第3章正弦交流電

第3章正弦穩(wěn)態(tài)交流電路3.1正弦量的三要素與有效值3.2正弦量的相量表示法及相量電路模型3.3簡單正弦交流電路的分析3.4正弦交流電路中的功率3.5正弦交流電路中的諧振

3.6三相交流電路本章小結(jié)

3.1正弦量的三要素與有效值3.1.1正弦量的三要素隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流等物理量統(tǒng)稱為正弦量。正弦電流的波形如圖3.1(a)所示，其函數(shù)表達式為

(3.1)

(a)(b)

圖3.1正弦量圖中正半波表示電流的實際方向與參考方向一致；負半波表示電流的實際方向與參考方向相反。圖3.1(a)與圖3.1(b)波形的區(qū)別在于選取了不同的坐標原點（即計時起點），計時起點可以任意選取。圖3.1(b)的波形表達式為(3.2)上式中i表示某時刻t的電流值，稱為瞬時值。稱為正弦電流的幅值（也稱最大值）,稱為角頻率，稱為初相位。幾種不同計時起點的正弦電流波形如圖3.2所示。圖3.2幾種不同計時起點的正弦電流波形一個正弦量在參考方向確定的條件下，可由頻率、幅值和初相位完全確定，這三個參數(shù)稱為正弦量的三要素，下面分別討論它們。1.周期、頻率、角頻率周期、頻率、角頻率分別用字母Ｔ，和表示，其單位分別為秒（s）、赫茲（Hz）和弧度／秒（rad/s），它們都是表示正弦量變化快慢的參數(shù)。有關(guān)它們的定義在物理學(xué)中已討論，在此不重復(fù)。Ｔ、和三者的關(guān)系是：

各種技術(shù)領(lǐng)域使用不同頻率的交流電。我國電力工業(yè)標準頻率（簡稱工頻）為50Hz；美國和日本的工頻為60Hz；電子技術(shù)中所用的音頻頻率一般在20Hz～20KHz范圍；無線電的頻率高達500KHz～3×105MHz。2.幅值瞬時值中的最大值稱為幅值。對于給定的正弦量，其幅值是一個定值，用帶下標m的大寫字母表示，例如、、分別表示正弦電流、電壓和電動勢的幅值。幅值（最大值）是用來表示正弦量大小的參數(shù)。3.相位、初相位和相位差式（3.1）和式（3.2）中和（）稱為正弦量的相位角，簡稱相位，相位確定正弦量變化的瞬時狀態(tài)，其單位為弧度（rad），有

（3.3）時為了方便也可以用度（）。

t=0時的相位稱為初相位。在式（3.1）中初相位為零，而式（3.2）中的初相位為。正弦量的初相位與計時起點的選取有關(guān)，但計時起點一旦選定，正弦量的初相位就唯一確定。如果計時起點與正弦量正半波的起點重合，則初相位，如圖3.2(a)所示，電流初相位；初相位；初相位；初相位。兩個同頻率正弦量的相位之差稱為相位差，用表示，例如：圖3.2中、表達式分別為它們的相位差為從上述分析中可見：兩個同頻率的相位差等于它們初相位之差，是不隨時間改變的常量。一般情況下電壓、電流瞬時表達式分別表示為則它們的相位差為

當時，則稱u超前i為度，或稱i滯后u為度，其意義是u比i先到達最大值或先到達零值。當<0時，則稱u滯后i為度，或稱i超前u為度。例如圖3.3所示相位差的幾種情況，若兩個同頻率正弦量的相位差為零，即=0時，稱之為同相，如圖3.3(a)所示；如圖3.3(b)所示，因為相位差，所以超前角度為；若相位差=時，稱之為反相，如圖3.3(c)所示；若相位差為，即時，稱之為正交，如圖3.3(d)所示。

圖3.3相位差的幾種情況例3.1已知通過某支路的正弦電流，參考方向如圖3.4所示，其，而初相位。試寫出電流的瞬時表達式，并求當s和s時電流的瞬時值的大小和實際方向。解首先求出該電流的角頻率為圖3.4例3.1的圖故電流瞬時表達式為當s時

i為負值，表示電流實際方向與參考方向相反。當s時i為正值，表示電流實際方向與參考方向一致。

例3.2

已知在選定參考方向的條件下，正弦量的波形如圖3.5所示,試寫出正弦量的解析式。圖3.5例3.2的圖解

例3.3

已知正弦電壓，正弦電流。求它們的相位差，并說明誰超前，誰滯后？解由于u，i為同頻率正弦量，所以它們可以進行相位比較。因為故有相位差為，即u超前i

為1。

3.1.2正弦量的有效值1.有效值的定義正弦交流電壓和電流的大小隨時間變化而變化，通常我們說某交流電壓為多少伏，某交流電流為多少安，都是指有效值而言。交流電的有效值一般用大寫字母表示，如E、U、I分別表示電動勢、電壓和電流的有效值。交流電流的有效值是根據(jù)電流熱效應(yīng)來確定的。在圖3.6中，兩個阻值相同的電阻分別通過直流電流I和正弦交流電流i，如在相同時間內(nèi)（交流電的一個周期T時間內(nèi)），電阻所消耗的電能是相等的，則這時直流電流I的值稱為交流電流的有效值。

