參數(shù)估計(jì)課件

第5章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)參數(shù)估計(jì)概述第二節(jié)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第三節(jié)樣本容量的確定2第一節(jié)參數(shù)估計(jì)概述一、參數(shù)估計(jì)的概念二、參數(shù)估計(jì)的分類三、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)31.定義：以樣本統(tǒng)計(jì)量作為未知總體參數(shù)的估計(jì)量，并通過對樣本各單位的實(shí)際觀察取得樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量的取值作為總體未知參數(shù)的估計(jì)值。估計(jì)量：用來估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱。估計(jì)值：用來估計(jì)總體參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的估計(jì)量的具體數(shù)值。一、參數(shù)估計(jì)的概念4二、參數(shù)估計(jì)的分類點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)5點(diǎn)估計(jì)（pointestimator）點(diǎn)估計(jì)又稱定值估計(jì)，它是直接以樣本統(tǒng)計(jì)量作為總體參數(shù)的估計(jì)量，以樣本統(tǒng)計(jì)量的取值作為總體參數(shù)的估計(jì)值。常用的總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)重點(diǎn)注意6三、評價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)7無偏性（unbiasedness）無偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)。P(X)XCA無偏有偏若，則稱為的無偏估計(jì)量。都是無偏估計(jì)量8有效性（efficiency）AB中位數(shù)的抽樣分布均值的抽樣分布XP(X)有效性：一個(gè)方差較小的無偏估計(jì)量稱為一個(gè)更有效的估計(jì)量。若，則稱為比更有效的估計(jì)量9一致性（consistency）一致性：隨著樣本容量（n）的增大，點(diǎn)估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)。AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X)X

若對于任意ε>0，有10例5.1

對某企業(yè)的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，設(shè)抽出100件產(chǎn)品，其中不合格產(chǎn)品5件，試估計(jì)該企業(yè)產(chǎn)品的合格率是多少？解：通過樣本的合格率來估計(jì)企業(yè)產(chǎn)品的合格率。樣本合格率p=95/100=95%，我們估計(jì)該企業(yè)產(chǎn)品的合格率是95%。

P=p=95%11例5.2

男性成人的身高X服從正態(tài)分布

，其中，是未知參數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)測量12名成人男性的身高（單位：米）如下：1.801.681.851.601.671.751.781.621.761.701.791.69，試求的點(diǎn)估計(jì)值12第二節(jié)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)概述二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)三、總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)13一、區(qū)間估計(jì)概述1.基本概念（1）區(qū)間估計(jì)：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)范圍，稱為參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。（2）置信區(qū)間：由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，稱為置信區(qū)間，其中區(qū)間的最小值稱為置信下限，最大值稱為置信上限。置信區(qū)間置信下限置信上限樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))14（3）置信水平：如果我們將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)多次，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率，稱為置信水平。在構(gòu)造置信區(qū)間時(shí)，我們可以用所希望的值作為置信水平。比較常用的置信水平是：90％，95％和99％，通常用1－表示置信水平，其中稱為顯著性水平。即區(qū)間包含總體參數(shù)真實(shí)值的可信度。15兩個(gè)需要注意的問題如果用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中有95％的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，5％的區(qū)間不包含總體參數(shù)的真值，那么，用該方法構(gòu)造的區(qū)間稱為置信水平為95％的置信區(qū)間。置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，它會因樣本的不同而不同，而且不是所有的區(qū)間都包含參數(shù)真值。162.抽樣誤差匯總（1）參數(shù)估計(jì)是以樣本的指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)，這兩者之間必然存在著誤差，假設(shè)只考慮由于隨機(jī)因素引起的誤差，則稱這種誤差為抽樣誤差。（2）允許（或可以容忍）的最大抽樣誤差，稱為抽樣極限誤差。（3）所有可能的樣本估計(jì)值跟總體參數(shù)的平均差異稱為，抽樣平均誤差。173.區(qū)間估計(jì)的基本原理（1）區(qū)間估計(jì)的三個(gè)要素——點(diǎn)估計(jì)值、允許的抽樣誤差范圍、置信水平（概率保證程度）。點(diǎn)估計(jì)值：一般為樣本平均數(shù)或樣本成數(shù)p允許誤差范圍（抽樣極限誤差）：Δ(x±Δ)就是置信區(qū)間置信水平：F（z）＝1－思考：后兩者的關(guān)系18（2）區(qū)間估計(jì)的基本原理4.F（z）、z、Δ、μ之間的關(guān)系F（z）與z具有一一對應(yīng)的關(guān)系，所以已知概率保證程度F（z）就可以求出概率度z；若已知z也就可以知道F（z）。19樣本μ和總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值給定F（z）zΔ=z×μΔ/μ=z給定Δ

