第2章個(gè)別保單的理賠額與理賠次數(shù)模型

第2章理賠額和理賠次數(shù)分布2.1理賠額分布2.2理賠額次數(shù)分布本章的目的之一就是討論如何根據(jù)一張保單的損失額的分布來確定理賠額的分布。理賠過程的兩個(gè)步驟:----

（1）發(fā)生保險(xiǎn)事故，造成財(cái)產(chǎn)損失或人身傷亡，被保險(xiǎn)人提出索賠；

（2）保險(xiǎn)公司根據(jù)保險(xiǎn)事故的實(shí)際情況進(jìn)行理賠.注：不是所有的保險(xiǎn)事故都必然引起索賠；保險(xiǎn)公司的理賠額也并不是等于實(shí)際的損失額2.1理賠額的分布保險(xiǎn)中的理賠和損失都是不確定的，而且可以用貨幣去度量，因此常用隨機(jī)變量去描述對(duì)于隨機(jī)變量的把握莫過于獲得它的分布獲得它的分布通?？梢杂靡恍┙y(tǒng)計(jì)的方法，包括分布擬合的方法、bayes方法和隨機(jī)模擬的方法隨機(jī)變量的描述回顧(1)密度函數(shù)pdf(2)分布函數(shù)cdf(3)矩母函數(shù)mgf（momentgenerationfunction)和母函數(shù)(1)和(2)都是我們所熟知的，本節(jié)重點(diǎn)介紹矩母函數(shù)定義2.1.1：對(duì)一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量X，其矩母函數(shù)定義為

:定義2.1.2：對(duì)一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量X，其母函數(shù)定義為

:關(guān)系（1）與分布函數(shù)一一對(duì)應(yīng)；（2）與K階原點(diǎn)矩的關(guān)系（3）相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和的矩母函數(shù)的求法若Y＝aX＋b，則Y的矩母函數(shù)為：矩母函數(shù)和母函數(shù)的性質(zhì)：保險(xiǎn)損失或賠付中一般涉及兩個(gè)隨機(jī)變量：索賠次數(shù)和每次索賠金額。索賠次數(shù)用離散的隨機(jī)變量來刻畫，索賠金額用連續(xù)的隨機(jī)變量來刻畫。因此需要大家記住一些常見的隨機(jī)變量的分布（包括概率密度函數(shù)、均值、方差、矩母函數(shù)）。2.1.1損失額與理賠額損失額：指承保標(biāo)的發(fā)生實(shí)際損失金額的大小理賠額：指保險(xiǎn)公司按照保單條款所實(shí)際支付的金額，也成為“賠付額”。一般地，理賠額分為兩類：完全理賠和部分理賠。完全理賠是指保險(xiǎn)公司按實(shí)際損失進(jìn)行賠付；部分理賠的賠付會(huì)低于實(shí)際損失額。對(duì)于保險(xiǎn)公司而言，理賠額比損失額更值得關(guān)心.

2.1.2常見的損失額分布單個(gè)保單的損失額應(yīng)該具有下面的分布特征：（1）損失額是非負(fù)的，因此（2）損失額應(yīng)該是連續(xù)變化的，因此f(x)是連續(xù)的；（3）損失額較小的保險(xiǎn)事故發(fā)生的可能性較大，而損失額較大的保險(xiǎn)事故發(fā)生的可能性較小，但不可以忽略。直觀看來，損失額概率密度函數(shù)的尾部較厚滿足上述性質(zhì)的隨機(jī)變量很多，常見的分布有指數(shù)分布伽瑪分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布帕累托分布韋伯分布幾種常見的理賠形式：(1)保單限額(2)免賠額(3)保單限額+免賠額(4)相對(duì)免賠額(5)比例分擔(dān)免陪(6)保單限額+免賠額+比例分擔(dān)免陪2.2常見的理賠額分布1、保單限額（policylimit）保單限額是指每次保險(xiǎn)事故中按保單約定的最高賠償金額。當(dāng)損失額超過保單限額時(shí)，投保人也只能獲得最高賠償額。若保單限額為

L，實(shí)際損失額為X，則理賠額Y

為：

Y的分布從上述理賠額的公式可以看出，理賠額

的分布是由連續(xù)和離散兩部分構(gòu)成的，它的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)和損失額X

的分布具有如下關(guān)系：跳躍函數(shù)Y的期望定義2-1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，給定實(shí)數(shù)d，定義有限期望函數(shù)為：對(duì)于非負(fù)隨機(jī)變量X，對(duì)都存在(2.1.1)2、免賠額（deductible）免賠額---當(dāng)損失額低于某一限額時(shí)，保險(xiǎn)公司不予賠償，當(dāng)損失額高出該限額時(shí)，保險(xiǎn)人只賠償高出的部分，這一限額稱為普通免賠額，簡(jiǎn)稱為免賠額.設(shè)保險(xiǎn)事故的實(shí)際損失為