在一個周期T內(nèi)，交流電流在電阻上消耗的電能為

在相同時間內(nèi)，直流電流在電阻上消耗的電能為

令上兩式相等，即則交流電流有效值的定義為圖3.6交流電流的有效值定義（3.4）

式（3.4）適應(yīng)一切周期量，它又叫方均根值。2.正弦量的有效值對于正弦電流的有效值為

故(3.5)

同理，正弦電壓和電動勢的有效值分別為請注意：上述有效值與最大值的關(guān)系式只適用于正弦量。有效值應(yīng)用很廣，例如，用交流電表測得的電流和電壓值為有效值；各種交流電氣設(shè)備銘牌上所標的電壓和電流值也是有效值。只有在說明某些電氣設(shè)備的耐壓等場合時才用到最大值。

例3.4已知某正弦電流，當t=o時，其值i(0)=1A，并已知初相位為，試求該電流的最大值和有效值。

解根據(jù)題意，寫出正弦電流的瞬時表達式為：當t=0時故得最大值所以有效值為

例3.5

電容器的耐壓值為250V，問能否用在220V的單相交流電源上？

解因為220V的單相交流電源為正弦電壓,其振幅值為311V，大于其耐壓值250V，電容可能被擊穿,所以不能接在220V的單相電源上。各種電器件和電氣設(shè)備的絕緣水平（耐壓值）,要按最大值考慮。例3.6

一個正弦電壓的初相為60,

有效值為100V，試求它的解析式。

解因為電壓有效值U=100V,所以其最大值為，則電壓的解析式為。

3.2正弦量的相量表示法及相量電路模型3.2.1復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí)

1.復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中常用表示復(fù)數(shù)。其中a為實部，b為虛部，稱為虛單位。在電工技術(shù)中，為區(qū)別于電流的符號，虛單位常用j表示。復(fù)數(shù)的矢量表示如圖3.8所示。它們之間的關(guān)系為圖3.8復(fù)數(shù)的矢量表示2.復(fù)數(shù)的四種形式一個復(fù)數(shù)A可表示為下面幾種形式：

A=a+jb

，或A=

，或

A=

，或

A=它們分別稱為復(fù)數(shù)A的代數(shù)形式、指數(shù)形式。極坐標形式和三角形式。a和b分別為復(fù)數(shù)的實部和虛部，和分別為復(fù)數(shù)的模和幅角。

例3.7

寫出復(fù)數(shù)A1=4－j3，A2=－3＋j4的極坐標形式。解A1的模；輻角，則A1的極坐標形式為。

A2的模；輻角，則A2的極坐標形式為。例3.8

寫出復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式。解三角形式A=100（cos30°+jsin30°）

代數(shù)形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50

3.復(fù)數(shù)的四則運算

(1)復(fù)數(shù)的加減法設(shè)則

復(fù)數(shù)的乘除法例3.9已知復(fù)數(shù)A=3+j5,B=4-j3，求它們的和、差、積和商。解因為A=3+j5=；B=4－j3=所以：A+B=(3+j5)+(4-j3)=(3+4)+j(5-3)=7+j2A－B=(3+j5)－(4－j3)=(3－4)+j(5+3)=－1+j83.2.2正弦量的相量表示法一個正弦量是由它的幅值，頻率和初相位三要素決定的?？梢宰C明，在線性正弦交流電路中，各處的電壓和電流都是與電源同頻率的正弦量，而電源的頻率一般是已知的。因此，計算正弦交流電路中的電壓和電流，可歸結(jié)于計算它們的幅值和初相位，即在頻率已知的情況下，正弦量就由幅值和初相位所確定。而一個復(fù)數(shù)是由模和幅角來確定，所以，可以用復(fù)數(shù)來表示正弦量，即用復(fù)數(shù)的模來表示正弦量的幅值（或有效值）；用復(fù)數(shù)的幅角來表示正弦量的初相位。為了與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別，我們把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。下面介紹正弦量的相量表示法。由歐拉公式有分析上式，對于正弦電流可表示為(3.6)

式中(3.7)式(3.6)中表示取其虛部。式(3.7)就是正弦電流的相量表示形式。即

=(3.8)或=（3.9）式(3.8)稱為正弦電流i的幅值相量；式（3.9）稱為正弦電流i的有效值相量。它們之間的關(guān)系為

(3.10)在電路分析中，一般采用有效值相量。同理，對于正弦電壓：

u=（3.11）用相量表示為

=(3.12)

或=(3.13)用相量表示正弦量時，應(yīng)注意二點：用相量表示正弦量時，應(yīng)注意二點：(1)相量只包含正弦量的幅值（或有效值）和初相位，因此相量只是表示正弦量，而不等于正弦量；(2)用相量表示正弦量前，一般要把正弦量化成像式（3.2）和式(3.11)這樣的標準形式，再用相量表示之。否則，相量的幅角（正弦量的初相位）就會出錯。圖3.9相量圖

