2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)歷城高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城區(qū)歷城第二中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．-2 B．2 C．-2i D．2i【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得出虛部.【詳解】，即該復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B2．命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5【答案】C【分析】先要找出命題為真命題的充要條件，從集合的角度充分不必要條件應(yīng)為的真子集，由選擇項(xiàng)不難得出答案【詳解】命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，恒成立即只需，即命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的的充要條件為，而要找的一個(gè)充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項(xiàng)可知C符合題意.故選：C3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)切點(diǎn)求得斜線的斜率,再由點(diǎn)斜式即可求得方程.【詳解】曲線則當(dāng)時(shí),所以在點(diǎn)處的切線方程,由點(diǎn)斜式可得化簡(jiǎn)可得故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.4．已知向量．若與垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】求出，根據(jù)向量垂直可得數(shù)量積為0即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.故選：B.5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【詳解】分析：條件已提供了首項(xiàng)，故用“a1，d”法，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)解得．解答：解：設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，所以Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn取最小值．故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力．6．下列四個(gè)圖形中，正方體棱上的四個(gè)中點(diǎn)共面的圖形是（

）．A．甲與乙 B．乙與丙 C．丙與丁 D．丁與甲【答案】A【分析】如圖所示:利用空間點(diǎn)線面位置關(guān)系可以證明圖中中點(diǎn)E、F、G、H、M、N六點(diǎn)共面,進(jìn)而判斷甲乙圖中對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)為分別為:H、F、G、N和E、F、G、M均在平面EFGNMH內(nèi)，所以可得甲乙圖形符合要求;然后可判斷丙和丁圖中對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)不共面.【詳解】如圖所示,E、F、G、H、M、N、P、Q均為正方體AC1棱上的中點(diǎn),所以有:EFAC,MNA1C1,ACA1C1,得EFMN,所以得EF、MN可確定一個(gè)平面α,同理EH、NG可確定一個(gè)平面β,又因?yàn)镋、F、M三點(diǎn)不共線只能確定一個(gè)平面,所以α、β重合,即E、F、G、H、M、N六點(diǎn)共面為平面EN,所以有:甲圖中對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)為H、F、G、N在平面EN內(nèi)即共面;乙圖中對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)為E、F、G、M在平面EN內(nèi)即共面;丙圖中對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)為E、F、P、M其中P點(diǎn)不在平面EN內(nèi)即得四點(diǎn)不共面;丁圖中對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)為E、H、G、Q其中Q點(diǎn)不在平面EN內(nèi)即得四點(diǎn)不共面;綜上可得甲乙圖滿足要求.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了多點(diǎn)共面的問(wèn)題,綜合利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系來(lái)證明,解決此類問(wèn)題要求學(xué)生有豐富的空間想象能力,屬于中檔題.7．已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件先確定出點(diǎn)的軌跡方程，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“以為直徑的圓要包括圓”，由此利用圓心到直線的距離結(jié)合點(diǎn)的軌跡所表示圓的半徑可求解出的最小值.【詳解】由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，圓心為點(diǎn)，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點(diǎn)到直線的距離為，所以長(zhǎng)度的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)軌跡方程的求解以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，根據(jù)弦中點(diǎn)以及線段長(zhǎng)度可求點(diǎn)軌跡方程，其次“恒成立”轉(zhuǎn)化為“以為直徑的圓包括的軌跡”，結(jié)合圓心到直線的距離加上半徑可分析的最小值.8．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，將有四個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的圖像與有四個(gè)不同交點(diǎn)，分析可知，由韋達(dá)定理可得，設(shè)，，由導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，即可求出范圍.【詳解】解：時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，畫出的圖像如下圖，有四個(gè)零點(diǎn)即的圖像與有四個(gè)不同交點(diǎn)，由圖可得，是方程，即的兩根，是方程，即的兩根，，，則，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即.故選：A.二、多選題9．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．

D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【分析】根據(jù)，且，可推出，，故，可判斷AD正確，B錯(cuò)誤，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷，判斷C.【詳解】為等差數(shù)列，∵，且，∴，即，∴{an}是遞減等差數(shù)列，最大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故AD正確，B錯(cuò)誤，，則，故C錯(cuò)誤，故選：AD．10．光線沿著直線射到直線上，經(jīng)反射后沿著直線射出，則實(shí)數(shù)a可能為（

）A．6 B． C．2 D．【答案】AD【分析】根據(jù)入射光線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)一定在反射光線上，即可求解.【詳解】在直線上任意取一點(diǎn)，由題知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，則整理得，解得或.故選：AD.11．如圖，正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）A．直線與是異面直線B．直線與平面平行C．直線與直線所成角的余弦值為D．直線與平面所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】直線與在同一平面內(nèi)，不是異面直線，分別證明線面平行，計(jì)算異面直線夾角和直線與平面所成角的大小即可得解.【詳解】直線與在同一平面內(nèi)，不是異面直線，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；取交點(diǎn)，連接，，所以四邊形是平行四邊形，，平面，平面，所以直線與平面平行，B選項(xiàng)正確；直線與直線所成角就是與直線所成角，正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，連接在中，由余弦定理可得所以直線與直線所成角的余弦值為，所以C選項(xiàng)正確；由題可得：平面平面，交線為AC，，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，，所以平面，線與平面所成角就是，在直角三角形中，直線與平面所成角的余弦值為，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】此題考查空間線面位置關(guān)系，涉及異面直線判定，求異面直線所成角，判斷線面平行，求直線與平面所成角的大小，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)定理和解決問(wèn)題的基本方法.12．已知函數(shù)，則（

