2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE17學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE2。2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1．會(huì)求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差．2．理解用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體數(shù)字特征的方法．3．會(huì)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)實(shí)際問(wèn)題．［知識(shí)鏈接]1．在數(shù)據(jù)2，2，3，4,4，5，5,6，7，8中眾數(shù)為2，4,5.2．一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得到的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．例如，數(shù)據(jù)1,2，3,3,4，5的平均數(shù)為3.［預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．有關(guān)概念（1)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多,且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒(méi)有眾數(shù)．(2)中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列,把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：指樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq\x\to(x)＝eq\f(1，n）(x1＋x2＋…＋xn)．2．平均距離假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，eq\x\to（x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．xi到eq\x\to(x)的距離是|xi－eq\x\to（x）|（i＝1，2,…，n）．于是,樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…，xn到eq\x\to（x）的“平均距離”是S＝eq\f（|x1－\x\to（x）｜＋|x2－\x\to（x)|＋…＋|xn－\x\to(x)｜,n).3．標(biāo)準(zhǔn)差由于平均距離中含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此改用如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r（\f(1，n）［x1－\x\to(x）2＋x2－\x\to（x)2＋…＋xn－\x\to（x)2］）.顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越?。詷?biāo)準(zhǔn)差可以用來(lái)刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度的大小．4．方差標(biāo)準(zhǔn)差s的平方s2，即s2＝eq\f(1，n）[(x1－eq\x\to(x））2＋(x2－eq\x\to（x））2＋…＋(xn－eq\x\to(x）)2］叫這組數(shù)據(jù)的方差．方差也是用來(lái)測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的分散程度的特征數(shù)．在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。要點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)用例1在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問(wèn)題中，制作出了這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：從中可以看出，月均用水量的眾數(shù)估計(jì)是________;中位數(shù)是________;平均數(shù)為_(kāi)_______．答案2。25t2。02t2。02t解析眾數(shù)大致的值就是樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)估計(jì)是2。25t;在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)使得在它左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值,下圖中虛線(xiàn)代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計(jì)值，此數(shù)據(jù)值為2。02t.平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,是直方圖的平衡點(diǎn),因此，每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和為平均數(shù)，平均數(shù)為2。02t。規(guī)律方法根據(jù)樣本頻率分布直方圖，可以分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．（1）眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2）中位數(shù):直方圖面積平分線(xiàn)與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和．跟蹤演練1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭?成績(jī)（單位：m)1。501.601.651.701。751。801.851。90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．解在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1。75出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1。70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\x\to(x)＝eq\f(1，17)(1。50×2＋1.60×3＋…＋1。90×1）＝eq\f（28。75，17)≈1.69(m）．答17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m，1.70m,1.69m。要點(diǎn)二平均數(shù)和方差的運(yùn)用例2甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)為:甲：9910098100100103乙:9910010299100100（1）分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．解(1）eq\x\to（x）甲＝eq\f(1,6）（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1，6）(99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100。seq\o\al(2，甲)＝eq\f（1，6)［(99－100)2＋（100－100)2＋（98－100)2＋（100－100）2＋(100－100）2＋(103－100)2]＝eq\f(7，3）,seq\o\al(2，乙)＝eq\f(1，6）[（99－100)2＋(100－100)2＋（102－100）2＋（99－100）2＋(100－100)2＋(100－100)2］＝1。（2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al（2,甲)＞seq\o\al（2，乙）,所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．規(guī)律方法1.幾個(gè)性質(zhì)：(1）若x1，x2，…，xn的平均數(shù)是eq\x\to（x),那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x）＋a.（2)數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn與數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．(3)若x1，x2，…,xn的方差為s2，那么ax1，ax2,…，axn的方差為a2s2。2．