圖3.10例3.10的相量圖因為相量就是一個復(fù)數(shù)，所以，相量可以在復(fù)平面上用一段有向線段來表示；有向線段的長度就是正弦量的幅值（或有效值）；有向線段與實軸的夾角表示正弦量的初相位。這種表示相量的圖形稱為相量圖，如圖3.9所示。在相量圖上，可以清晰地看出各個相同頻率正弦量的大小和相位關(guān)系，例如：圖3.9中電壓超前電流的相位角為（）。例3.10

已知正弦量；。試分別寫出它們對應(yīng)的有效值相量，并作相量圖。解

V但不是正弦量的標準形式，故先把它們化為標準形式。

=10=10對應(yīng)的相量表示為：=10相量圖如圖3.10所示。

例3.11已知=10V和=8A，=50HZ，求正弦電壓和電流的解析式。解角頻率=314rad/s，因為、為有效值相量，而最大值是有效值的倍，故

u=10sin(314t－)V，i=8sin(314＋)A

3.2.3電路元件伏安關(guān)系的相量形式為了運用“相量法”分析正弦交流電路，我們首先討論電路兩類約束的相量形式。在第一章中，我們已經(jīng)導(dǎo)出了R，L，C，三種電路元件的伏安關(guān)系式，在元件上電流和電壓采用一致參考方向情況下，它們的伏安關(guān)系分別表示為：

u=Ri

當以上各式中的u和ｉ為正弦量時，可以證明：ｕ和ｉ經(jīng)過乘以常量、求導(dǎo)和積分后所得結(jié)果仍為同頻率的正弦量。因此，這些電路元件的伏安關(guān)系也可以用相量來表示。下面分別討論Ｒ，Ｌ，Ｃ元件伏安關(guān)系的相量形式。電阻元件

圖3.11電阻中電流和電壓的關(guān)系

設(shè)圖3.11(a)電阻元件R中電流是

(3.14)則

(3.15)上式中：U=RI

及可以看出：在正弦交流電路中，電阻元件上的電流和電壓是同相位的。式(3.14)和式(3.15)用相量分別表示為

(3.16)則有

(3.17)式(3.17)就是電阻元件的伏安關(guān)系的相量形式，該式不但表明了電阻上電流和電壓的大小關(guān)系(U=IR)，而且它們是同相位的關(guān)系()。用相量表示的電阻元件電路——相量電路模型如圖3.11(b)所示。該電路的電流、電壓相量圖如圖3.11(c)所示。

例3.12

已知4Ω電阻元件兩端的電壓V。求通過電阻元件的電流，并畫出相量圖。解

寫出已知正弦量ｕ的相量

(2)利用電阻元件伏安關(guān)系的相量形式計算圖3.12例3.12的相量圖(3)由寫出其相量圖如3.12所示。2.電感元件設(shè)圖3.13(a)所示電感元件的電流為上式中：U=I及由此可見，在正弦交流電路中，電感元件上的電流和電壓是同頻率的正弦量，電感電壓的幅值等于電流幅值乘以，電感電壓超前電流。電感元件電流和電壓的相量分別表示為（3.18）圖3.13電感中電壓和電流的關(guān)系圖3.13電感中電壓和電流的關(guān)系式(3.18)就是電感元件的伏安關(guān)系的相量形式，電感元件的相量電路模型如圖3.13(b)所示，電流和電壓的相量圖如圖3.13(c)所示。下面研究的意義，由式（3.18）可知：當Ｕ一定時，若ωL越大，則越小，所以ωL反映了電感對正弦電流的阻礙作用。ωL稱為電感電抗，簡稱感抗，用XL表示為（3.19）其單位為歐姆(Ω)。式(3.19)表明：感抗不但與Ｌ有關(guān)，而且與工作頻率有關(guān)。當Ｌ一定時，ＸL-與成正比。當→∞時，ＸL→∞，→０，這時電感相當于開路。所以電感線圈常用在高頻作扼流圈。反之，越小，ＸL越小,I越大。當→０（直流）時，ＸL＝０。這時電感相當于短路。所以直流或低頻電流容易通過電感元件。感抗ＸL與頻率的關(guān)系見圖3.14。采用感抗后，式（3.18）可以改寫成（3.20）

圖3.14感抗與頻率的關(guān)系例3.13已知一個電感線圈電感L=1H，忽略內(nèi)阻不計，現(xiàn)把它接在220V，頻率為50HZ的交流電源上。試求：（１）感抗；（２）通過線圈中的電流；（３）作出相量圖。解（１）先求感抗：ＸL=2πfL=2π×50×1=314Ω(2)求電流相量令電壓初相位為零，即

因此圖3.15例3.13的相量圖畫出向量圖如圖3.15所示。

例3.14

流過0.1H電感的電流為A，試求關(guān)聯(lián)參考方向下電感兩端的電壓。解用相量伏安關(guān)系求解對應(yīng)的正弦電壓為

3.電容元件設(shè)圖3.16(a)所示電容元件兩端的電壓為

u=Usin(ωt+)則

上式中：及。由此可見，在正弦交流電路中，電容元件上的電流和電壓是同頻率的正弦量，電容元件電流的幅值等于電壓的幅值乘以，電流相位超前電壓90°。

圖3.16電容中電流和電壓的關(guān)系

電容元件中的電壓和電流相量分別表示為∠U式（3.21）是電容元件伏安關(guān)系的相量形式。電容元件的相量電路模型如圖3.16(b)所示，相量圖如圖3.16(c)所示。下面研究1/ωC的意義。由式（3.21）可得：

