半導體物理第3章

第三章電子和空穴的平衡統(tǒng)計分布

半導體的電導率直接依賴于導帶電子和價帶空穴(統(tǒng)稱載流子）的多少．在熱平衡的半導體中，電子和空穴依賴于熱激發(fā)產生。載流子的多少與溫度有密切聯(lián)系．

1平衡分布是動態(tài)平衡熱激發(fā)不斷產生電子空穴對；電子又不斷躍遷回價帶或雜質能級的空狀態(tài)進行電子空穴的復合．在熱平衡時，這兩個方向相反的過程速率相等，從而保持宏觀上載流子濃度不變．2平衡時電子在能級上的分布服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，它與激發(fā)電子和空穴的具體過程無關．這一章就是要討論在包括有雜質存在的半導體中載流子的數(shù)目及其隨溫度的變化．3(3-1-1)

電子的自旋角動量為，是費米子，受泡利不相容原理制約，遵守費米-狄拉克統(tǒng)計．能量為E的電子狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率f為4EF稱為費米能級，是平衡電子系統(tǒng)的一個重要參量．k為玻爾茲曼常數(shù)。f(E)可理解為能量為E的狀態(tài)中的平均電子數(shù)。5§3.1費米分布函數(shù)

由上式可見，能量為E的狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率取決于該狀態(tài)的能級與費米能級EF之差EEF和kT的比值．6(3-1-1)若E=EF，即(EEF/kT)=0，則f(E)=1/2．若EEF

>

0，則f(E)<1／2;若E比EF高出若干kT,即(EEF)/kT>>l，則占據(jù)幾率f(E)<<1．若EFE

>

0，則有f(E)

>

1／2．若E低于EF若干kT，即(EFE)/kT

>>

l，則exp[(EEF)/kT]

0,

f(E)接近于1．

7因此有

(EEF)／kT

>>

1，

f(E)

0(EEF)／kT

=

0，

f(E)=

1/2(EEF)／kT

<<

1，

f(E)

1(3-1-1)8在絕對零度時，有

當E

>

EF，f(E)=

0

當E

<

EF，

f(E)=

1

即在EF以上的所有能級全部是空的，在EF以下的所有能級全被填滿。

9(3-1-2)0K時的f(E)如圖3.1所示．顯然，費米能級EF標志著電子填充能級的水平．

1011

在T>0的一般情形下，f(E)隨能量E的變化將不象0K時那樣陡峭．在EF以上若干kT范圍內的能級將部分地被電子占據(jù).

在EF以下若干kT范圍內的能級將有一部分是空的。這正是熱激發(fā)的結果：在EF以下kT量級范圍內的電子被熱激發(fā)到EF以上．這樣便出現(xiàn)了由f(E)1到f(E)0的過渡區(qū)域．它所占據(jù)的范圍約為幾個kT.顯然，溫度愈高，這個過渡區(qū)愈大．如圖3.1曲線2,3所示．12

在(EEF)/kT>>l時，分布函數(shù)分母中的exp[(EEF)/kT]>>1，因而f(E)可近似為：13趨于經典的玻爾茲曼分布；(3-1-3)如上所述，費米—狄拉克統(tǒng)計只容許每個能級最多被1個電子占據(jù)．在f~0的情況下，這種限制所帶來的影響將是很小的。因此費米分布和玻爾茲曼分布趨于一致．在EEF

=

3kT時，用式(3-1-3)代替(3-1-1)所產生的誤差約5%。

14

f(E)可以理解為能量為E的狀態(tài)上的平均電子數(shù)。有時我們需了解該能量狀態(tài)上的平均空穴數(shù)。它應等于該狀態(tài)上的空穴占據(jù)幾率fp，即不被電子占據(jù)的幾率1f(E)．

