第三章次數(shù)分布和平均數(shù)、變異數(shù)

第三章次數(shù)分布和平均數(shù)、變異數(shù)試驗(yàn)資料的性質(zhì)次數(shù)分布資料的特征數(shù)第一節(jié)總體及其樣本一、幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)術(shù)語1、總體與樣本由試驗(yàn)研究的目的而確定的同類事物或現(xiàn)象的全體稱為總體(population)。從總體中抽取一部分個(gè)體作為總體的代表來研究。被抽取的這些個(gè)體稱為樣本(sample).

樣本容量；非隨機(jī)樣本(non-randomsample)。隨機(jī)樣本(randomsample)；大樣本與小樣本；總體與樣本的關(guān)系

由樣本推斷總體雖然有很大可靠性，也有一定錯(cuò)誤率。俗語說“不可不信，不可全信”，這是我們對(duì)待統(tǒng)計(jì)推斷的正確態(tài)度。2、參數(shù)與統(tǒng)計(jì)數(shù)如：總體平均數(shù)----總體方差----μ用總體的全體觀察值計(jì)算的、描述總體的特征數(shù)稱為參數(shù)(parameter)。如：樣本平均數(shù)----樣本均方----

由樣本的全體觀察值計(jì)算的、描述樣本的特征數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)(statistics)。統(tǒng)計(jì)上，通常由樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)或推斷總體相應(yīng)參數(shù)。第二節(jié)次數(shù)分布當(dāng)觀測(cè)值不多(n≤30)時(shí)，不必分組，直接進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。當(dāng)觀測(cè)值較多(n>30)時(shí)，宜將觀測(cè)值分成若干組，以便統(tǒng)計(jì)分析。將觀測(cè)值分組后，制成次數(shù)分布表，即可看到資料的集中和變異情況。一、試驗(yàn)資料的分類1、數(shù)量性狀資料

凡是能夠以量測(cè)或計(jì)數(shù)的方法表示其特征的性狀統(tǒng)稱為數(shù)量性狀。

觀察測(cè)定數(shù)量性狀而獲得的數(shù)據(jù)就是數(shù)量性狀資料。

它的各個(gè)觀察值須以整數(shù)表示，兩個(gè)相鄰整數(shù)間不容許任何帶有小數(shù)的值存在。因此，該類資料也稱非連續(xù)性或間斷性變數(shù)資料。(1)計(jì)數(shù)資料

指用計(jì)數(shù)方式得到的數(shù)據(jù)資料.

各個(gè)觀察值不一定是整數(shù)，兩個(gè)相鄰的整數(shù)間可有帶小數(shù)的任何數(shù)值出現(xiàn)；計(jì)量資料也稱之為連續(xù)性變數(shù)資料.(2)計(jì)量資料凡用稱量、測(cè)量等量測(cè)手段得到的數(shù)量性狀資料。

質(zhì)量性狀是指只能觀察而不能測(cè)量的性狀。如花藥、莖、種子、果實(shí)、葉片的顏色、籽粒的飽滿度、芒的有無等。

2、質(zhì)量性狀資料質(zhì)量性狀本身不能用數(shù)值表示，要獲得這類性狀的資料，須對(duì)其觀察結(jié)果作數(shù)量化處理。數(shù)量化方法可分為以下兩種：

在一個(gè)樣本內(nèi)，分別統(tǒng)計(jì)具有某種性狀、不具有該性狀的個(gè)體數(shù)，這種數(shù)量化的資料又叫次數(shù)資料。

（1）統(tǒng)計(jì)次數(shù)法先根據(jù)性狀的變異情況分級(jí)，給每級(jí)分別賦予一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)值作代表值，然后統(tǒng)計(jì)樣本中屬于各個(gè)級(jí)別的個(gè)體數(shù)。（2）分級(jí)法（給分法）二、次數(shù)分布（一）計(jì)量資料次數(shù)分布表制作1.求極差RR＝max｛yi｝-min｛yi｝本例：R＝73.7-47.9=25.8(kg)極差(range)為資料中的最大觀察值與最小觀察值的差數(shù)，它表示了整個(gè)樣本的變異幅度.2.確定組數(shù)與組距確定適當(dāng)?shù)慕M數(shù)，應(yīng)考慮：觀察值個(gè)數(shù)的多少；極差(R)的大??；便于計(jì)算；能反映出資料的真實(shí)面貌。