上式說明，當U一定時，若1/ωC越大，則I越小。所以，1/ωC反映了電容元件對正弦電流的阻礙作用，我們把1/ωC稱為電容電抗，簡稱為容抗。用表示為

=（3.22）其單位為歐姆（Ω），式（3.22）說明了：當電容C為一定時，與成反比，即愈高，愈小，電流容易通過；反之，當愈低，愈大，電流不容易通過。這就是電容通高頻信號阻低頻信號的作用，在電子技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用。當→0時，→∞，→0，這就是電容隔直流的作用。采用容抗后，式（3.21）可以改寫成或=（3.23）

例3.15

已知一個電容元件，其電容C=5μF，接到電壓為220V，頻率為50Hz的正弦交流電源上。試求：（1）容抗；（2）通過電容的電流；（3）畫出相量圖。

解（1）計算容抗

===637Ω（2）求電流令電壓初相位為零，則有圖3.17例3.15的相量圖=（3）作出相量圖如圖3.17所示。例3.16流過0.5F電容的電流i(t)=sin(100t－30°)A，試求關(guān)聯(lián)參考方向下，電容的電壓u。解用相量關(guān)系求解對應(yīng)的正弦電壓。

3.2.4基爾霍夫定律的相量形式1.基爾霍夫電流定律的相量形式在交流電路中，KCL和KVL的形式類同于直流電路的表達形式。在正弦交流電路中，KCL指出：在任何瞬間，電路中任一節(jié)點各支路電流的代數(shù)和恒等于零，即（3.24）式中為第K條支路電流的瞬時值。可以證明：n個正弦量之和的相量等于n個正弦量的相量和。這個結(jié)論表明：當要求n個正弦量的相量和時，先把各個正弦量的相量表示出來，再把這些相量加起來即可。對任一節(jié)點都有：

(3.25)式(3.25)為KCL的有效值相量形式，也可以寫成幅值相量形式：2.基爾霍夫電壓定律的相量形式

KVL指出：在任何瞬間，沿電路中任一閉合回路所得各段電壓的代數(shù)和恒等于零。即（3.26）式中為第K段電路電壓的瞬時值。同理可以證明式（3.26）的有效值相量形式為：

(3.27)這就是KVL的有效值相量形式。KVL的幅值相量形式為

綜上所述，正弦電路的電流、電壓的瞬時值關(guān)系，相量關(guān)系都滿足KCL和KVL，而有效值的關(guān)系一般不滿足，要由相量的關(guān)系決定。因此正弦電路的某些結(jié)論不能從直流電路的角度去考慮。

例3.17在正弦電路中，與某一個節(jié)點相連的三個支路電流為、、。已知、流入，

流出。若

A，求。解先寫出和的相量(注意：的初相應(yīng)為60°+90°=150°)

故有

3.2.5正弦交流電路的相量電路模型我們以前所用的電路模型，例如圖6.18(a)為時域模型,它反映了電壓與電流時間函數(shù)之間的關(guān)系。也就是說,從這個模型可列出電路的微分方程,從而解出未知的時間函數(shù)。相量電路模型則是一種運用相量能很方便地對正弦穩(wěn)態(tài)電路進行分析，計算的假想模型。只要我們把正弦電路中電源，支路電壓，電流分別用相量表示后，再把電路元件用相量電路模型表示之，這樣，就把正弦交流電路用對應(yīng)的相量電路模型來表示。例如圖3.18(a)所示電路表示成如圖3.18(b)所示的相量電路模型。

圖3.18正弦交流電的相量電路模型3.3簡單正弦交流電路的分析3.3.1阻抗與導(dǎo)納的概念1.阻抗的概念圖3.19(a)所示無源單口網(wǎng)絡(luò)，其端口電壓相量與電流相量之比定義為單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗，即

(3.28)式(3.28)稱為歐姆定律的相量形式，其中阻抗Z的單位是歐(姆)Ω。這樣圖3.19(a)所示無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路如圖3.19(b)所示。

圖3.19阻抗的定義從定義式(3.28)可知，阻抗Z是一個復(fù)數(shù)。若，由式(3.28)有

(3.29)

式中Z=U/I；=u－i。式(3.29)為阻抗的極坐標形，用直角坐標形式表示阻抗為

Z=R+jX(3.30)其實部R稱為阻抗的電阻分量；虛部X稱為阻抗的電抗分量，它們的單位均為歐姆(Ω)。一般來說電阻分量R是由網(wǎng)絡(luò)中各元件參數(shù)和電路結(jié)構(gòu)及工作頻率所確定，并不一定完全由電阻元件確定；同樣電抗分量X也是由網(wǎng)絡(luò)中各元件參數(shù)和電路結(jié)構(gòu)及工作頻率所確定，并不一定完全由儲能元件確定。式(3.29)和式(3.30)相互等效轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(3.31)稱為阻抗的模。

(3.32)稱為阻抗角。阻抗的實部分量R和虛部分量X可以分別寫成

(3.33)

