中國郵路問題

2.3.3中國郵遞員問題一名郵遞員負(fù)責(zé)投遞某個(gè)街區(qū)的郵件。如何為他（她）設(shè)計(jì)一條最短的投遞路線（從郵局出發(fā)，經(jīng)過投遞區(qū)內(nèi)每條街道至少一次，最后返回郵局）？

描述為圖論語言：在連通加權(quán)無向圖G中，尋找一條經(jīng)過每邊至少一次且權(quán)和最小的閉鏈，即G的最優(yōu)環(huán)游。①如果對(duì)應(yīng)的圖G是歐拉圖，那么對(duì)應(yīng)于郵局的頂點(diǎn)出發(fā)的任何一條歐拉回路都是符合上述要求的投遞員的最優(yōu)投遞路線。如果圖G只有兩個(gè)奇度數(shù)頂點(diǎn)x和y，則存在一條以x和y為端點(diǎn)的歐拉路。因此，所要求的最優(yōu)投遞路線是由這條歐拉路+邊{x，y}。

由于圖G有偶數(shù)個(gè)奇度數(shù)頂點(diǎn)，對(duì)于任兩個(gè)奇度數(shù)頂點(diǎn)x和y，在G中必有一條路連接。將這條路上的每條邊改為二重邊得到的新圖，則x和y就變?yōu)榈呐级葦?shù)頂點(diǎn)，在這條路上的其他頂點(diǎn)的度數(shù)均增加2，即奇偶性不變。于是的奇頂點(diǎn)個(gè)數(shù)比G的奇頂點(diǎn)個(gè)數(shù)少2，對(duì)重復(fù)上述過程得，再對(duì)重復(fù)上述過程得，……，經(jīng)若干次后，可將G中所有奇度數(shù)頂點(diǎn)變?yōu)榕级葦?shù)頂點(diǎn)，從而得到多重歐拉圖G'。

②如果連通圖不是歐拉圖。這個(gè)歐拉圖G'的一條歐拉回路就相應(yīng)于中國郵遞員問題的一個(gè)可行解，且歐拉回路的長度等于G的所有邊的長度加上每次連奇度數(shù)頂點(diǎn)的路的長度。定理：設(shè)P是加權(quán)連通圖G中一條包含G的所有邊

至少一次的閉鏈，則P最優(yōu)的充要條件是

（1）P中沒有二重以上的邊；

（2）在G的每條圈C中，重復(fù)邊集E的長度之和不超過這個(gè)圈長度的一半。奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)法把中的所有奇度數(shù)頂點(diǎn)配成對(duì)，將每對(duì)奇度數(shù)頂點(diǎn)之間的路上的每邊改為二重邊，得到一個(gè)新圖，新圖中沒有奇度數(shù)頂點(diǎn)，即為歐拉圖。若中某一對(duì)頂點(diǎn)之間有多于2兩條邊連接，則去掉其中的偶數(shù)條邊，留下1條或2條邊連接這兩個(gè)頂點(diǎn)，直到每一對(duì)相鄰頂點(diǎn)至多由2條邊連接，得到圖。檢查的每一個(gè)圈C，若某一個(gè)圈上重復(fù)邊的權(quán)和超過此圈權(quán)和的一半，則將C按定理1必要性的證明過程進(jìn)行調(diào)整，重復(fù)這一過程，直到對(duì)的所有圈，其重復(fù)邊的權(quán)和不超過此圈權(quán)和的一半，得到。用Fleury