2021-2022學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年安徽省合肥市廬江縣高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】直線可化為直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，又，故選C.2．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．20 B．35 C．45 D．63【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合求和公式即可求解．【詳解】依題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，所以，故選：D．3．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對給出的四種運(yùn)算逐一驗(yàn)證，即可得到正確答案.詳解：，不正確；，正確；,不正確；，不正確，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法以及簡單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，屬于基礎(chǔ)題.4．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程得到漸近線的方程，根據(jù)一條漸近線所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的關(guān)系，進(jìn)而利用求得離心率.【詳解】因?yàn)闈u近線經(jīng)過點(diǎn)，所以，從而.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬基礎(chǔ)題.5．函數(shù)的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)，單調(diào)性即可解決.【詳解】解：由得或，故BD錯(cuò)；又，所以，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，在處取得極大值，在處取得極小值，故A錯(cuò).故選：C6．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且滿足，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義可得，，將兩式聯(lián)立可得的值，由三角形面積公式計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在橢圓上，滿足，，又由橢圓的方程為，其中，則有，，聯(lián)立可得，則△的面積；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及勾股定理與三角形的面積，關(guān)鍵是掌握橢圓的幾何性質(zhì)．7．如圖，在四棱錐中，平面，M，N分別為，上的點(diǎn)，且，，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】以為基底表示，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】，所以.故選：B8．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，參變分離后，求的取值范圍.【詳解】，由題意可知，，當(dāng)時(shí)恒成立，即恒成立，得，，所以.故選：D9．圓關(guān)于直線對稱，則最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圓心，得到圓心在直線上，進(jìn)而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】變形為，故圓心為，因?yàn)殛P(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上，即，所以，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以.故選：A10．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有女子善織，日增等尺，三日織9尺，第二日、第四日、第六日所織之和為15尺，則其七日共織尺數(shù)為幾何？”大致意思是:“有一女子善于織布，每日增加相同的尺數(shù)，前三日共織布9尺，第二日、第四日、第六日所織布之和為15尺，問她前七日共織布多少尺？”（

）A．28 B．32 C．35 D．42【答案】C【分析】該女子每日織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為，進(jìn)而得，再解方程，并計(jì)算前項(xiàng)和即可.【詳解】解：由題知，該女子每日織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為，設(shè)其每日增加的尺數(shù)為，其前項(xiàng)和為，所以，，即，解得，，所以，她前七日共織布尺.故選：C11．函數(shù)在處有極值為，那么，的值為（

）A．， B．，C．，或， D．，【答案】A【分析】由題意可知，由此可求出，并驗(yàn)證即可求解．【詳解】，由題意可知即，則解得或，當(dāng)時(shí)，，在處不存在極值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，，符合題意．，故選：A．12．在數(shù)列中，若，且對任意的有，則使數(shù)列前n項(xiàng)和成立的n最大值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，進(jìn)而得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，令，再結(jié)合其單調(diào)性求解即可.【詳解】解：因?yàn)閷θ我獾挠?，所以，即?shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，，所以，，所以，所以，所以即為，所以，令，則，即，所以為單調(diào)遞減數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，不滿足，所以成立的n最大值為，所以，數(shù)列前n項(xiàng)和成立的n最大值為.故選：B二、填空題13．不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)_________.【答案】【分析】直線方程轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)直線系方程求解即可.【詳解】解：將直線方程轉(zhuǎn)化為，所以直線過直線與的交點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程，解得所以，直線恒過定點(diǎn)故答案為：14．已知向量，，則__________.【答案】【分析】先利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算得到，進(jìn)而求出模長.【詳解】，所以.故答案為：.15．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且到雙曲線漸近線的距離為，則拋物線的方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線方程為,由于雙曲線漸近線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得的值，即可得拋物線的方程.【詳解】解：已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，則設(shè)拋物線方程為：,則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又到雙曲線漸近線的距離為，雙曲線中，所以，則漸近線方程為：所以，解得或（舍），則拋物線的方程為.故答案為：.16．已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意的，總存在使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性求出的最值，即可得的值域，由單調(diào)性可得的值域，由題意可得在的值域是的值域的子集，根據(jù)包含關(guān)系列不等式組即可求解．【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，，可得在的值域?yàn)?，由在遞增，可得的值域?yàn)?，由對任意的，總存在，使得，可得，所以，可得，?shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題17．已知直線l3：，直線l經(jīng)過兩條直線l1：和l2：的交點(diǎn).(1)若l∥l3，求l的直線方程；(2)若若l⊥l3，求l的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】先求出l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo).再分別由l∥l3，，l⊥l3求出直線l方程即可.【詳解】（1）由，得.∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)為(1，3)設(shè)與直線平行的直線方程為，則，∴∴所求直線方程為.（2）設(shè)與直線垂直的直線方程為則，解得∴所求直線方程為.18．如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，點(diǎn)E、F分別為CA1、AB的中點(diǎn).（1）證明:平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）通過證明來證得平面.（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量來計(jì)算出與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）如圖，連接EC1、BC1，因?yàn)槿庵鵄1B1C1-ABC為直三棱柱，所以E為AC1的中點(diǎn).又因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以.又EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以平面.（2）以A1為原點(diǎn)，A1C1、A1B1、A1A所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0，0，6)，B1(0，4，0)，E(2，0，3)，F(xiàn)(0，2，6)，所以=(0，-2，6)，=(2，0，-3)，=(0，2，0)，設(shè)平面AEF的法向量為，則令x=3，得，記B1F與平面AEF所成角為θ，則.19．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差和公比，即可求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）先由（1）求得，再利用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和即可．【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，，由，，，可得，，解得，，舍去），則；；（2）由（1）知：，，又，兩式相減得：，整理可得：．20．已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若對所有都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，研究函數(shù)的單調(diào)性，再求其最值，（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，的?dǎo)數(shù).令，解得；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.（Ⅱ）依題意，得在上恒成立，即不等式對于恒成立.令，則.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋适巧系脑龊瘮?shù)，所以的最小值是，從而的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式，屬中檔題.21．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程．(2)若點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，如圖所示．設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率、所過的點(diǎn)及其參數(shù)關(guān)系求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設(shè)，寫出直線的方程，進(jìn)而求坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求、，結(jié)合在橢圓上即可證結(jié)論.【詳解】（1）由橢圓的離心率，則，則，將代入橢圓方程：，解得：，則，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）由（1）知：，，設(shè)，則直線的方程為：．令得：∴，則，∴，∵在橢圓上，∴，．∴為定值，得證．22．某工廠某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為噸，其中，需要投入的成本為（單位：萬元），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若每噸商品售價(jià)為萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．（Ⅰ）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少噸