材料力學-扭轉(zhuǎn)問題

第三章扭轉(zhuǎn)§3.1扭轉(zhuǎn)的概念和實例工程上有很多承受扭轉(zhuǎn)變形桿件,例如攪拌器的主軸實例實例傳動軸實例汽車傳動軸實例汽車方向盤實例絲錐攻絲實例

扭轉(zhuǎn)變形是指桿件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用,使桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。

扭轉(zhuǎn)的概念工程上，把承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件稱“軸”。其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。MeMe橫截面之間的相對角位移,稱為扭轉(zhuǎn)角。直接計算§3.2、外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖一.外力偶的計算

按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算已知軸轉(zhuǎn)速－n

轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－Pk

千瓦力偶矩Me二.扭轉(zhuǎn)內(nèi)力:MeMeMeTMeTnn（+）（+）仍采用截面法:扭轉(zhuǎn)內(nèi)力正負號規(guī)則:右手螺旋法則,確定內(nèi)力正負

扭矩T扭矩正負規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向為正(+),反之為負(-)例

已知PkA=19kW,PkB=44kW,

PkC=25kW,n=150rpm求:作圖示傳動軸的扭矩圖.MAMBMC解:

1.求外力偶

MA==1210Nm同理

MB=2800Nm,MC=1590Nm

MAMBMC1-12-2T1-MA=0

討論：交換AB輪的位置扭矩將如何變化？1210-1590xT-2800-1590xTMAnT1

T2-MA+

MB=0MBMAT2n2.截面法求內(nèi)力(設(shè)正法)3.作內(nèi)力圖

T1

=1210Nm

T2

=-1590Nm3.3純剪切l(wèi)XMelX（1）實驗觀察:各縱向線傾斜角度相同；正方形網(wǎng)格,加外力偶后變成同樣大小的平行四邊形。各圓周線的形狀、大小和間距不變，只是繞軸線作相對轉(zhuǎn)動；一圓軸扭轉(zhuǎn)時切應力lXMe二推論：存在切應力,且同一圓周上的切應力相同

橫截面上無正力；(橫截面上任意點的切應力的方向和半徑垂直。)R由現(xiàn)象A

由現(xiàn)象B二切應力互等定律xyzdxdydz=單元體純剪切狀態(tài)沿纖維、木紋方向開裂可以證明實驗證明:當切應力不超過材料的剪切比例極限時,剪切胡克定律G:稱為材料的切變模量反映材料的抗剪切變形的能力.(MPa,GPa)各向同性材料三切應變,剪切胡克定律四

剪切應變能密度

ABCDtt

′dxdydz剪切應變能密度當切應力不超過材料的剪切比例極限§3.4圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應力lXMelX實驗現(xiàn)象：……平面假設(shè)：圓桿的橫截面變形后仍為保持為平面一變形幾何關(guān)系

圓軸橫截面像剛性平面一樣,繞軸線轉(zhuǎn)過一角度T表面內(nèi)部二物理條件：三平衡條件：dxTT內(nèi)部一變形幾何關(guān)系

T極慣性矩實心圓軸空心圓軸Wt抗扭截面系數(shù)圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件:對階梯軸，因各段的Wt不同

,最大切應力不一定在最大T所在截面，須綜合考慮T和Wt，確定T/Wt極值。d已知：P1＝14kW,功率的一半傳n1=n2=120r/min,

z1=36,z3=12;

d1=70mm,d2=50mm,

d3=35mm.求:各軸橫截面上的最大切應力。P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/min

Me1=T1=1114N.mMe2=T2=557N.mMe3=T3=185.7N.m解：強度滿足?？招膬?yōu)于實心（1）改用實心軸，在最大應力不變時確定軸的直徑；討論：（2）比較實心軸和空心軸的重量。由得校核軸的強度。

例

已知汽車傳動主軸D=90mm,d=85mmMe=1.5kNm。MeMe為什么相同強度條件下空心軸比實心軸省材料？T=Me=1.5kNm,§3.5

圓軸扭轉(zhuǎn)的變形抗扭剛度單位：弧度(rad)剛度條件：精密軸一般軸粗糙軸對于兩端作用力偶長為l的等直軸:若各段的T不同，或各段的Wt同，則分段計算扭轉(zhuǎn)角,再代數(shù)相加:剛度條件：解：作扭矩圖12100-1590xT1590N.m2800N.m1210N.m|T|max=1590（N.m)取

D=59或60mm例已知：確定圓軸的直徑.

例傳動軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動輪A輸入功率P1=400kW，從動輪C，B

分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φ’]=1°/m，G=80GPa。(1)試確定AC段的直徑d1

和BC段的直徑d2；(2)若AC和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；(3)主動輪和從動輪應如何安排才比較合理?解：1.外力偶

2.扭矩圖

按剛度條件:

3.直徑d1的選取:

按強度條件

按剛度條件

:4.直徑d2的選取

按強度條件:

5.選同一直徑時

6.將主動輪按裝在兩從動輪之間受力合理扭轉(zhuǎn)的超定靜問題例兩端固定的階梯圓截面桿，在C處受一力偶m，求支反力偶？a2amCAaB2GIpGIpmmBCABmA解：

解除約束，以

、

代替。變形協(xié)調(diào)方程：物理方程：求解得:mmBCABmA例

由實心桿1和空心桿2組成的組合軸，受扭矩T，兩者之間無相對滑動，求各自最大切應力.解:設(shè)實心桿和空心桿承擔的扭矩分別為T1、T2。G2Ip2G1Ip1R2R1T平衡方程：變形協(xié)調(diào)方程：聯(lián)立求解，得：G2Ip2G1Ip1R2R1T

討論:1)實心桿和空心桿相接觸處的切應力情況2)在下述三種情況下的切應力分布情況：（1）G1>

G2;

（2）G1=G2;（3）G1<G2R2R1TR2R1TR2R1TG2Ip2G1Ip1R2R1T§3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形建議自習４.通過習題練習圓柱形密圈螺旋彈簧的強度計算、變形計算．1.彈簧絲橫截面上的內(nèi)力－剪力、扭矩，應力－切應力．３.彈簧的變形．（軸線方向的總縮短或伸長量）２.彈簧絲橫截面上計算切應力的修正公式．彈簧的強度條件．要求了解:變形特征

翹曲矩形截面桿扭轉(zhuǎn)§3.7非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面扭轉(zhuǎn)時，橫截面不再保持平面，切應力不再與各點到形心的距離成正比。實驗和彈性理論分析表明:自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn):

(1)非圓截面扭轉(zhuǎn)時，如果端面及其它部位均不受任何約束,各橫截面可以自由翹曲，各橫截面翹曲形狀相同，則橫截面上將只有切應力，這種情況稱為自由扭轉(zhuǎn)。約束扭轉(zhuǎn):

(2)非圓截面扭轉(zhuǎn)時，如果端面或其它部位受約束作用,各橫截面不能自由翹曲，各橫截面翹曲形狀將不相同，則橫截面上將不僅有切應力，還有正應力，這種情況稱為約束扭轉(zhuǎn)。

實心截面桿約束扭轉(zhuǎn)時，正應力很小，可忽略不計；而薄壁截面約束扭轉(zhuǎn)時，正應力卻不能忽略。矩形桿扭轉(zhuǎn)結(jié)