第2章個別保單的理賠額與理賠次數(shù)模型

第2章理賠額和理賠次數(shù)分布2.1理賠額分布2.2理賠額次數(shù)分布本章的目的之一就是討論如何根據(jù)一張保單的損失額的分布來確定理賠額的分布。理賠過程的兩個步驟:----

（1）發(fā)生保險事故，造成財產(chǎn)損失或人身傷亡，被保險人提出索賠；

（2）保險公司根據(jù)保險事故的實際情況進行理賠.注：不是所有的保險事故都必然引起索賠；保險公司的理賠額也并不是等于實際的損失額2.1理賠額的分布保險中的理賠和損失都是不確定的，而且可以用貨幣去度量，因此常用隨機變量去描述對于隨機變量的把握莫過于獲得它的分布獲得它的分布通?？梢杂靡恍┙y(tǒng)計的方法，包括分布擬合的方法、bayes方法和隨機模擬的方法隨機變量的描述回顧(1)密度函數(shù)pdf(2)分布函數(shù)cdf(3)矩母函數(shù)mgf（momentgenerationfunction)和母函數(shù)(1)和(2)都是我們所熟知的，本節(jié)重點介紹矩母函數(shù)定義2.1.1：對一個非負隨機變量X，其矩母函數(shù)定義為

:定義2.1.2：對一個非負隨機變量X，其母函數(shù)定義為

:關系（1）與分布函數(shù)一一對應；（2）與K階原點矩的關系（3）相互獨立的隨機變量的和的矩母函數(shù)的求法若Y＝aX＋b，則Y的矩母函數(shù)為：矩母函數(shù)和母函數(shù)的性質(zhì)：保險損失或賠付中一般涉及兩個隨機變量：索賠次數(shù)和每次索賠金額。索賠次數(shù)用離散的隨機變量來刻畫，索賠金額用連續(xù)的隨機變量來刻畫。因此需要大家記住一些常見的隨機變量的分布（包括概率密度函數(shù)、均值、方差、矩母函數(shù)）。2.1.1損失額與理賠額損失額：指承保標的發(fā)生實際損失金額的大小理賠額：指保險公司按照保單條款所實際支付的金額，也成為“賠付額”。一般地，理賠額分為兩類：完全理賠和部分理賠。完全理賠是指保險公司按實際損失進行賠付；部分理賠的賠付會低于實際損失額。對于保險公司而言，理賠額比損失額更值得關心.

2.1.2常見的損失額分布單個保單的損失額應該具有下面的分布特征：（1）損失額是非負的，因此（2）損失額應該是連續(xù)變化的，因此f(x)是連續(xù)的；（3）損失額較小的保險事故發(fā)生的可能性較大，而損失額較大的保險事故發(fā)生的可能性較小，但不可以忽略。直觀看來，損失額概率密度函數(shù)的尾部較厚滿足上述性質(zhì)的隨機變量很多，常見的分布有指數(shù)分布伽瑪分布對數(shù)正態(tài)分布帕累托分布韋伯分布幾種常見的理賠形式：(1)保單限額(2)免賠額(3)保單限額+免賠額(4)相對免賠額(5)比例分擔免陪(6)保單限額+免賠額+比例分擔免陪2.2常見的理賠額分布1、保單限額（policylimit）保單限額是指每次保險事故中按保單約定的最高賠償金額。當損失額超過保單限額時，投保人也只能獲得最高賠償額。若保單限額為

L，實際損失額為X，則理賠額Y

為：

Y的分布從上述理賠額的公式可以看出，理賠額

的分布是由連續(xù)和離散兩部分構(gòu)成的，它的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)和損失額X

的分布具有如下關系：跳躍函數(shù)Y的期望定義2-1設X是一個隨機變量，給定實數(shù)d，定義有限期望函數(shù)為：對于非負隨機變量X，對都存在(2.1.1)2、免賠額（deductible）免賠額---當損失額低于某一限額時，保險公司不予賠償，當損失額高出該限額時，保險人只賠償高出的部分，這一限額稱為普通免賠額，簡稱為免賠額.設保險事故的實際損失為