F（z）抽樣平均誤差205.區(qū)間估計(jì)的特點(diǎn)（1）指出總體被估計(jì)參數(shù)的上限和下限，即指出總體參數(shù)的可能范圍，而不是直接給出總體參數(shù)的估計(jì)值。（2）指出置信區(qū)間包含總體參數(shù)的可信度有多大。（3）而前兩者是相互矛盾的。21(二)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)

總體方差(２

)已知由抽樣分布定理知道，如果總體服從正態(tài)分布，則樣本平均數(shù)：如果總體正態(tài)性不成立，但是當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，近似地也有：因此，22區(qū)間估計(jì)的步驟區(qū)間估計(jì)根據(jù)給定的條件不同，有兩種估計(jì)方法：⑴給出允許誤差（Δ），求概率保證程度F（z）⑵給出概率保證程度F（z），求估計(jì)區(qū)間。23⑴給出Δ，求F（z）①抽取樣本，計(jì)算樣本指標(biāo)（樣本平均數(shù)、樣本方差、抽樣平均誤差）；②根據(jù)給定的抽樣誤差——允許誤差Δ，計(jì)算估計(jì)區(qū)間的上、下限；③求出概率度z，查表得到F（z），對總體參數(shù)作區(qū)間估計(jì)。24⑵給出概率保證程度，求估計(jì)區(qū)間①抽取樣本，計(jì)算樣本指標(biāo)（樣本平均數(shù)、樣本方差、抽樣平均誤差）；②根據(jù)給定的

，查表求出z；③求出抽樣極限誤差Δ（）和估計(jì)區(qū)間的上、下限，對總體參數(shù)作區(qū)間估計(jì)。25區(qū)間估計(jì)注意首先確定被估計(jì)總體指標(biāo)的種類，是平均數(shù)還是成數(shù)；其次確定抽樣方法，是重置抽樣還是不重置抽樣；然后再根據(jù)給定的樣本資料和抽樣條件（給定概率保證程度還是給定抽樣極限誤差），確定計(jì)算步驟，進(jìn)行計(jì)算。26例5.3

某學(xué)校進(jìn)行一次英語測驗(yàn)，為了解學(xué)生的考試情況，隨機(jī)抽選部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，所得資料如下：試以95.45%的可靠性估計(jì)該校學(xué)生英語考試的平均成績的范圍及該校學(xué)生成績在80分以上的學(xué)生所占的比重的范圍。27解：（1）估計(jì)該校學(xué)生英語考試的平均成績的范圍：分析：考試成績是平均數(shù)，應(yīng)選用關(guān)于的抽樣計(jì)算公式；資料沒有給出總體單位數(shù)N，抽樣方法應(yīng)選用重置抽樣。當(dāng)資料中沒有指出抽樣方法，同時(shí)也沒有給出總體單位數(shù)N時(shí)，默認(rèn)為重置抽樣。28①計(jì)算樣本指標(biāo)樣本平均成績樣本標(biāo)準(zhǔn)差抽樣平均誤差29②根據(jù)給定的F（z），查表求zF（z）=95.45%查表z=2③求出抽樣極限誤差Δ和估計(jì)區(qū)間的上、下限

估計(jì)區(qū)間下限：76.6－2.2754=74.32估計(jì)區(qū)間上限：76.6＋2.2754=78.8930以95.45%的概率保證程度估計(jì)該校學(xué)生考試平均成績的區(qū)間范圍是：74.32≤≤78.89(2)已知

，由31例5.4

某地區(qū)的電視臺委托調(diào)查公司估計(jì)地區(qū)內(nèi)居民平均每日的看電視時(shí)間。調(diào)查公司隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行調(diào)查，樣本數(shù)據(jù)顯示平均每人每天看電視時(shí)間是4個(gè)小時(shí)。如果已知總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1.5小時(shí)。試求：(1)該地區(qū)內(nèi)居民每天看電視的平均時(shí)間的置信區(qū)間(置信度是95%)；(2)如果要求估計(jì)的誤差不超過27分鐘，這時(shí)置信度是多少？32解：(1)已知=4小時(shí)，n=100，σ=1.5小時(shí)，F(xiàn)(z)=95%。這時(shí)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可得z=1.96，由抽樣平均誤差因此，以95%置信度，估計(jì)該地區(qū)內(nèi)居民每天看電視的平均時(shí)間在3.706到4.294個(gè)小時(shí)之間。33（2）要求極限誤差等于27分鐘，即Δ=0.45小時(shí)。這時(shí)概率度：查概率表知這時(shí)的概率是99.73%34三、總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)表達(dá)式其中，為抽樣極限誤差35步驟⒈計(jì)算樣本成數(shù)：