15容易求得fp為：

16(3-1-4)對于(EFE)/kT

>>

l的情況，類似于式(3-1-3)有

圖3.2表示fp(E)隨E的變化情況．17(3-1-5)18例如:在多數(shù)情形下，半導體中的EF在離開帶邊若干kT的禁帶中．由上面的分布函數(shù)的圖象可見，這時，導帶能級被電子占據(jù)的幾率很小，同樣，價帶能級被空穴占據(jù)的幾率也是很小的．

1919我們說對于EF以上若干kT的能級f(E)0，并不是說這種情況下有關能級中的電子就可忽略不計了．有時我們正是要求出這些能級中的電子數(shù)．§3．2載流子濃度對費米能級的依賴關系

對于給定的半導體，在給定的溫度下，EF總是確定的．若已知EF，則可求出電子濃度n(單位體積內導帶中的電子數(shù))和空穴濃度p(單位體積內價帶中的空穴數(shù))

式中求和分別對單位體積導帶和價帶中的各狀態(tài)進行．(3-2-1)20

在這一節(jié)中我們暫時不涉及如何確定EF，而是假定EF已知，以求出導帶的電子濃度和價帶的空穴濃度．計算主要對導帶電子進行．所得結果易于推廣到價帶空穴．

21

由于導帶中能級密度很高，在E到E+dE的能量間隔內包含了大量的電子狀態(tài)．因此可以引入態(tài)密度g(E)來描述能帶中電子狀態(tài)的分布．g(E)：單位體積單位能量間隔內的狀態(tài)數(shù)。22在E到E+dE內的狀態(tài)數(shù)dN可表示為:

dN=g(E)dE

在此能量間隔內的電子數(shù)dn為

dn=f(E)g(E)dE這樣，式(3-2-1)的求和可化為下面的積分(3-2-2)23下面我們先求出態(tài)密度g(E)，再根據(jù)上式求出n態(tài)密度在晶體中的電子有如被封閉在一個容器中，使得并不能有任意的數(shù)值。下面我們來計算單位體積晶體k空間的狀態(tài)密度。24在具有周期勢場的晶體中，電子波函數(shù)為布洛赫函數(shù)，具有以下形式：與自由電子的波函數(shù)exp(ikx)相比，多了一個和晶格具有相同周期的函數(shù)因子：uk(x)=uk(x+al),al

為格矢量；k為波矢。25考慮一維情形設一維晶格的總長度為L=Na,N為所包含的原胞總數(shù)，a為格矢量。周期性邊界條件要求波函數(shù)在兩個端點處（即在0和L處）有相同的值（設想把長度L的原子鏈圍成環(huán)，顯然只有滿足上述條件的波才是穩(wěn)定的）。則：26n:為整數(shù)。uk(x)=uk(x+al)27允許的k值在k軸上為一系列等間距的點。取值密度gk為28單位長度晶格在k空間的狀態(tài)密度為2／2.因子2計入了自旋相反的兩個狀態(tài)．對于三維晶體，情況類似.對于體積為的有限晶體,

k的取值密度,即k空間的狀態(tài)密度gk為29單位晶體體積k空間的狀態(tài)密度為2／(2)3.因子2計入了自旋相反的兩個狀態(tài)．

我們的任務是根據(jù)E-k關系，由k空間的狀態(tài)密度得到以能量為尺度的態(tài)密度g(E)．

為此目的，我們必須就E-k之間的函數(shù)關系作出具體假定．由于導帶中的電子絕大部分處于導帶底，因此，我們只需著重考查帶底附近的E-k關系和態(tài)密度g(E)．30設導帶可用簡單能帶模型描述，即導帶底在k=0，等能面為球形，并具有拋物性E-k關系．這樣有(3-2-5)31為由導帶底開始計算的電子能量，它代表導帶電子的動能。我們容易求出動能小于的狀態(tài)數(shù)N()，它等于能量小于的k空間的體積乘以2/(2)3。能量小于的k空間體積就是能量為的等能面所包圍的球的體積，由式(3-2-5)可知它的半徑為

