條件概率和事件的相互獨立性

一、條件概率和乘法公式三、事件的相互獨立性二、全概率公式和貝葉斯公式四、小結(jié)第三節(jié)條件概率和事件的相互獨立性

將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件A為“至少有一次為正面”,事件B為“兩次擲出同一面”.現(xiàn)在來求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.分析事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,記為1.引例一、條件概率和乘法公式同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.2.定義例1一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品、1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”、事件B為“第二次取到的是一等品”．試求條件概率P(B|A).解由條件概率的公式得例2某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，B表示“能活25歲以上”的事件,則有解3.性質(zhì)4.乘法公式摸球試驗解例4此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.例5設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”.例3

五個鬮,其中兩個鬮內(nèi)寫著“有”字，三個鬮內(nèi)不寫字，五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

依此類推故抓鬮與次序無關(guān).1.樣本空間的劃分二、全概率公式和貝葉斯公式2.全概率公式全概率公式圖示證明化整為零各個擊破說明

全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.例6有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%

，三廠生產(chǎn)的占20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%因為稱此為貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式貝葉斯資料例7解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得解例8由貝葉斯公式得所求概率為上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗概率.先驗概率與后驗概率解例9由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個具有陽性反應(yīng)的人中大約只有87人患有癌癥.三、事件的相互獨立性則有1.引例事件A與事件B相互獨立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).說明

2.定義兩事件相互獨立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨立與兩事件互斥的關(guān)系.請同學(xué)們思考二者之間沒有必然聯(lián)系由此可見兩事件互斥但不獨立.3.三事件兩兩相互獨立的概念注意三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立4.三事件相互獨立的概念伯恩斯坦反例例3

一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以A，B，C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問A，B，C是否相互獨立?解由于在四面體中紅、白、黑分別出現(xiàn)兩面，因此又由題意知故有因此A，B，C不相互獨立.則三事件A,B,C兩兩獨立.由于n個事件相互獨立n個事件兩兩相互獨立推廣證明5.幾個重要定理證明又因為A、B相互獨立,所以有兩個結(jié)論例1設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛機的概率是多少?射擊問題解事件B為“擊落飛機”,6.例題講解例2甲、乙、丙三人同時對飛機進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.解

A,B,C分別表示甲、乙、丙擊中飛機,因而,由全概率公式得飛機被擊落的概率為例4同時拋擲一對骰子,共拋兩次,求兩次所得點數(shù)分別為7與11的概率.解事件A為兩次所得點數(shù)分別為7與11.則有解例5例6要驗收一批(100件)樂器.驗收方案如下:自該批樂器中隨機地取3件測試(設(shè)3件樂器的測試是相互獨立的),如果3件中至少有一件在測試中被認(rèn)為音色不純,則這批樂器就被拒絕接收.設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認(rèn)為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂器中恰有4件是音色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少?解純的樂器,經(jīng)測試被認(rèn)為音色純的概率為0.99,已知一件音色而一件音色不純的樂器,經(jīng)測試被認(rèn)為音色純的概率為0.05,并且三件樂器的測試是相互獨立的,于是有解“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;