(1)方差的基本公式：s2＝eq\f（1，n)[(x1－eq\x\to(x）)2＋（x2－eq\x\to（x））2＋…＋（xn－eq\x\to(x）)2]．(2)方差的簡(jiǎn)化公式：s2＝eq\f(1，n）[(xeq\o\al（2，1)＋xeq\o\al(2，2）＋…＋xeq\o\al(2，n))－neq\x\to（x)2］．或?qū)懗蓅2＝eq\f（1,n）（xeq\o\al（2,1)＋xeq\o\al（2，2)＋…＋xeq\o\al(2,1））－eq\x\to(x）2,即方差等于原數(shù)據(jù)平方和的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．跟蹤演練2（1）（2013·山東高考)將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91,現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以x表示：87794010x91則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為(）A。eq\f(116,9）B。eq\f（36,7）C．36D。eq\f（6\r(7)，7）答案B解析∵由題意知去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)是87,90,90，91,91，94，90＋x.∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f（87＋90＋90＋91＋91＋94＋90＋x，7)＝91，∴x＝4?！噙@組數(shù)據(jù)的方差是eq\f(1,7）（16＋1＋1＋0＋0＋9＋9)＝eq\f（36,7)。(2）（2013·江蘇高考）抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán)）,結(jié)果如下:運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為_(kāi)_______．答案2解析由表中的數(shù)據(jù)計(jì)算可得eq\x\to(x）甲＝90，eq\x\to(x）乙＝90，且方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f（87－902＋91－902＋90－902＋89－902＋93－902,5）＝4。seq\o\al（2,乙)＝eq\f（89－902＋90－902＋91－902＋88－902＋92－902，5)＝2.所以乙運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)較穩(wěn)定，方差為2.要點(diǎn)三頻率分布與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用例3已知一組數(shù)據(jù)：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填寫(xiě)下面的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[121,123）[123，125）［125,127)［127,129）[129,131］合計(jì)(2）作出頻率分布直方圖；（3)根據(jù)頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．解(1）分組頻數(shù)頻率［121,123）20.1[123,125)30.15［125，127)80。4續(xù)表分組頻數(shù)頻率［127，129）40。2［129,131］30.15合計(jì)201（2)(3）在［125,127)中的數(shù)據(jù)最多,取這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)126,事實(shí)上，眾數(shù)的精確值為125。圖中虛線(xiàn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是125＋2×eq\f(5，8)＝126。25，事實(shí)上中位數(shù)為125.5.使用“組中值”求平均數(shù)：eq\x\to（x)＝122×0。1＋124×0。15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0。15＝126.3，平均數(shù)的精確值為eq\x\to(x）＝125。75。規(guī)律方法1。利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征:(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)．(2）中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等．(3）平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計(jì)值,與實(shí)際數(shù)據(jù)可能不一致．跟蹤演練3某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0。40、0.15、0.10、0。05.求：（1)高一參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；(2）高一參賽學(xué)生的平均成績(jī)．解(1）由圖可知眾數(shù)為65，又∵第一個(gè)小矩形的面積為0。3，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0。04＝0。5,得x＝5,∴中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意，平均成績(jī)?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0。15＋85×0。1＋95×0.05＝67，∴平均成績(jī)約為67.1．下面是高一（18)班十位同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)：82，91，73，84,98，99，101,118，98，110,則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()A．98 B．99C．98。5 D．97。5答案A解析將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為73,82,84，91，98,98,99,101，110，118，則最中間的兩個(gè)數(shù)為98，98，故中位數(shù)是eq\f（1,2)（98＋98）＝98。2．下列各數(shù)字特征中，能反映一組數(shù)據(jù)離散程度的是(）A．眾數(shù) B．平均數(shù)C．標(biāo)準(zhǔn)差 D．中位數(shù)答案C3．樣本101,98,102,100,99的標(biāo)準(zhǔn)差為()A。eq\r(2) B．0C．1 D．2答案A解析樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝100，方差為s2＝2，∴標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r（2)，故選A。4．甲乙兩名學(xué)生六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)（百分制）如圖所示．①甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)低；④甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差上面說(shuō)法正確的是(）A．③④ B．①②④C．②④ D．①③答案A解析甲的中位數(shù)為81，乙的中位數(shù)為87.5，故①錯(cuò)，排除B、D；甲的平均分eq\x\to（x）＝eq\f(1，6)(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分eq\x\to(x）′＝eq\f(1,6）（69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85,故②錯(cuò)，③對(duì)，故選A.5．（2013·湖北高考)某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次,命中環(huán)數(shù)如下：7,8，7,9，5，4，9,10，7,4則：（1）平均命中環(huán)數(shù)為_(kāi)_______；（2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______．答案（1）7(2)2解析利用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差公式求解．（1）eq\x\to(x）＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4，10)＝7.（2)s2＝eq\f(1，10）[(7－7）2＋（8－7)2＋(7－7）2＋（9－7)2＋（5－7)2＋(4－7)2＋（9－7)2＋（10－7)2＋（7－7）2＋（4－7）2