，，，即，，，的夾角為，同理、的夾角也為，是等邊三角形，故A正確；選項(xiàng)B，向量，分別表示在邊和上的單位向量，設(shè)為和，則它們的差是向量，則當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)在的平分線上，同理由，知點(diǎn)在的平分線上，故為的內(nèi)心而不一定是垂心，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，是以，為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線，而是該平行四邊形的另一條對(duì)角線，表示對(duì)角線垂直，從而這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，于是為的外心，故C正確；選項(xiàng)D，由得，，即，，同理可證，，，，，即點(diǎn)是的垂心而不一定時(shí)內(nèi)心，故D錯(cuò)誤．故選：AC．6．（2021·全國高三月考（理））在中，點(diǎn)為的外心，，則______.【答案】18【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，取點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，所以.故答案為：【題組二平面向量與三角函數(shù)】1．（2021·遼寧高三月考）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若則的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】因?yàn)?，所以所以，所以故為等邊三角?故選：B.2．（2021·河南高三月考（理））在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則邊上的中線長的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)是中點(diǎn)，則，，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，．故答案為：．3．（2021·河南商丘·高三月考（理））在中，，，為的垂心，且滿足，則___________.【答案】【解析】如圖所示，為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則.因?yàn)?，則，則，，由此可得.故答案為：.4．（2021·河南商丘·高三月考（理））在中，，，為的垂心，且滿足，則___________.【答案】【解析】如圖所示，為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則.因?yàn)?，則，則，，由此可得.故答案為：.5．（2021·河南商丘·高三月考（理））在中，，，為的垂心，且滿足，則___________.【答案】【解析】如圖所示，為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則.因?yàn)?，則，則，，由此可得.故答案為：.6．（2021·河南商丘·高三月考（理））在中，，，為的垂心，且滿足，則___________.【答案】【解析】如圖所示，為的中點(diǎn)，不妨設(shè)，則.因?yàn)?，則，則，，由此可得.故答案為：.7．（2021·浙江溫州·高三）已知中，邊上的高為2，H為上一動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值是__________．【答案】8【解析】因?yàn)?，H為上一動(dòng)點(diǎn)，即B，H，C三點(diǎn)共線，由共點(diǎn)的三個(gè)向量，終點(diǎn)共線的充要條件得，中，邊上的高AD=2，如圖：令A(yù)B=c，AC=b，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取最小值8．故答案為：8．8．（2021·上海黃浦·格致中學(xué)高三月考）已知．（1）若，求的值；（2）設(shè)，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到曲線，保持上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫降膱D像，且關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因，且，則有，即，于是得，所以的值是；(2)依題意，，，因，則，有，于是得，因方程在上有解，即在上有解，則，所以的取值范圍是.9．（2021·安徽裕安·六安二中高三月考）己知，，.（1）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)，關(guān)于的方程在上有解，求m的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可得再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），可得由，，得：，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）依題意，不等式在有解，設(shè)，令，則，∵，∴，∴∴，則，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．（2021·湖北高三月考）已知向量，.（1）若，且，求的值；（2）若函數(shù)，且，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由，得，即，所以或.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，得，，則.綜上，x的值為或.（2）.由，得，所以.【題組三平面向量與數(shù)列】1．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)且，內(nèi)的點(diǎn)均滿足與的面積比為，若，則的值為__．【答案】31【解析】延長，交于，因?yàn)榕c的面積比為，故到的距離為到的距離的兩倍，故，故即，，，因?yàn)榍夜簿€，為三角形內(nèi)部的點(diǎn)，故存在非零常數(shù)，使得，所以，故，故，即，又，故，所以，即是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，故，，故，故答案為：31．2．（2021·全國高三專題練習(xí)）在中，是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)列在線段上，且滿足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)__．【答案】【解析】由題可知，，即，又，故點(diǎn)在線段的延長線上且為的中點(diǎn)，故，故，又點(diǎn)列在線段上，故共線，而，，所以，故數(shù)列為等比數(shù)列，所以通項(xiàng)，故答案為：．3．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，平面內(nèi)三個(gè)不共線的向量，，，滿足，，，若，，在同一直線上，則___________.【答案】【解析】設(shè)，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是周期為的周期數(shù)列，因?yàn)?，所以，所以，所以，故答案為?4．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)，，是一組向量，若，且，且，則__【答案】【解析】設(shè)，，則，，由，且，，，，，，，……，……，，累加可得，，，，，，故答案為：【題組四平面向量與其他知識(shí)】1（2021·四川高三（理））設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），且滿足，則直線的斜率為______.【答案】【解析】方法1：設(shè)，，由題意可設(shè)直線的方程為.由，得，則有.①由消去，得.則，②；.③由①②得，代入③得即，則的斜率為.方法2：設(shè)，，則，.由，得，即，①由，得，即.②由①②得，，則，則直線傾斜角為60°.方法3：如圖，設(shè)直線的傾斜角為，為橢圓的右準(zhǔn)線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸，且交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸，且交軸于點(diǎn)，則有，即；，即.而，則，即，解得，則直線的斜率為.故答案為：2．（2021·四川高三（文））設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作傾斜角為45°的直線與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），且，則______.【答案】【解析】設(shè)，，由題意知直線的方程為.由，得，則有.①由消去，得.所以，，代入①得.故答案為：3．（2021·廣東廣州市·高三月考）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在x軸上方），且，則橢圓的離心率為___________.【答案】【解析】設(shè)，由題意知，的斜率為，則直線方程為，設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，整理得，則，，且，可得，則，，所以，可得，所以故答案為：．4．（2021·沙坪壩·重慶一中高三月考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作直線l垂直于雙曲線的一條漸近線，直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍為________．【答案】【解析】由題意，雙曲線C的漸近線為，若過作直線l垂直于B，交于A，.∵且，∴在、之間，如上圖示，令，∴，，則，，∴，即，∴，故，得，又，∴.故答案為：【題組五最值（范圍）】1．（2021·全國（文））已知是等腰直角三角形，，，是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．4 C．6 D．【答案】A【解析】如圖建立坐標(biāo)系，則，設(shè),最小值為-4，故選：A.2．（2021·天津南開·高三）在直角梯形中，，，，為邊上一點(diǎn)，，為直線上一點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，、所在的直線分別為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，解得，，所以直線所在的直線方程為，設(shè)，，，所以，因?yàn)闉橹本€上一點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)有最大值，為，故選：C.3（2021·全國高三專題練習(xí)）已知A，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)AB中點(diǎn)為M，則，且，所以M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，所以，又M的軌跡方程為：，所以P到M軌跡的圓心的距離，所以的最小值為d-r=3-1=2，所以的最小值為.故選：C4．（2021·江西上饒·高三（理））如圖，是圓的一條直徑且，是圓的一條弦，且，點(diǎn)在線段上，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，為使最小，只需，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，此時(shí)為中點(diǎn)時(shí)；又，因此，所以的最小值為.故選：B.5．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知向量，，，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值是_________．【答案】【解析】由向量三角不等式的關(guān)系，又對(duì)任意單位向量，，當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)等號(hào)成立又則的最大值是．故答案為：6．（2021·浙江省富陽中學(xué)）在平面內(nèi)，若有，，則的最大值為________．【答案】【解析】根據(jù)條件，；；，如圖，作，則，連接，取的中點(diǎn)，連接，則；由得，；；作，連接，，則；；點(diǎn)在以為直徑的圓上；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到圓的最右側(cè)時(shí)，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影為，所以,故答案為：7．（2021·浙江省普陀中學(xué)高三開學(xué)考試）已知平面向量、、滿足，，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】如圖，設(shè)