，其分布函數(shù)為

，保單規(guī)定免賠額為

，則被保險人得到的實際賠付記為

則

按這種方式投保，則投保人自身承擔的損失，即承擔的風險為：這里我們看到實際損失X由保險人和被保險人共同承擔，保險人承擔的部分為

，被保險人承擔

的部分。此理賠額可以寫成Y的分布

Y表示在X>d的條件下，隨機變量X-d的分布，Y是一個條件隨機變量，其取值范圍是y>0因此，理賠額

的分布函數(shù)

為如下的條件分布：當y>0當

時，

，因此，Y的概率密度函數(shù)為：Y的期望例2-1-2已知某險種的實際損失額的分布為：～保單規(guī)定免賠額為

1

，求

和理賠額

Y

的分布。【解】根據(jù)題意，所求分布列于表2-1-1:

例2-1-3已知某險種的實際損失分布為帕累托分布：若保單規(guī)定免賠額為

元，求理賠額

的分布。【解】3、保單限額+免賠額若保單同時規(guī)定保單限額

L

和免賠額

d

，則實際賠付額為而每次理賠的理賠額

可以表示為0X-dL-d未定義X-dL-dY的分布當

時，理賠額Y的分布函數(shù)為：

當

時，

理賠額

的概率密度函數(shù)為：為跳躍函數(shù)（1）帶有免賠額d時，被保險人獲得的實際賠付額的期望和保險人的理賠額Y的期望（2.1.5）（2）保單同時規(guī)定最高保單限額為L，免賠額d時，被保險人的實際賠付額I(X)的期望和保險人的理賠額Y的期望：（2.1.6）（2.1.7）（2.1.8）例2--4例2--5見書p244、相對免賠額(franchisedeductible)在保險標的發(fā)生損失時，損失必須滿足一定的條件，如超過一定的范圍或保額的一定百分比時，保險人才對全部損失承擔賠償責任，未達到規(guī)定金額時，全部損失均不予賠償。假定保單規(guī)定相對免賠額為d，則每次損失事件中被保險人獲得的實際賠付額I(X)為Y為：5、比例分擔免賠6、保單限額+免賠額+比例分擔免賠當保單限額

、免賠額

和比例分擔系數(shù)

同時存在時，被保險人獲得的實際賠付額

和保險人的理賠額

分別為：和的期望定理2-1-1設X表示實際損失額，分布函數(shù)為若保單規(guī)定了免賠額為d，保單限額為L以及賠付比例為a，則實際賠付額I(X)和理賠額的期望為：例2-1-6設某險種保單損失額X的概率密度函數(shù)為保單約定免賠額為5個單位，保單限額為25個單位，賠付比例為80%。問：（1）保單發(fā)生索賠的概率是多少？（2）理賠額Y的期望是多少？（3）當免賠額從5個單位提高到10個單位，平均理賠額將會發(fā)生什么變化？2.1.5通貨膨脹對理賠額的影響通貨膨脹對理賠額的影響主要體現(xiàn)在對損失分布的影響，如根據(jù)過去數(shù)據(jù)給出某險種的損失額為X，通貨膨脹率為r，則明年的損失額將為Z=(1+r)X，在考慮賠付額和理賠額時，都將以Z作為損失額。2.2理賠次數(shù)的分布

1、泊松分布(Poisson)

對于保險公司而言，客戶因發(fā)生損失而提出理賠的人數(shù)類似于等待服務現(xiàn)象，因此對大多數(shù)險種來說，個別保單的理賠次數(shù)可用泊松分布來表示，即在單位時間內(nèi)個別保單發(fā)生理賠次數(shù)N的分布列為：泊松分布的性質(zhì)：（1）均值和方差（2）母函數(shù)（3）矩母函數(shù)