，其分布函數(shù)為

，保單規(guī)定免賠額為

，則被保險(xiǎn)人得到的實(shí)際賠付記為

則

按這種方式投保，則投保人自身承擔(dān)的損失，即承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)為：這里我們看到實(shí)際損失X由保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人共同承擔(dān)，保險(xiǎn)人承擔(dān)的部分為

，被保險(xiǎn)人承擔(dān)

的部分。此理賠額可以寫成Y的分布

Y表示在X>d的條件下，隨機(jī)變量X-d的分布，Y是一個(gè)條件隨機(jī)變量，其取值范圍是y>0因此，理賠額

的分布函數(shù)

為如下的條件分布：當(dāng)y>0當(dāng)

時(shí)，

，因此，Y的概率密度函數(shù)為：Y的期望例2-1-2已知某險(xiǎn)種的實(shí)際損失額的分布為：～保單規(guī)定免賠額為

1

，求

和理賠額

Y

的分布。【解】根據(jù)題意，所求分布列于表2-1-1:

例2-1-3已知某險(xiǎn)種的實(shí)際損失分布為帕累托分布：若保單規(guī)定免賠額為

元，求理賠額

的分布?！窘狻?、保單限額+免賠額若保單同時(shí)規(guī)定保單限額

L

和免賠額

d

，則實(shí)際賠付額為而每次理賠的理賠額

可以表示為0X-dL-d未定義X-dL-dY的分布當(dāng)

時(shí)，理賠額Y的分布函數(shù)為：

當(dāng)

時(shí)，

理賠額

的概率密度函數(shù)為：為跳躍函數(shù)（1）帶有免賠額d時(shí)，被保險(xiǎn)人獲得的實(shí)際賠付額的期望和保險(xiǎn)人的理賠額Y的期望（2.1.5）（2）保單同時(shí)規(guī)定最高保單限額為L(zhǎng)，免賠額d時(shí)，被保險(xiǎn)人的實(shí)際賠付額I(X)的期望和保險(xiǎn)人的理賠額Y的期望：（2.1.6）（2.1.7）（2.1.8）例2--4例2--5見書p244、相對(duì)免賠額(franchisedeductible)在保險(xiǎn)標(biāo)的發(fā)生損失時(shí)，損失必須滿足一定的條件，如超過一定的范圍或保額的一定百分比時(shí)，保險(xiǎn)人才對(duì)全部損失承擔(dān)賠償責(zé)任，未達(dá)到規(guī)定金額時(shí)，全部損失均不予賠償。假定保單規(guī)定相對(duì)免賠額為d，則每次損失事件中被保險(xiǎn)人獲得的實(shí)際賠付額I(X)為Y為：5、比例分擔(dān)免賠6、保單限額+免賠額+比例分擔(dān)免賠當(dāng)保單限額

、免賠額

和比例分擔(dān)系數(shù)

同時(shí)存在時(shí)，被保險(xiǎn)人獲得的實(shí)際賠付額

和保險(xiǎn)人的理賠額

分別為：和的期望定理2-1-1設(shè)X表示實(shí)際損失額，分布函數(shù)為若保單規(guī)定了免賠額為d，保單限額為L(zhǎng)以及賠付比例為a，則實(shí)際賠付額I(X)和理賠額的期望為：例2-1-6設(shè)某險(xiǎn)種保單損失額X的概率密度函數(shù)為保單約定免賠額為5個(gè)單位，保單限額為25個(gè)單位，賠付比例為80%。問：（1）保單發(fā)生索賠的概率是多少？（2）理賠額Y的期望是多少？（3）當(dāng)免賠額從5個(gè)單位提高到10個(gè)單位，平均理賠額將會(huì)發(fā)生什么變化？2.1.5通貨膨脹對(duì)理賠額的影響通貨膨脹對(duì)理賠額的影響主要體現(xiàn)在對(duì)損失分布的影響，如根據(jù)過去數(shù)據(jù)給出某險(xiǎn)種的損失額為X，通貨膨脹率為r，則明年的損失額將為Z=(1+r)X，在考慮賠付額和理賠額時(shí)，都將以Z作為損失額。2.2理賠次數(shù)的分布

1、泊松分布(Poisson)

對(duì)于保險(xiǎn)公司而言，客戶因發(fā)生損失而提出理賠的人數(shù)類似于等待服務(wù)現(xiàn)象，因此對(duì)大多數(shù)險(xiǎn)種來說，個(gè)別保單的理賠次數(shù)可用泊松分布來表示，即在單位時(shí)間內(nèi)個(gè)別保單發(fā)生理賠次數(shù)N的分布列為：泊松分布的性質(zhì)：（1）均值和方差（2）母函數(shù)（3）矩母函數(shù)