組距是每個(gè)組區(qū)間的上限與下限之差，常用i表示。組距、組數(shù)、極差有如下關(guān)系:i=R/組數(shù)為了便于計(jì)算，組距一般取整數(shù)。本例R＝25.8，分為9組，故組距:(i)=25.8/9=2.9≈3.0(kg)3.確定組中值與組限組中值是各組區(qū)間的中點(diǎn)值，它可作為各組的代表值，最好取整數(shù)或與觀察值位數(shù)一致。一般先確定第一組的組中值，通常選接近資料中最小觀察值為宜。例2.1九個(gè)組中值分別為：48.5,51.5,54.5,57.5,…,72.5組限即各組的界限，常用L表示，同一組中數(shù)值小者稱為下限，數(shù)值大者稱為上限。47.01---50.0050.01---53.0053.01---56.00｜71.01---74.00例2.1的組限分別為：4.數(shù)據(jù)歸組

組限的小數(shù)位數(shù)比觀察值多取一位；為避免歸組時(shí)出現(xiàn)差錯(cuò)，組限一定要明確,不能有重疊、交叉。(二)計(jì)數(shù)資料的次數(shù)分布表【例如】某小麥品種的每穗小穗數(shù)的次數(shù)分布。變異較小的資料，可按觀察值分組.

每穗小穗數(shù)記數(shù)符號(hào)次數(shù)151617181920正一正正正正正正正正正T正正正正正正正正T正6153225175【例如】研究水稻品種的每穗粒數(shù)，共測(cè)115個(gè)穗，每穗粒數(shù)的變幅在20-139,極差達(dá)119.變異較大的計(jì)數(shù)資料，可用處理計(jì)量資料的方法制作次數(shù)分布表。分組20-2930-3940-4950-5960-6970-7980-8990-99100-109110-119120-129130-139次數(shù)14914151822147731(三)質(zhì)量性狀資料的次數(shù)分布表

例如，用某微肥處理后，紅星蘋果果實(shí)著色情況調(diào)查，見下表。果實(shí)著色分級(jí)代表值果實(shí)數(shù)全紅>2/3果面紅色1/3-2/3果面紅色<1/3果面紅色全綠54321143697537二、次數(shù)分布圖

(一)柱形圖(直方圖)

100株湘菊梨單株產(chǎn)量方柱形圖47.050.053.056.059.062.065.068.071.074.020151050適用于表示連續(xù)性變異資料的次數(shù)分布。100株湘菊梨單株產(chǎn)量折線圖48.551.554.557.560.563.566.569.572.5

20151050·········次數(shù)f(二)折線圖適用于計(jì)量資料的次數(shù)分布圖，且在同一圖上可比較兩組以上資料。100個(gè)麥穗每穗小穗數(shù)條形圖151617181920302520151050次數(shù)f適用于計(jì)數(shù)資料和質(zhì)量性狀資料。(三)條形圖用來描述總體或樣本特征的數(shù)，稱為

特征數(shù)。

第三節(jié)試驗(yàn)資料的特征數(shù)反應(yīng)其離散性的特征數(shù)是變異數(shù)。反應(yīng)資料集中性的特征數(shù)是平均數(shù);平均數(shù)是數(shù)量資料的代表數(shù)，用來表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中的中心位置。一、平均數(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，常用來進(jìn)行資料間的比較。

資料中各觀察值的總和除以觀察值的個(gè)數(shù)所得的商，稱為算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)，簡(jiǎn)稱平均數(shù)。通常用μ表示總體平均數(shù)，表示樣本平均數(shù)。

1.算術(shù)平均數(shù)設(shè)有一個(gè)含N個(gè)觀察值的有限總體，其觀察值為y1，y２，…，yN，則該總體的算術(shù)平均數(shù)μ定義為：

因?yàn)榭傮w內(nèi)的個(gè)體數(shù)很多，總體平均數(shù)往往無從計(jì)算，所以，一般用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)μ的估計(jì)值。