上述三個式子可以構(gòu)成阻抗三角形如圖3.20(a)所示。由于，因此有

即

(3.34)由式（3.34）得到電壓三角形如圖3.20(b)所示。

由阻抗的定義可知R、L和C三個元件的阻抗分別為阻抗Z可以反映電路的性質(zhì)，具體討論如下：(1)當X=0，即XL=XC時,Z=R,電路呈電阻性(這種情況將在3.5節(jié)中研究)。(2)當X＞0，即XL＞XC時，電路呈電感性，稱為感性電路。(3)當X＜0，即XL＜XC時，電路呈電容性，稱為容性電路。(4)當R=0,即Z=jX時，稱為電抗電路，這時有兩種情況：當X＜0時，電路為純電容性；當X＞0時，電路為純電感性。可見，正弦交流電路中阻抗是一個重要概念。

2.導(dǎo)納的概念如果無源單口網(wǎng)絡(luò)端口電流、電壓采用關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.21(a)所示，其導(dǎo)納定義為

(3.35)導(dǎo)納Y的單位為西門子(S)。根據(jù)Y的定義，R、L和C三個元件的導(dǎo)納分別是

導(dǎo)納Y是一個復(fù)數(shù)

(3.36)上式中：

(3.37)式(3.36)稱為導(dǎo)納的極坐標形式。導(dǎo)納的直角坐標形式為

(3.38)

式中實部G稱為導(dǎo)納的電導(dǎo)分量；虛部B稱為導(dǎo)納的電納分量，它們的單位都是西門子(S)。

比較式(3.36)和式(3.38)，導(dǎo)納的兩種坐標表達式的等效互換關(guān)系是

(3.39)(3.40)經(jīng)過上述分析，無源單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路如圖3.21(b)所示，由式(3.36)～式(3.40)可以得到導(dǎo)納三角形如圖3.22所示。類似于阻抗情況，導(dǎo)納的電導(dǎo)分量G和電納分量B的值是由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)和工作頻率所確定。導(dǎo)納Y也可以反映電路的性質(zhì)，具體討論如下：當B=0時，即Y=G,電路呈電阻性。當B＞0時，電路呈容性，稱為容性電路。當B＜0時，電路呈電感性，稱為感性電路。當G

=0,即Y=jB時，稱為電抗電路，這時有兩種情況：當B＜0時，電路為純電感性；當B＞0時，電路為純電容性。可見，正弦交流電路中的導(dǎo)納也是一個重要概念。

3.抗與導(dǎo)納的等效互換因為阻抗Z=R＋jX，而導(dǎo)納為

式中：

(3.41)上式是由已知阻抗求導(dǎo)納的公式。如果阻抗是極坐標形式，那么它們互換就方便了。式中：

(3.42)至于給定導(dǎo)納Y去求等效阻抗Z的公式請讀者自己去做。

3.3.2

阻抗(導(dǎo)納)的串、并聯(lián)1.RLC串聯(lián)電路的等效阻抗圖3.23(a)所示的RLC串聯(lián)電路的電流為，對應(yīng)電流相量為。現(xiàn)分析電路中電流i與電壓u的關(guān)系。首先作出RLC串聯(lián)電路的相量電路模型如圖3.23(b)所示。根據(jù)KVL的相量形式有：

式中式中X是該電路的電抗部分，它等于感抗與容抗之差。這因為超前為900；滯后為900，使得與相差1800（反相）。圖3.23(a)的等效電路如圖3.23(c)所示。

圖3.23RLC串聯(lián)電路例3.18

電路圖如3.23(a)所示。已知R=10Ω，L=31.8mH，C=159.2μF,u=100sin(314t+30°)V，試求電路中的電流及元件上的電壓。解（1）寫出已知正弦量u的相量為

（2）求阻抗

==10Ω

故有阻抗（3）作相量電路模型如圖3.23(b)所示，并進行如下各種計算。

(4)由上述求得的各相量寫出對應(yīng)的正弦量為：=10sin（314t+750）A

=100sin（314t+750）V

=100sin（314t+1650）V

=200sin（314t－650）V

例3.19電路如圖3.24所示，已知正弦交流電壓的有效值為220V。交流電壓表V2，V3分別讀數(shù)為65V和42V，求V1表的讀數(shù)。解由RLC串聯(lián)電路電壓三角形關(guān)系

即：所以：

即表讀數(shù)為218.79V。

圖3.24例3.19的圖2.RLC并聯(lián)電路的等效導(dǎo)納

RLC并聯(lián)電路如圖3.25(a)所示，設(shè)電壓為，求各支路電流與電壓的關(guān)系。電壓的相量形式為=U∠00V，并作出相量電路模型如圖3.25(b)所示，分析如下：

由KCL得：上式中：，其中；

上式中：

。圖3.25(a)的等效電路如圖3.25(c)所示。圖3.25RLC并聯(lián)電路例3.20

在圖3.26(a)所示電路中，電流表A1、A2均指示為10A，求電流表A的讀數(shù)。解方法一：這是一個RC并聯(lián)電路，電流表讀數(shù)為有效值。相量電路模型如圖3.26（b）所示。令=U∠00V，則有：

A

由KCL有：

+所以，電流表A讀數(shù)為。

圖3.26例3.20的圖方法二：用相量圖解法。相量圖如圖3.26(c)所示?？梢?、?R、?c構(gòu)成電流三角形，故有：==A 可見這種方法要簡單得多。說明有時利用相量圖分析電路會帶來方便。