（4）可加性（5）可分解性

注意：柏松分布的均值和方差相等，但在實際運用中，并不是所有險種的保單損失次數(shù)或理賠次數(shù)的均值和方差都相等。

2、負二項分布

應用背景：貝努里實驗中第r次成功正好出現(xiàn)在第r+k次試驗的概率，k為r次成功前失敗的次數(shù)。負二項分布的性質(zhì)（1）當r＝1，負二項分布退化為幾何分布（2）母函數(shù)與矩母函數(shù)將化簡得到（3）均值和方差3、二項分布應用背景：m次貝努里實驗中成功次數(shù)的分布。

適用描述理賠次數(shù)有限的索賠情況例如：設有100個40歲的投保人投保生命險，p表示一個投保人明年死亡的概率，則明年死亡人數(shù)的分布是二項分布二項分布的性質(zhì)（1）母函數(shù)與矩母函數(shù)（2）均值和方差pzpz+(1-p)1-p1+p(z-1)分布均值方差矩母函數(shù)二項分布mpmp(1-p)負二項分布rbrb(1+b)二項分布B(m,p)與負二項分布NB(r,b)的比較4、（a,b,0）分布族上述3種分布都可以用(a,b,0)分布來表示

定義2.2：設隨機變量N的分布列滿足則稱分布族為(a,b,0)分布族注：泊松分布，二項分布，負二項分布是（a,b,0)分布族泊松分布：負二項分布：因此，當r＝1時，負二項分布是幾何分布，二項分布：m二項分布分布abp0泊松分布0l負二項分布（a,b,0）分布族例4-1-2：設N是一隨機變量，令如果問N的分布是什么？解：由知，N服從二項式分布例4-1-2：設X的分布屬于(a,b,0)class，已知求可以證明，也只有這些分布滿足上述的遞推公式。遞推公式（2-2-2）也可以表示為：即函數(shù)是k的線性函數(shù)，它的圖形是一條斜率為a、截距為b的直線。由表2-3可以看出，柏松分布、負二項分布和二項分布的斜率a分別是0、正數(shù)和負數(shù)，這一特點可以幫助選擇合適的理賠次數(shù)分布。分辨（a，b，0）族的方法：首先，可以按照下面的近似公式畫出關于k的圖形：若由觀測值畫出的圖形近似是一條直線，那么大致可判斷其屬于(a,b,0)分布族，直線的斜率表示適用的模型。注意:如果樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了某個nk為0，那么這種方法就不太適用。（a,b,1）分布族在非壽險業(yè)務中免賠額和保單限額的存在可能會使得理賠次數(shù)的分許很容易出現(xiàn)零點的概率異常，有必要對（a,b,0）分布族在零點的值做調(diào)整。

定義2.3：設隨機變量N的分布列滿足則稱分布族為(a,b,1)分布族(a,b,1)分布族包括兩個子類：

零點截斷分布(zero-truncation)—ZT分布：當時，N的取值從k=1開始，從概率分布函數(shù)的圖形上看，相當于在(a,b,0)類分布的基礎上再截去零點的值，其概率分布用表示。

零點修正分布(zero-modifieation)—ZM分布：當時，N的取值是由(a,b,0)類修正得到的，其概率分布函數(shù)用表示。（a,b,1）概率計算步驟：第一步：計算原分布的概率第二步：計算零點截斷分布的概率第三步：計算零點修正分布的概率給定負二項分布及其零截斷和零調(diào)整：例2.2.3理賠次數(shù)分布的混合分布背景：從保單中隨意抽取一份保單，求該保單的理賠次數(shù)分布。同質(zhì)性：指所有的保單相互獨立，且都有相同的風險水平，即各保單的損失額的分布相同，損失次數(shù)的分布也相同。非同質(zhì)性：保單組合中的每個保單風險水平各不相同。數(shù)學模型設Q是一個隨機變量，當Q＝q時，N的分布為令為Q的累積分布，u(q)為q的密度函數(shù)，則N的分布列為

或者N的分布稱為混合分布。

當為泊松分布時，N的分布稱為混合泊松分布混合分布性質(zhì)1.母函數(shù)或者其中PN(z|q)表示在Q＝q條件下，N的母函數(shù)。2