設(shè)有一個(gè)容量為n的樣本，其觀察值為，則該樣本的算術(shù)平均數(shù)可定義為：從總體中抽出的隨機(jī)樣本平均數(shù)是該總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)值。(1)離均差之和等于零。記為：(2)離均差平方和為最小。簡(jiǎn)記為:平均數(shù)的基本性質(zhì)：計(jì)算方法對(duì)于（n<30）未歸組的資料可以直接利用公式：【例2.2】在一水稻品種比較試驗(yàn)中，某品種的5個(gè)小區(qū)產(chǎn)量分別為20.0，19.0，21.0，17.5，18.5(kg)，求該品種的小區(qū)產(chǎn)量平均數(shù)。=(20.0+19.0+21.0+17.5+18.5)/5=19.2(kg)對(duì)已歸組的資料，其計(jì)算公式為：其中:yi—各組組中值；k—組數(shù);n—資料中所有觀察值的個(gè)數(shù);

fi—各組次數(shù)；

【例2.3】利用加權(quán)法求100株湘菊梨單株產(chǎn)量的算術(shù)平均數(shù)。

=(48.5×3+51.5×6+…+69.5×7+72.5×4)/100＝60.92(kg)(二)中數(shù)(M)

將觀察值按大小依次排列，當(dāng)觀察值數(shù)目為奇數(shù)時(shí)，最中間的觀察值就是中數(shù);當(dāng)觀察值數(shù)目為偶數(shù)時(shí)，最中間的兩個(gè)觀察值的算術(shù)平均數(shù)為中數(shù)。如2,2,3,4,7,8,9,11,14;5,7,8,9,10,11;(三)眾數(shù)（Mo）

在資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)或組中值。(四)幾何平均數(shù)（Mg）設(shè)有n個(gè)觀察值，其乘積開n次方所得的值，即為幾何平均數(shù)，即如某一調(diào)查結(jié)果為：3,4,3,3,5,6,4,3,2,2二、變異數(shù)

它由兩個(gè)極端觀察值決定，受資料中不正常的極端值的影響大，沒有充分利用資料的全部信息，不能精確表示資料的變異度。(一)極差(二)方差每個(gè)觀察值與平均數(shù)之差即離均差；表示觀察值偏離平均數(shù)的距離。離均差的平方再求和簡(jiǎn)稱平方和(sumofsquare)。記為SS。即

對(duì)樣本：對(duì)總體：將SS除以觀察值的個(gè)數(shù)得到平均平方和，稱之為方差(variance)?？傮w方差等于總體平方和除以總體觀察值個(gè)數(shù)N,用表示，即：總體方差通常無法得到，而由樣本方差估計(jì)，樣本方差稱為均方(meansquare)記為或MS：

上式中的(n-1)稱為自由度(degreeoffreedom)，簡(jiǎn)記為df。它是指樣本內(nèi)能獨(dú)立自由變動(dòng)觀察值的個(gè)數(shù)?！纠?.4】

有5個(gè)觀察值，其中4個(gè)觀察值的離均差為3，-2，3，5，那么第5個(gè)觀察值的離均差必為-9，才能滿足：

在估計(jì)其他統(tǒng)計(jì)數(shù)時(shí)，如該統(tǒng)計(jì)數(shù)受k個(gè)條件限制，則自由度等于樣本觀察值個(gè)數(shù)減去約束條件數(shù)k，即樣本自由度為n-k（三）標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)學(xué)上把方差或均方的平方根取正值稱為標(biāo)準(zhǔn)差。

樣本標(biāo)準(zhǔn)差：總體標(biāo)準(zhǔn)差:例2.5表2.7某水稻品種小區(qū)產(chǎn)量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算項(xiàng)目總和20.019.021.017.518.596.020.0-19.2=0.819.0-19.2=-0.221.0-19.2=1.817.5-19.2=-1.718.5-19.2=-0.70.640.043.242.890.49400.0361.0441.0306.25342.2507.301850.50

若比較兩個(gè)樣本的變異度，則因單位不同或平均數(shù)不同