3.混聯(lián)正弦交流電路的計算例3.21圖3.27(a)所示電路為功率補償電路，已知R=10?，L=31.8mH，C=159。求、及。解（1）寫出已知正弦量的相量（2）作相量電路模型如圖3.27(b)所示，其中：，圖3.27例3.21的圖（3）計算各支路電流RL串聯(lián)支路阻抗為故有：

由KCL得：

（4）、作出相量圖如圖3.27(c)所示。

例3.22

電路如圖3.28所示。(1)求從ab看進去的等效阻抗；(2)說明該電路的性質(zhì)。解（1）圖3.28例3.22的圖

（2）由于所以該電路呈感性。

3.4正弦交流電路中的功率3.4.1瞬時功率假設(shè)圖3.29(a)所示無源單口網(wǎng)絡(luò)含有RLC元件，端口上的電流和電壓分別為：

式中φ為電壓與電流的相位差，根據(jù)電路性質(zhì)的不同，φ可以為正，也可以為負。圖3.29無源單口網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率電路任一瞬間吸收或放出的功率稱為瞬時功率，用小寫字母p表示．當、為一致參考方向時，瞬時功率表示為：

(3.43)由式(3.43)可以看出p由常數(shù)項和二倍電源角頻率的正弦量構(gòu)成，如圖3.29(b)所示。當p>０時，表示單口網(wǎng)絡(luò)吸收功率；當p<０時，表示單口網(wǎng)絡(luò)向外放出功率，這是由于單口網(wǎng)絡(luò)中含有儲能元件所致。

3.4.2平均功率和功率因數(shù)由于瞬時功率總是隨時間交變，在工程中使用價值不大，因此，通常所指電路中的功率是指瞬時功率在一個周期的平均值，稱為平均功率，用大寫字母P表示。無源單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率為：

(3.44)平均功率是一個常數(shù)，如圖3.29(b)所示。平均功率的單位是瓦(W)，毫瓦(mW)，和千瓦(kW)。通常交流用電設(shè)備的銘牌上標的功率值為平均功率值。例如25W的白熾燈，75W的電烙鐵等。式（3.44）中稱為功率因數(shù)，稱為功率因數(shù)角．的大小取決于電路元件參數(shù)、頻率和電路結(jié)構(gòu)。當單口網(wǎng)絡(luò)只含有電阻時，即φ=0，=1，這時

該式與直流電阻電路中的功率表達式相同。當單口網(wǎng)絡(luò)只含有電感元件時，即φ=，時，，這說明電感元件不消耗功率，只是個儲能元件。當單口網(wǎng)絡(luò)只含有電容元件時，即φ=－，時，，這說明電容元件也不消耗功率，只是個儲能元件。

根據(jù)能量守恒原理，無源單口網(wǎng)絡(luò)所吸收的總平均功率應(yīng)為各支路吸收平均功率之和，而各支路只有電阻元件的平均功率不為零。故無源單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率是網(wǎng)絡(luò)中各電阻元件吸收的平均功率之和。即：

=(3.45)式中，為網(wǎng)絡(luò)中第k個電阻元件．Uk，Ik為上有效值電壓和電流，式(3.45)常用來計算已知無源單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率。3.4.3無功功率在無源單口網(wǎng)絡(luò)中，無功功率定義為

Q=UIsinφ(3.46)它的量綱與平均功率相同，為區(qū)別起見，它的單位為乏(var)及千乏(Kvar)。為了與無功功率相對應(yīng)，前述平均功率又稱為有功功率。

當單口網(wǎng)絡(luò)中只含有電阻元件時，Q=0當單口網(wǎng)絡(luò)中只含有電感元件時：Q=UI=XI2=>0當單口網(wǎng)絡(luò)中只含有電容元件時：Q=UI=-XсI2=-<0

可以推論，對于感性電路φ>0，Q>0，對于容性電路φ<0，Q<0。無功功率存在的原因是電路中存在儲能元件，于是在電路與電源之間就產(chǎn)生能量交換，無功功率用來衡量此能量交換的規(guī)模?？梢宰C明，無源單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率等于各儲能元件無功功率的代數(shù)和，即

Q=(3.47)式中Qк為第k個儲能元件中的無功功率，對于電感元件，為正；對于電容元件，為負。當單口網(wǎng)絡(luò)中各元件參數(shù)已知時，式(3.47)經(jīng)常被用來計算網(wǎng)絡(luò)的無功功率。3.4.4視在功率和額定容量在正弦交流電路中，把電壓有效值與電流有效值之積稱為視在功率，用字母Ｓ表示，即

(3.48)視在功率的單位為伏安（VA）或千伏安（KVA），這樣有功功率和無功功率可分別表示為

P=UIcos=Scos

(3.49)

Q=UIsin=Ssin

(3.50)一般電氣設(shè)備，如交流電動機，交流發(fā)電機，變壓器等設(shè)備都是按照額定電壓和額定電流設(shè)計的，我們把（即額定視在功率）來表示電氣設(shè)備的額定容量。它說明了該設(shè)備長時間正常工作允許的最大平均功率。設(shè)備在工作中實際的有功功率還要由負載的功率因數(shù)而定（在3.4.5節(jié)中討論）。

