2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案】

北京市通州區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷2023年1月本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知橢圓的焦點分別為，，點P為橢圓上一點，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的定義求解.【詳解】解：因為橢圓方程為，所以2a=4，又因為橢圓的焦點分別為，，點P為橢圓上一點，所以由橢圓的定義得2a=4，故選：B2.已知雙曲線，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可．【詳解】由于雙曲線為，所以其漸近線方程為.故選：C.3.已知數(shù)列的前5項為1，，，，，則數(shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】觀察數(shù)列的規(guī)律，找出合適的通項公式即可；或可將數(shù)列的各項代入選項中的通項公式進(jìn)行驗證排除.【詳解】觀察數(shù)列的各項，容易發(fā)現(xiàn)，分子均為1，分母均與項數(shù)相同，則數(shù)列的一個通項公式可以為.經(jīng)驗證，其他選項均不能滿足.故選：A.4.已知等差數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的首項和公差d分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】直接計算首項，根據(jù)等差數(shù)列的定義計算公差d.【詳解】因為等差數(shù)列的通項公式，所以首項，公差.故選：D.5.在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前5項和為（）A.40 B.80 C.121 D.242【答案】C【解析】【分析】先計算等比數(shù)列的首項和公比，再代入前n項和公式計算即可.【詳解】因為，所以公比，首項.則前n項和,所以數(shù)列的前5項和為.故選：C.6.已知圓與y軸相切，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求解即可.【詳解】因為圓與y軸相切，所以圓心到直線的距離等于半徑即，故選：C.7.如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，,，利用為線段的中點，得到點坐標(biāo)與動點坐標(biāo)之間的關(guān)系，將點坐標(biāo)用點坐標(biāo)表示，然后代入圓的方程即可得到動點的軌跡方程；【詳解】設(shè)，,，則,．為線段的中點，，即，．又點在圓上，，即．故點的軌跡方程為．故選：A8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，則點C到平面AEF的距離為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】易證平面AEF，得到PF為點P到平面AEF的距離，再根據(jù)E是PC的中點，得到點C與點P到平面AEF的距離相等求解.【詳解】解：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，所以，，又，所以平面PAD，又平面PAD，所以，因為點E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，所以，所以，又，則，且，所以平面AEF，所以PF為點P到平面AEF的距離，又因為E是PC的中點，所以點C與點P到平面AEF的距離相等，即，所以點C到平面AEF的距離為，故選：B9.已知拋物線與直線相交于A，B兩點，則線段AB的長為（）A B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式即可求解.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程組整理可得：，則有，由弦長公式可得：，故選：.10.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若對任意恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用裂項相消法求出，將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，因為對任意恒成立，也即對任意恒成立，因為（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時等號成立）所以，故選：.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.點到直線的距離為___________．【答案】【解析】【分析】代入點到直線的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點到直線的距離為，由點到直線的距離公式可得：，故答案為：.12.已知拋物線經(jīng)過點，則該拋物線的方程為___________；準(zhǔn)線方程為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點，代入求得p即可.【詳解】解：因為拋物線經(jīng)過點，所以，解得，所以該拋物線的方程為；準(zhǔn)線方程為，故答案為：，13.如圖，點M為四面體OABC的棱BC的中點，用，，表示，則___________．【答案】【解析】【分析】由向量減法可得：，再利用為的中線即可求解.【詳解】連接，所以，又因為為的中點，所以，所以，故答案為：.14.已知有窮數(shù)列的各項均不相等，將數(shù)列的項從大到小重新排序后相應(yīng)的項數(shù)構(gòu)成新數(shù)列，稱數(shù)列為數(shù)列的“序數(shù)列”．例如，數(shù)列，，滿足，則其“序數(shù)列”為1，3，2．設(shè)各項均不相等的數(shù)列2，，，5（）為數(shù)列Ω．①若，則數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為___________；②若數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為3，4，1，2，則t的取值范圍為___________．【答案】①.，，，.②.【解析】【分析】根據(jù)“序數(shù)列”定義直接求解即可.【詳解】①因為，所以數(shù)列Ω為：，由“序數(shù)列”定義可得：時，數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為，，，.②因為數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為3，4，1，2，而數(shù)列Ω為2，，，5，由“序數(shù)列”定義可得：，解得：，所以的取值范圍為，故答案為：，，，；.15.