）A．恒成立 B．是上的減函數(shù)C．在得到極大值 D．在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】CD【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可判斷BC，取可判斷A選項(xiàng)的正誤，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及可判斷D.【詳解】，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由，可得，由，可得，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由題可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，而，故在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：CD.三、填空題13．若，，…，這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為0.21，則，，…，，這21個(gè)數(shù)據(jù)的方差為__________．【答案】【解析】根據(jù)平均數(shù)與方差的概念，利用公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解．【詳解】由題意，數(shù)據(jù)，，…，這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，由方差的公式，可得，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)與方差的概念及應(yīng)用，其中解答中熟記平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．若點(diǎn)，，點(diǎn)P是yOz平面上一點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)距離和取到最小值，利用對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)移等長(zhǎng)線段，即可分析出，由空間兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】解：構(gòu)造點(diǎn)關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化成，當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，，故答案為：15．如圖，“神舟十三號(hào)”載人飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心（簡(jiǎn)稱“地心”）為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為e．設(shè)地球半徑為r，該飛船遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為R，則該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為______．【答案】【分析】由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)可得，再由近地點(diǎn)距地面距離為，即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，若橢圓軌道對(duì)應(yīng)方程為且，橢圓的幾何性質(zhì)知：，則，又近地點(diǎn)離地面的距離為.故答案為：.四、雙空題16．若函數(shù)在和兩處取到極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】

【分析】對(duì)求導(dǎo)后令，再根據(jù)是導(dǎo)函數(shù)的兩根，數(shù)形結(jié)合分析兩根的關(guān)系求解.【詳解】解：①已知函數(shù)，則，若函數(shù)在和兩處取到極值，則和是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即是方程，即的兩個(gè)根，所以函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由于，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故的減區(qū)間有和，增區(qū)間有，且當(dāng)時(shí)，，作出的草圖：由圖可知要滿足函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，需使，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，②，且若，即，取，并令，則，所以，解得，此時(shí)，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.五、解答題17．等差數(shù)列{}中，.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件求，，從而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求數(shù)列的前10項(xiàng)和.試題解析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意有.解得.所以的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.當(dāng)n=1,2,3時(shí)，；當(dāng)n=4,5時(shí)，；當(dāng)n=6,7,8時(shí)，；當(dāng)n=9,10時(shí)，.所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.【解析】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和【名師點(diǎn)睛】求解本題時(shí)常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：對(duì)“表示不超過(guò)的最大整數(shù)”理解出錯(cuò).18．已知直線和圓．(1)若直線交圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；(2)求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先由圓的方程得到圓心和半徑，根據(jù)幾何法求弦長(zhǎng)，即可得出結(jié)果；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可直接得出切線方程；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，先設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑列方程，得出的值即可求出直線方程．【詳解】（1）將圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，所以的圓心為，半徑，所以到直線：的距離，所以；（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線為，是圓的一條切線；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為，即，所以圓心到直線的距離為，即，解得：，所以此時(shí)切線方程為，化簡(jiǎn)得．綜上所述，所求的直線方程為：或．19．已知銳角三角形中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，向量，，且.(1)求角的大小；(2)若，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角為銳角可得角的值；（2）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得出，求出角的取值范圍，可求得的取值范圍，再利用三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】（1）解：由已知可得，由正弦定理可得，、均為銳角，則，故，因此，.（2）解：由（1）可知，，故，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，故，即有，則，又由.所以面積的取值范圍是.20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，△AEB為等邊三角形.(1)證明：PB⊥AE；(2)點(diǎn)F在線段PD上且DF=2FP，若二面角F?AC?D的大小為45°，求直線AE與平面ACF所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，證明，由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到，得到平面，求出PB⊥AE；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值；方法二：作出輔助線，得到二面角的平面角，求出各邊長(zhǎng)，利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離，從而求出線面角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)且為等邊三角形，所以，從而.取的中點(diǎn)，則四邊形為菱形，連接BO，故，①又，且為的中點(diǎn)，則，又平面平面，平面平面，所以平面，從而②由①②得：平面，又平面，故.（2）解法一：設(shè)，作交，由（1）已證平面，從而兩兩垂直，以點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，由得今，則，故，由平面知為平面的一個(gè)法向量.由二面角的大小為知，解得.從而為平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為，從而直線與平面所成角的正弦值為.解法二：作交于，作于，連接，由（1）已證平面，故平面，又平面，所以，又，所以平面，所以為二面角的平面角，由題知.不妨設(shè)，又，所以，且，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由知，得，解得.從而直線與平面所成角的正弦值為.21．已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為3，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)及上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理，根據(jù)角度相等，轉(zhuǎn)化為斜率之和為0，列出方程，求出，求出弦長(zhǎng)，表達(dá)出面積，求出面積最大值.【詳解】（1）由已知可得，解得所以橢圓的方程