3.4.5復(fù)功功率到此為止，我們討論了平均功率（有功功率），無功功率Ｑ，視在功率Ｓ和功率因數(shù)cosφ，為了便于記憶，并把它們之間的關(guān)系聯(lián)系起來，引入復(fù)功功率的概念。定義復(fù)功功率如下：

圖3.30功率三角形

(3.51)式中，為電流相量的共軛。復(fù)功功率的單位為伏安(VA)。根據(jù)式(3.51)，可以得到

(3.52)式中

S=，

φ=(3.53)它們之間關(guān)系用一個三角形來描述，既功率三角形如圖3.30所示。

例3.23

一個無源ＲＬＣ單口網(wǎng)絡(luò)，端口電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向。已知電流=1053?A,電壓=220120?V，求該單口網(wǎng)絡(luò)的復(fù)功功率、P、Q、S和cosφ。解復(fù)功功率為

得到視在功率

S=UI=220×10=2200VA=2.2KVA再求功率因數(shù)cosφ

：

因為功率因數(shù)角φ=φu－φi

=120?–53?=67?所以

cosφ=cos67?=0.39因此可得：有功功率

P=Scosφ=2200×0.39=858W無功功率

Q=Ssinφ=2200×sin67?=2025.11var

例3.24

在RLC串聯(lián)電路中，已知R=10歐，L=300mH，C=50uF，接220V，50HZ的交流電源上，求平均功率、無功功率和功率因數(shù)。解首先求電路阻抗

故電路中的電流

阻抗角：

φ

功率因數(shù)：cosφ=cos71.850=0.312有功功率：P=UIcosφ=220×6.85×cos71.850=470.18W無功功率：Q=UIsin71.850=220×6.85×sin71.850=1432var

例3.25在圖3.31所示電路中，已知R=100歐，L=0.4H，C=5μF,

，

求該網(wǎng)絡(luò)的有功功率和無功功率。解法一:根據(jù)電路內(nèi)部元件進行計算。因為

故圖3.31例3.25的圖

所以

解法二:利用端口電壓和電流計算。因為

而φ所以φ

220×0.55×sin36.87?=72.5var

例3.26

用三表法測量一個線圈的參數(shù)，如圖3.32所示，得下列數(shù)據(jù)：電壓表的讀數(shù)為50V，電流表的讀數(shù)為1A，功率表的讀數(shù)為30W，試求該線圈的參數(shù)R和L（電源的頻率為50Hz）。

圖3.32例3.26的圖解選u、i為關(guān)聯(lián)參考方向，如圖3.32所示。根據(jù)得

線圈的阻抗

由于

所以

則

3.4.6功率因數(shù)的提高前面已經(jīng)指出,電源在額定容量下，究竟向負載提供多大的有功功率，還要由負載的功率因數(shù)來決定。例如容量為1000KVA的發(fā)電機，當負載時，發(fā)出1000KW的有功功率；當負載時，發(fā)出850KW的有功功率，由此可見，同樣的電源設(shè)備，負載的功率因數(shù)越低，它輸出的有功功率越小，它的容量就越不能被充分利用，另一方面，功率因數(shù)越低，輸出線路上的功率損耗就越大，因為當電源電壓U和輸送的平均功率P為一定值時，電源供給負載的電流

(3.54)顯然，cosφ越低，電流I越大，線路損耗的電功率ΔP=越大（R為線路電阻），而且線路上的電壓降也越大?？梢?，為了提高電源設(shè)備的利用率和減少輸電線路的損耗，有必要提高功率因數(shù)。電路中功率因數(shù)低的原因，往往是由電路中的感性負載所造成的，例如交流異步電動機，它的功率cosφ=0.3～0.85。為了提高經(jīng)濟效益和保證負載正常工作，一般用電容（該電容稱為補償電容）與感性負載并聯(lián)的辦法來提高電路的功率因數(shù)。需要指出，并聯(lián)電容后，負載兩端的電壓和取用的電流及功率都不變。下面討論感性負載并聯(lián)電容后，電路中的功率因數(shù)是如何提高的？在圖3.33(a)電路中，在未接電容之前，電路的入端電流1，它滯后于電壓，其相位差為φ1，如圖3.33(b)所示。當并聯(lián)電容后，入端電流1+，因為是超前電壓90°，相量相加，結(jié)果I<I1，并使與的相位差減小到，這就是說，整個電路的功率因數(shù)由提高到COS了。電路入端電流減小的原因是感性負載所需要的無功功率，有一部分改為由電容器就地供給，而從電源輸送來的無功功率減小了。對于圖3.33(a)的電路，在感性負載的功率P和功率因數(shù)已知條件下，現(xiàn)計算將電路的功率因數(shù)提高到COS時，需并聯(lián)多大的電容？圖3.33功率因數(shù)的提高由于并聯(lián)電容后，負載的平均功率不變，而電容的平均功率為零，故有所以由圖3.33(b)得=將I1、I代入上式有又因為 所以即（3.55）例3.27一臺交流電動機的輸入功率為2kW，功率因數(shù)=0.6(感性)，接在220V，50HZ的電源上。(1)求電源供給的電流和無功功率。(2)如果利用電容補償，要求把功率因數(shù)提到0.9(感性)，問需要多大的電容？這時電源供給電流及無功功率又是多少？解（1）當=0.6時，電源供給的電流為電源供給的無功功率為：（2）利用補償電容后故補償后由電源供給的電流及無功功率分別為可見，補償后由電源提供的電流和無功功率均減少了。