；計(jì)算抽樣平均誤差：重復(fù)抽樣條件下不重復(fù)抽樣條件下362.計(jì)算抽樣極限誤差：3.確定總體成數(shù)的置信區(qū)間：37接平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的例子

（2）估計(jì)該校學(xué)生成績在80分以上的學(xué)生所占的比重的范圍分析：學(xué)生所占比重是成數(shù)，應(yīng)選用關(guān)于P的抽樣計(jì)算公式；抽樣方法仍為重置抽樣。38①計(jì)算樣本指標(biāo)樣本成數(shù)：抽樣平均誤差：39②根據(jù)給定的F（z），查表求zF（z）=95.45%查表z=2③求出抽樣極限誤差Δ和估計(jì)區(qū)間的上、下限

估計(jì)區(qū)間下限：估計(jì)區(qū)間上限：40

以95.45％概率保證程度估計(jì)，該校學(xué)生成績在80分以上的學(xué)生所占的比重的范圍在：38.01%－57.99%之間。41【例5.5】某工廠有工人1000名，若規(guī)定工人日產(chǎn)量在118件以上者為完成生產(chǎn)定額任務(wù)，下表是抽樣數(shù)據(jù)。要求在95﹪的概率保證程度下，估計(jì)該廠全部工人中完成定額的工人比重及完成定額的工人總數(shù)。42按日產(chǎn)量分組（件）組中值（件）工人數(shù)（人）110～114114～118118～122122～126126～130130～134134～138138～142112116120124128132136140371823211864合計(jì)—100100名工人的日產(chǎn)量分組資料完成定額的人數(shù)43解：44則該企業(yè)全部工人中完成定額的工人比重及完成定額的工人總數(shù)的置信區(qū)間為：即該企業(yè)工人中完成定額的工人比重在0.8432至0.9568之間，完成定額的工人總數(shù)在843.2至956.8人之間，估計(jì)的可靠程度為95﹪。45總結(jié)

在簡單抽樣條件下進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的例題。從上面的解法中，我們可以總結(jié)出這一類計(jì)算題的基本做法：先計(jì)算出樣本指標(biāo)，然后根據(jù)所給條件（重置抽樣或不重置抽樣）進(jìn)行抽樣平均誤差的計(jì)算，抽樣極限誤差的計(jì)算，最后根據(jù)樣本指標(biāo)和極限誤差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。46例5.6

從某年級學(xué)生中按簡單隨機(jī)抽樣方式抽取40名學(xué)生，對公共理論課的考試成績進(jìn)行檢查，得知其平均分?jǐn)?shù)為78.56分，總體標(biāo)準(zhǔn)差為12.13分，試以95.45%的概率保證程度推斷全年級學(xué)生考試成績的區(qū)間范圍。47解：ｎ＝40，＝78.56，σ＝12.13，z=248第三節(jié)樣本容量的確定在前面討論中我們都是假定樣本容量n是已知的，但是在實(shí)際問題中，需要自己動手設(shè)計(jì)調(diào)查方案，這是如何決定樣本容量就是很大的學(xué)問。如果n選的過大，會增加費(fèi)用；如果n選的過小，會使估計(jì)誤差增大。這個(gè)問題的關(guān)鍵是:第一，要求什么樣的精度？即我們想構(gòu)造多寬的區(qū)間。第二，對于我們的置信區(qū)間來說，想要多大的置信度？即我們想要多大的可靠稱度？49（1）估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定在總體均值的區(qū)間估計(jì)時(shí)，置信區(qū)間是由下式確定的：

極限誤差（允許誤差），該式反映了之間的相互制約關(guān)系，其中三個(gè)確定后，另一個(gè)也就隨之確定了。重置抽樣50它們之間的關(guān)系如下：①總體方差越大，必要的樣本容量n越大。②必要樣本容量反比例于允許誤差。③必要樣本容量n與概率度z成正比。51不重置抽樣抽