32于是可得到N()為33對上式取微分并與式比較可得

上面的結果說明g()與之間有拋物性關系，如圖3．3所示．這里特別要指出的是態(tài)密度依賴于有效質量．有效質量大的帶，態(tài)密度也大．34dN=g()d(3-2-7)解法二：35對于二維情況：36對于一維情況：乘2是因為有兩個等能點37一維情況解法二：38如果把m理解為空穴有效質量，理解為EvE，則式(3-2-7)同樣也適用于具有簡單能帶結構的價帶頂．39對于由式(2-2-20)描述的具有各向異性有效質量的能帶；可按照類似于上面所用的方法，求出橢球的半長軸a、b、c，并進而求出橢球的體積(4/3)abc，可得到：（2-2-20）(3-2-7)m1，m2，m3為沿等能面橢球主軸方向的三個有效質量．如果導帶具有s個能谷，并具有旋轉橢球等能面，則相應的態(tài)密度可修改為

40式中ml和mt分別為縱向和橫向有效質量．md稱為狀態(tài)密度有效質量，它和ml、mt和s的關系為：

md=(s2mlmt2)1/3

(3-2-10)對于簡單能帶，顯然有md=m.

41§3.2.2．載流子濃度求得了態(tài)密度、我們就可以根據(jù)式計算電子濃度n．代入式42

于是n可寫為

式中n=EF

Ec,

=EEc(3-2-11)(3-2-12)(3-2-13)就可以得到n．我們先把f中的E和EF,改作按帶邊能量Ec作基準計算:43

式中mn表示導帶電子有效質量．上式中把積分上限取作了．實際能帶寬度當然都是有限的，但是f()隨衰減十分迅速，積分上限取作不會顯著影響結果．常見的情況是EF位于EC以下若干kT．對于這種情況，我們可用玻爾茲曼分布代替費米分布，則有

(3-2-14)44

以代替／kT，則式可寫作(3-2-15)45于是得到導帶平衡電子濃度為

(3-2-16)上式中定積分的值為.考慮到n=EFEc(3-2-15)46式(3-2-16)說明，所有導帶能級的作用可以等效于能量集中在導帶邊EC處，具有等效態(tài)密度NC(單位體積的能態(tài)數(shù))的能級的作用。(3-2-16)47

(3-2-17)等效態(tài)密度并不是一個常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。溫度愈高，Nc越大。49電子濃度n取決于費米能級EF距離Ec的遠近。EF離Ec愈遠，電子濃度愈小。49上式適用于ECEF

>>

kT的情況，稱為非簡并情形．導帶電子按能量的分布如圖3.4中陰影部分所示．f()g()反映電子實際分布的情況。50式中mp為空穴有效質量，Nv為價帶等效態(tài)密度用完全類似的方法可以求得價帶空穴濃度p為式(3-2-18)成立的條件是EFEv>>kT。EF離開價帶愈遠空穴濃度愈?。?3-2-18)(3-2-19)51(3-2-16)(3-2-18):5253根據(jù)費米能級的位置可以判斷是n型，還是p型半導體以及載流子濃度的相對大小。式中g

為禁帶寬度,g=EcEv(3-2-21)還可以得到54

非簡并情況下，不管費米能級的具體位置如何，對于任一給定的半導體材料，在給定溫度下的電子、空穴濃度的乘積總是恒定的。55

至此，我們完全沒有涉及究竟在一個具體半導體中EF如何確定．只有具體知道了EF的位置及其隨溫度變化，我們才最后了解載流子濃度如何隨溫度變化．56§3.3本征載流子濃度

在包括含有雜質的一般情形下，費米能級的位置將與雜質和溫度有關，因此，載流子濃度以及它們隨溫度變化將與雜質有關．純凈的半導體中費米能級位置和載流子濃度只是由材料自身的本征性質決定的。我們把這種半導體稱為本征半導體。在本征半導體中，載流子只能通過把價帶電子激發(fā)到導帶產生。這種激發(fā)過程稱為本征激發(fā)。

57為求得電子、空穴濃度n和p，我們只需根據(jù)電中性條件n=p這里，Ei表示本征情形下的費米能級(3-3-1