3.5正弦交流電路中的諧振

3.5.1串聯(lián)諧振1.串聯(lián)諧振的條件在圖3.34(a)所示的RLC串聯(lián)電路中，如果電源電壓為正弦波：。其電路復(fù)阻抗為它的模和幅角分別為

當感抗XL和容抗XC相等（即）時，電路復(fù)阻抗的幅角φ=0，此時電路的電流和電壓同相，電路呈電阻性，這種現(xiàn)象稱為諧振，因為在串聯(lián)電路中發(fā)生的，故叫串聯(lián)諧振，所以諧振條件為或。串聯(lián)諧振時的相量圖如圖3.34(b)所示。根據(jù)諧振條件，可求得

或（3.56）和分別稱為電路的諧振角頻率和諧振頻率。由式（3.56）可見，串聯(lián)諧振可以用下面的幾種方法獲得：(1)當外加電源頻率為一定時，改變電路參數(shù)（L或C），使

(3.57)這個過程稱之為調(diào)諧。例如無線電收音機的接收回路就是用改變電容C的辦法，使之對某一電臺發(fā)射的頻率信號發(fā)生諧振，從而達到選擇此電臺的目的；而電視機通常是通過調(diào)整電感L來達到選臺的目的。圖3.34RLC串聯(lián)諧振(2)當電路參數(shù)一定時，改變電源頻率也可得到上述結(jié)果，而電源頻率一定要滿足式（3.56）。例3.28

某收音機的輸入回路可簡化為如圖3.35所示的電路，L=300μH。今欲接收頻率范圍為525~1605kHz的中波段信號，試選擇C的變化范圍。圖3.35例3.28的圖解根據(jù)收音機的接收頻率范圍，由式(3.57)可知

當f=525kHz時，電路諧振，則

當f=1605kHz時，電路諧振，則

所以，C的變化范圍是32.7~306pF。2.串聯(lián)諧振的特點(1)復(fù)阻抗最小，且為純電阻性在串聯(lián)諧振時，X=XL-XC=0，所以復(fù)阻抗的模

此時電路的阻抗最小。此時復(fù)阻抗Z=R+jX=R

，電路性質(zhì)為純電阻性。(2)串聯(lián)諧振電路的電流最大，端口電流與電壓同相位由于諧振時此時最小，故電流I最大，并記為。又因串聯(lián)諧振電路的輸入阻抗Z的虛部為零，則有所以電流與電壓同相位。(3)感抗與容抗相等，且等于電路的特性阻抗在RLC串聯(lián)電路中，當電路發(fā)生串聯(lián)諧振時，感抗和容抗相等，將此值稱為諧振電路的特性阻抗，用表示，即定義特性阻抗

(3.58)是一個僅與電路固有參數(shù)有關(guān)的量，單位為歐姆(Ω)。在通訊工程中，常用諧振電路的特性阻抗與電路中的電阻之比來討論諧振電路的性能，此比值用大寫字母Q來表示(注意：這里的“Q”不是無功功率，以后要根據(jù)上下文來區(qū)分它們)，稱為電路的品質(zhì)因數(shù)，即

(3.59)它是一個無量綱的量，工程上簡稱Q值。(4)電感電壓與電容電壓遠遠大于電源電壓在串聯(lián)諧振電路中，電阻上電壓等于電源電壓，即

而電感電壓與電容電壓分別為，；因為ZL=XC，所以有。一般，ZL(或XC)>>R，因此要比大得多，所以串聯(lián)諧振也稱為電壓諧振。在串聯(lián)諧振電路中有式中：為激勵于電路的電壓有效值，I0為電路發(fā)生諧振時的電流。由上式得到：

(3.60)例如，當電源電壓有效值U=10mV；電路Q=100時，UL=UC=1000mV。在工程中，Q值還有更大的。說明當一個小激勵電壓，在電感或電容上可獲得一個大的電壓響應(yīng)，因此，串聯(lián)諧振電路在通訊工程中獲得廣泛的應(yīng)用。(5)串聯(lián)諧振電路的能量交換特點因為電源電壓為：又因為諧振電路的電流與電壓同相位，所以諧振電路的電流為將代入上式得諧振電路的能量總和為電容電壓諧振電路的能量總和為

同理也可得

由上述分析可見：諧振電路的電場能量與磁場能量之和W是不隨時間變化的常量，說明諧振電路不從外部吸收無功功率，電源僅供給電阻消耗的能量，而電感與電容之間則以恒定的總能量進行著磁能與電能的轉(zhuǎn)換。例3.29

有一電感線圈L=4mH，R=50Ω和C=160pF的電容串聯(lián)，接在電壓為10V，且頻率可調(diào)的交流電源上。試求：（1）電路的諧振頻率；(2)求電路的品質(zhì)因數(shù)Q；(3)求特性阻抗（4）求諧振時UR、U