已知曲線E的方程為，給出下列四個結(jié)論：①若點是曲線E上的點，則，；②曲線E關(guān)于x軸對稱，且關(guān)于原點對稱；③曲線E與x軸，y軸共有4個交點；④曲線E與直線只有1個交點．其中所有正確結(jié)論的序號是___________．【答案】①④【解析】【分析】①由，分別得到，求解判斷；②設(shè)點是曲線E上的點，分別得到點關(guān)于x軸對稱和原點對稱的對稱點，代入方程驗證判斷；③由，分別令，求解判斷；④分和，曲線方程與直線方程聯(lián)立求解判斷.【詳解】①若點是曲線E上的點，由，得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，成立，綜上，而，則，故正確；②設(shè)點是曲線E上的點，點關(guān)于x軸對稱的對稱點為，因為，所以曲線E關(guān)于x軸對稱，點關(guān)于原點對稱的對稱點為，因為，所以曲線E不關(guān)于原點對稱，故錯誤；③由，令，得，解得，曲線E與y軸的交點為，令，得，解得，曲線E與x軸的交點為，所以曲線E與x軸，y軸共有3個交點，故錯誤；④當(dāng)時，由，解得，所以曲線E與直線曲線E與直線的交點為；當(dāng)時，方程組無解，則曲線E與直線無交點，所以曲線E與直線只有1個交點，故正確，故答案為：①④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知兩點，，直線l：．（1）若直線經(jīng)過點A，且，求直線的方程；（2）若圓心為C的圓經(jīng)過A，B兩點，且圓心C在直線l上，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)直線，設(shè)直線的方程為：，再利用直線過點，將點的坐標(biāo)代入即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)圓的性質(zhì)可知：圓心必在弦的垂直平分線上，又因為圓心C在直線l上，聯(lián)立兩直線方程求出圓心坐標(biāo)，再利用圓心到圓上一點的距離等于半徑即可求出半徑長，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.小問1詳解】因為直線，直線l：，設(shè)直線的方程為：，因為直線經(jīng)過點，所以，解得：，所以直線的方程為：.【小問2詳解】因為，，所以的中點，則的中垂線方程為：，由圓的性質(zhì)可得：圓心在的中垂線上，又因為圓心C在直線l上，所以聯(lián)立方程組：，解得：，圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.17.已知雙曲線的頂點在x軸上，兩頂點間的距離是2，離心率．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線的焦點F與該雙曲線的一個焦點相同，點M為拋物線上一點，且，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可知：，結(jié)合離心率得到，進(jìn)而求出即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，求出拋物線方程，利用拋物線的定義即可求解點M的坐標(biāo).【小問1詳解】由題意可知：，則，又離心率，所以，則，因為雙曲線的頂點在x軸上，也即焦點在x軸上，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】因為拋物線的焦點，且拋物線的焦點F與該雙曲線的一個焦點相同，所以，則，所以拋物線方程為，設(shè)點，由拋物線的定義可知：，所以，又因為，所以，故點的坐標(biāo)為或.18.在等比數(shù)列中，，公比，設(shè)．（1）求的值；（2）若m是和的等差中項，求m的值；（3）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）4（2）11（3）【解析】【分析】（1）先求通項公式，再求的值；（2）先求的通項公式，可得和的值，從而可求m的值；（3）利用分租求和的方法，結(jié)合等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式求解即可.【小問1詳解】因為等比數(shù)列中，，公比，所以；【小問2詳解】因為，所以，又因為，所以和的等差中項；【小問3詳解】因為，所以19.如圖，在長方體中，，，點E為的中點．（1）求證：AE⊥平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明一條直線垂直于平面只需證明該直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量數(shù)量積計算夾角的余弦值.【小問1詳解】在中，；同理可證，平面，平面，，平面；【小問2詳解】以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：則有，由（1）的結(jié)論可知是平面的一個法向量，，顯然是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則；綜上，平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知橢圓C：的焦距為，點在橢圓C上，點B的坐標(biāo)為，點O為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線l交橢圓C于，兩點，判斷和的大小，并說明理由．【答案】（1）（2），證明過程見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解，即可得到橢圓的方程；（2）顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程，再聯(lián)立橢圓C的方程，即可得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理求得，，再根據(jù)題意將比較和的大小轉(zhuǎn)化為比較和的大小(為直線的斜率，為直線的斜率)，再用作差法得出與0的符號關(guān)系即可得出結(jié)論．小問1詳解】依題意有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】如圖，顯然直線l斜率存在，則可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消y整理得，則，，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則比較和的大小，比較直線的傾斜角的補角和直線的傾斜角的大小，比較和的大小，則，所以，即．【點睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：①設(shè)出直線方程，設(shè)交點為，；②聯(lián)立直線與曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；③寫出韋達(dá)定理；④將所求問題轉(zhuǎn)化為，（或，）的形式；⑤代入韋達(dá)定理求解．21.已知等差數(shù)列的第2項為4，前6項的和為42，數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通