曹 平面的基本性質(zhì)及推論

1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論象這些桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以____的印象一.平面的概念：光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉的.二.平面的特征：平面沒(méi)有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無(wú)限延展的。數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果,就是處處平直的面。平面復(fù)習(xí)ADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法幾何畫法：通常用平行四邊形來(lái)表示平面．

符號(hào)表示：通常用希臘字母等來(lái)表示，如：平面也可用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如：平面AC．、平面AC（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：a?一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖（3）在畫圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫?！纠?】已知命題：①10個(gè)平面重疊起來(lái)，要比5個(gè)平面重疊起來(lái)厚；②有一個(gè)平面的長(zhǎng)是50m，寬是20m；③黑板面是平面；④平面是絕對(duì)的平，沒(méi)有大小、沒(méi)有厚度，可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念.

其中正確的的命題是__________.④想一想:兩個(gè)平面能將空間分成幾部分?3或4兩個(gè)平面相交1342132兩個(gè)平面平行三個(gè)平面能將空間分成幾部分?1324

4678我們把空間看作點(diǎn)的集合，也就是說(shuō)，點(diǎn)是空間的基本元素，直線和平面都是空間的子集，直線是它所在平面的子集。于是，我們可以用集合語(yǔ)言來(lái)描述點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì)。新知講解四.用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：ABa點(diǎn)A在直線a上：記為：A∈a點(diǎn)B不在直線a上：記為：B∈a點(diǎn)A在平面α內(nèi)：記為：A∈α點(diǎn)B不在平面α上：記為：B∈αABα(1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：(3)直線與平面的位置關(guān)系：直線a上的所有點(diǎn)都在平面α上，稱直線a在平面α內(nèi)，或稱平面α通過(guò)直線a.記為：直線a與平面α只有一個(gè)公共點(diǎn)A時(shí)，稱直線a與平面α相交。記為：a∩α＝AαaαAa●lA●lA點(diǎn)A在直線l上點(diǎn)A在直線l外●AA●點(diǎn)A在平面內(nèi)點(diǎn)A在平面外直線l在平面外直線l在平面內(nèi)lll５填空

4．根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)出有關(guān)點(diǎn)、線、面的關(guān)系，并畫出圖形．如果把桌面看作一個(gè)平面，把筆看作是一條直線的話，你覺(jué)得在什么情況下，才能使筆所代表的直線上所有的點(diǎn)都能在桌面上？思考：··公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。αlAB桌面αAB觀察上面問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？五.平面的基本性質(zhì)公理1.如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）。αlAB文字語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：一是可以用來(lái)判定一條直線是否在平面內(nèi)，即要判定直線在平面內(nèi)，只需確定直線上兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)即可；

二是可以用來(lái)判定點(diǎn)在平面內(nèi)，即如果直線在平面內(nèi)、點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)在平面內(nèi).三是表明平面是“平的”公理1的作用有三：公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線。Pαβa觀察下列問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？P天花板α墻面β墻面γ文字語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：公理2.如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線。Paαβ如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交，這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線。一是判定兩個(gè)平面相交，即如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面相交；二是判定點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)若是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么這點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.公理2的作用有二：三.兩平面兩個(gè)公共點(diǎn)的連線就是它們的交線PlβαABCDA1B1C1D1O【例2】在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，畫出平面A1C1D與平面B1D1D的交線.

6.如圖找平面BA1C1與平面B1AC的交線

ABCDA1B1C1D1DABCE【例3】如圖畫出平面與平面ADE的交線畫出DE與平面的交點(diǎn)PA變式：如圖，已知△ABC三邊所在的直線分別交平面于點(diǎn)P、Q、R，求證：P、Q、R三點(diǎn)在同一直線上。BCQPR證明：（公理2）同理可證：要證明空間諸點(diǎn)共線，通常證明這些點(diǎn)同時(shí)落在兩個(gè)相交平面內(nèi)，則落在它們的交線上.ABCQPR用手指頭將一本書平衡地?cái)[方在空間某一位置，至少需要幾個(gè)手指頭？思考：手指的位置需要滿足什么條件？公理3.過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αACB文字語(yǔ)言：圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：公理3.過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αACB或記為平面ABC公理3是確定平面的依據(jù);

判定點(diǎn)或線的共面推論1.一條直線和直線外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面。βaABC數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示:已知：點(diǎn)A求證：過(guò)點(diǎn)A和直線a有且只有一個(gè)平面.∵∴過(guò)不共線的三點(diǎn)A,B,C有一個(gè)平面（公理3）∵B∈，C∈∴a（公理1）∴過(guò)點(diǎn)A和直線a有一個(gè)平面證明:（存在性）（唯一性）推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.,在a上任取兩點(diǎn)B、C，又由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A、B、C的平面只有一個(gè)∴經(jīng)過(guò)a和點(diǎn)A的平面只有一個(gè).aABC推論2.兩條相交直線唯一確定一個(gè)平面。βCab數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示:推論3.兩條平行直線唯一確定一個(gè)平面。βACBab數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示:思考1：不共面的四點(diǎn)可以確定多少個(gè)平面？思考2：四條相交于同一點(diǎn)的直線a,b,c,d并且任意三條都不在同一平面內(nèi)，有它們中的兩條來(lái)確定平面，可以確定多少個(gè)平面?【例4】如圖，直線AB、BC、CA兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，判斷這三條直線是否共面，并說(shuō)明理由.ABC共面∵A、B、C三點(diǎn)不在一條直線上證明：∴過(guò)A、B、C三點(diǎn)可以確定平面(公理3)∵A∈,B∈∴AB(公理1)同理BC,AC∴AB、AC、BC共面ABC證法2：∵A直線BC∴過(guò)點(diǎn)A和直線BC確定平面∵A∈,B∈BC∴B∈,∴AB同理AC∴AB、AC、BC共面ABC證法3：∵AB∩AC=A∴直線AB、AC確定一個(gè)平面∵B∈AB,C∈AC,C∈∴B∈∴BC(推論2)(公理1)∴直線AB、BC、CA都在平面內(nèi)即它們共面ABC（×）（×）（×）（×）練3.直線l與過(guò)點(diǎn)P的三條直線a1,a2,a3分別交于A，B，C三點(diǎn)（A，B，C異于點(diǎn)P），求證：這四條直線共面。αa3ACPa1a2B例2圖不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。（既不相交也不平行的兩條直線）1、異面直線判斷：(1)圖中直線m和l是異面直線嗎?αβlmml(2),則a與b是異面直線嗎？(3)a,b不同在平面α內(nèi),則a與b是異面嗎？異面直線的畫法:

通常用一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托,異面直線不同在任何一個(gè)平面的特點(diǎn).(1)相交