（4）可加性（5）可分解性

注意：柏松分布的均值和方差相等，但在實(shí)際運(yùn)用中，并不是所有險(xiǎn)種的保單損失次數(shù)或理賠次數(shù)的均值和方差都相等。

2、負(fù)二項(xiàng)分布

應(yīng)用背景：貝努里實(shí)驗(yàn)中第r次成功正好出現(xiàn)在第r+k次試驗(yàn)的概率，k為r次成功前失敗的次數(shù)。負(fù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)（1）當(dāng)r＝1，負(fù)二項(xiàng)分布退化為幾何分布（2）母函數(shù)與矩母函數(shù)將化簡(jiǎn)得到（3）均值和方差3、二項(xiàng)分布應(yīng)用背景：m次貝努里實(shí)驗(yàn)中成功次數(shù)的分布。

適用描述理賠次數(shù)有限的索賠情況例如：設(shè)有100個(gè)40歲的投保人投保生命險(xiǎn)，p表示一個(gè)投保人明年死亡的概率，則明年死亡人數(shù)的分布是二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的性質(zhì)（1）母函數(shù)與矩母函數(shù)（2）均值和方差pzpz+(1-p)1-p1+p(z-1)分布均值方差矩母函數(shù)二項(xiàng)分布mpmp(1-p)負(fù)二項(xiàng)分布rbrb(1+b)二項(xiàng)分布B(m,p)與負(fù)二項(xiàng)分布NB(r,b)的比較4、（a,b,0）分布族上述3種分布都可以用(a,b,0)分布來表示

定義2.2：設(shè)隨機(jī)變量N的分布列滿足則稱分布族為(a,b,0)分布族注：泊松分布，二項(xiàng)分布，負(fù)二項(xiàng)分布是（a,b,0)分布族泊松分布：負(fù)二項(xiàng)分布：因此，當(dāng)r＝1時(shí)，負(fù)二項(xiàng)分布是幾何分布，二項(xiàng)分布：m二項(xiàng)分布分布abp0泊松分布0l負(fù)二項(xiàng)分布（a,b,0）分布族例4-1-2：設(shè)N是一隨機(jī)變量，令如果問N的分布是什么？解：由知，N服從二項(xiàng)式分布例4-1-2：設(shè)X的分布屬于(a,b,0)class，已知求可以證明，也只有這些分布滿足上述的遞推公式。遞推公式（2-2-2）也可以表示為：即函數(shù)是k的線性函數(shù)，它的圖形是一條斜率為a、截距為b的直線。由表2-3可以看出，柏松分布、負(fù)二項(xiàng)分布和二項(xiàng)分布的斜率a分別是0、正數(shù)和負(fù)數(shù)，這一特點(diǎn)可以幫助選擇合適的理賠次數(shù)分布。分辨（a，b，0）族的方法：首先，可以按照下面的近似公式畫出關(guān)于k的圖形：若由觀測(cè)值畫出的圖形近似是一條直線，那么大致可判斷其屬于(a,b,0)分布族，直線的斜率表示適用的模型。注意:如果樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了某個(gè)nk為0，那么這種方法就不太適用。（a,b,1）分布族在非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)中免賠額和保單限額的存在可能會(huì)使得理賠次數(shù)的分許很容易出現(xiàn)零點(diǎn)的概率異常，有必要對(duì)（a,b,0）分布族在零點(diǎn)的值做調(diào)整。

定義2.3：設(shè)隨機(jī)變量N的分布列滿足則稱分布族為(a,b,1)分布族(a,b,1)分布族包括兩個(gè)子類：

零點(diǎn)截?cái)喾植?zero-truncation)—ZT分布：當(dāng)時(shí)，N的取值從k=1開始，從概率分布函數(shù)的圖形上看，相當(dāng)于在(a,b,0)類分布的基礎(chǔ)上再截去零點(diǎn)的值，其概率分布用表示。

零點(diǎn)修正分布(zero-modifieation)—ZM分布：當(dāng)時(shí)，N的取值是由(a,b,0)類修正得到的，其概率分布函數(shù)用表示。（a,b,1）概率計(jì)算步驟：第一步：計(jì)算原分布的概率第二步：計(jì)算零點(diǎn)截?cái)喾植嫉母怕实谌剑河?jì)算零點(diǎn)修正分布的概率給定負(fù)二項(xiàng)分布及其零截?cái)嗪土阏{(diào)整：例2.2.3理賠次數(shù)分布的混合分布背景：從保單中隨意抽取一份保單，求該保單的理賠次數(shù)分布。同質(zhì)性：指所有的保單相互獨(dú)立，且都有相同的風(fēng)險(xiǎn)水平，即各保單的損失額的分布相同，損失次數(shù)的分布也相同。非同質(zhì)性：保單組合中的每個(gè)保單風(fēng)險(xiǎn)水平各不相同。數(shù)學(xué)模型設(shè)Q是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)Q＝q時(shí)，N的分布為令為Q的累積分布，u(q)為q的密度函數(shù)，則N的分布列為

或者N的分布稱為混合分布。

當(dāng)為泊松分布時(shí)，N的分布稱為混合泊松分布混合分布性質(zhì)1.母函數(shù)或者其中PN(z|q)表示在Q＝q條件下，N的母函數(shù)。2