2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷數(shù)學(xué)2023.1（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10題，每題4分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知全集，集合，則 （A） （B）（C） （D）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（3）函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（A） （B）（C）（D）（4）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（A） （B）（C） （D）（5）在中，“”是“為等腰三角形”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（6）過直線上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓相切，則的最大值為第（7）題（A） （B）第（7）題（C） （D）（7）已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于 （A）（B） （C）（D）第（8）題（8）年月日，長征五號(hào)遙四運(yùn)載火箭帶著中華民族千百年來探索浩瀚宇宙的夢想，將中國空間站夢天實(shí)驗(yàn)艙準(zhǔn)確送入預(yù)定軌道．在不考慮空氣阻力的條件下，若火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的關(guān)系滿足，,,之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是第（8）題（A）當(dāng)，時(shí)，（B）當(dāng)，時(shí)，（C）當(dāng)，時(shí)，（D）當(dāng)，時(shí)，（9）已知,,是單位圓上不同的三點(diǎn)，，則的最小值為（A） （B）（C） （D）（10）在數(shù)列中，，，若存在常數(shù)，對(duì)任意的，都有成立，則正數(shù)的最大值為（A） （B）（C） （D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5題，每題5分，共25分。（11）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）（12）已知等差數(shù)列的公差，，且,,成等比數(shù)列，則；其前項(xiàng)和的最大值為．（13）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最大值為．（14）拋物線:的準(zhǔn)線的方程為．若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則(是坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值為．（15）如圖，在棱長為的正方體中，,分別為,的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn)；第（15）題線段長度的最小值為；第（15）題點(diǎn)的軌跡是矩形；點(diǎn)的軌跡圍成的多邊形的面積為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的最小值．（17）（本小題13分）跳長繩是中國歷史悠久的運(yùn)動(dòng)，某中學(xué)高三年級(jí)舉行跳長繩比賽（該校高三年級(jí)共個(gè)班），規(guī)定每班人參加，其中人搖繩，人跳繩，在分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)超過個(gè)的班級(jí)可獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)，跳繩個(gè)數(shù)最多的班級(jí)將獲得冠軍．為預(yù)測獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的班級(jí)個(gè)數(shù)及冠軍得主，收集了高三年級(jí)各班訓(xùn)練時(shí)在分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：個(gè)）：高三（）班：，，，，，，，，，；高三（）班：，，，；高三（）班：，，，；高三（）班：，，，，，．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且高三年級(jí)各班在分鐘內(nèi)的跳繩個(gè)數(shù)相互獨(dú)立．（Ⅰ）估計(jì)高三（）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）用表示此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)的班級(jí)個(gè)數(shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）在此次跳長繩比賽中，哪個(gè)班獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，,分別為,的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（19）（本小題15分）已知橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)不在軸上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，面積的最大值為．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，直線,分別與軸相交于點(diǎn),．當(dāng)時(shí)，求直線的方程．（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若，證明：．

（21）（本小題15分）已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若數(shù)列的前項(xiàng)為,,,，寫出,,,的值；（Ⅱ）證明：對(duì)任意的，均有；（Ⅲ）證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）D（5）D（6）A （7）B （8）C （9）C（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

11

） （12） （13）（14）

（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分） 解：（Ⅰ）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以．所以．又因?yàn)?，所以．（Ⅱ）因?yàn)?，，由余弦定理，得．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得． 所以的最小值為．（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）設(shè)事件為“高三（）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)”．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，高三（）班共訓(xùn)練次，跳繩個(gè)數(shù)超過個(gè)的共次．所以估計(jì)為．（Ⅱ）設(shè)事件為“高三（）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)”，．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)為，估計(jì)為，估計(jì)為．根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為,,,,，且；；；；．所以，估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為．所以估計(jì)為．（Ⅲ）在此次跳長繩比賽中，高三（）班獲得冠軍的概率估計(jì)值最大．（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）取的中點(diǎn),連接,.因?yàn)?分別是,的中點(diǎn),所以且.又且，所以且.故四邊形為平行四邊形.所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接,.在中，因?yàn)椋?又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平?故,.又在正方形中，,所以,,兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，則,,,,.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則,．于是．又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以．選擇條件①：．則，即．又，所以．此時(shí)．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．選擇條件②：．則，得．此時(shí)．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)槊娣e的最大值為，所以．又因?yàn)?，，所以，．所以橢圓的方程為，離心率為．（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為．顯然∽．因?yàn)?，所以．不合題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．由得．顯然．設(shè)，，且，則，．直線的方程為．令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則．直線的方程為．同理可得．所以．所以．即．可得．化簡得．解得．所以直線的方程為或．（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋傻茫畹茫驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）由，依題意，在上恒成立．設(shè)，則．令，得（舍），．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．故．又由得．所以．依題意需，即．設(shè)，則易知在為增函數(shù)．又，所以對(duì)任意的，有；對(duì)任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范圍為．（Ⅲ）由得，且,．由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，．兩式相加得，即．故．（21）（本小題15分）解：（Ⅰ），，，．（Ⅱ）對(duì)任意，存在，使得．若或，則或又可以寫成數(shù)列中某兩項(xiàng)的和，如．依此類推，存在，使得，其中．所以存在，使得，且．設(shè)，則