2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解兩個(gè)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過(guò)程，能運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算.2.能根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的模。3。能根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的夾角及判定兩個(gè)向量垂直．知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)i，j是兩個(gè)互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量．思考1i·i,j·j,i·j分別是多少?思考2取i，j為坐標(biāo)平面內(nèi)的一組基底，設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，試將a，b用i，j表示，并計(jì)算a·b。梳理設(shè)a＝(x1，y1)，b＝（x2,y2）,則a·b＝________________。這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和．知識(shí)點(diǎn)二向量模的坐標(biāo)表示思考若a＝（x，y),試將向量的模｜a|用坐標(biāo)表示．梳理設(shè)a＝(x，y）,則|a|2＝____________，或|a｜＝____________.知識(shí)點(diǎn)三向量夾角的坐標(biāo)表示思考設(shè)a，b都是非零向量，a＝(x1，y1），b＝（x2，y2),θ是a與b的夾角，那么cosθ如何用坐標(biāo)表示？梳理設(shè)非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2)，a與b的夾角為θ，則(1)cosθ＝eq\f（x1x2＋y1y2,\r（x\o\al（2,1)＋y\o\al(2，1）)·\r（x\o\al（2，2)＋y\o\al(2，2)））.（2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0。知識(shí)點(diǎn)四直線(xiàn)的方向向量思考1什么是直線(xiàn)的方向向量？思考2直線(xiàn)的方向向量唯一嗎?梳理(1)給定斜率為k的直線(xiàn)l，則向量m＝（1,k)與直線(xiàn)l共線(xiàn)，我們把與直線(xiàn)l共線(xiàn)的非零向量m稱(chēng)為直線(xiàn)l的方向向量．(2)對(duì)于直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0,可取直線(xiàn)l的方向向量為m＝（1，－eq\f（A，B)）(B≠0）,或取直線(xiàn)l的方向向量為m＝（B，－A)．類(lèi)型一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示例1已知a與b同向，b＝(1,2），a·b＝10.（1）求a的坐標(biāo)；(2）若c＝（2，－1），求a（b·c)及(a·b）c。反思與感悟此類(lèi)題目是有關(guān)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,靈活應(yīng)用基本公式是前提，設(shè)向量一般有兩種方法：一是直接設(shè)坐標(biāo)，二是利用共線(xiàn)或垂直的關(guān)系設(shè)向量，還可以驗(yàn)證一般情況下（a·b)·c≠a·(b·c），即向量運(yùn)算結(jié)合律一般不成立．跟蹤訓(xùn)練1向量a＝(1，－1），b＝（－1,2)，則（2a＋b)·a等于（)A．－1B．0C．1D．2類(lèi)型二向量的模、夾角問(wèn)題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點(diǎn)（如圖)．已知點(diǎn)A（16,12），B(－5,15)．(1)求|eq\o（OA,\s\up6（→））｜，｜eq\o(AB,\s\up6(→))｜；(2)求∠OAB.反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩向量夾角的一般步驟（1）利用向量的坐標(biāo)求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積．(2)利用｜a｜＝eq\r(x2＋y2)求兩向量的模．（3)代入夾角公式求cosθ,并根據(jù)θ的范圍確定θ的值．跟蹤訓(xùn)練2已知a＝(1，－1)，b＝(λ,1)，若a與b的夾角α為鈍角,求λ的取值范圍．類(lèi)型三向量垂直的坐標(biāo)形式例3(1）已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0），若向量λa＋b與a－2b垂直,則實(shí)數(shù)λ的值為（)A.eq\f(1，7）B．－eq\f（1,7）C.eq\f(1,6）D．－eq\f(1,6)（2）在△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→）)＝（2，3），eq\o（AC，\s\up6(→))＝（1，k），若△ABC是直角三角形，求k的值．反思與感悟利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決垂直問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把垂直條件代數(shù)化，若在關(guān)于三角形的問(wèn)題中，未明確哪個(gè)角是直角時(shí)，要分類(lèi)討論．跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A（1，4),B(－2，3),C(2，－1），若（eq\o（AB，\s\up6(→)）－teq\o（OC，\s\up6（→）))⊥eq\o(OC，\s\up6(→)),則實(shí)數(shù)t＝____。1．已知a＝（3,－1），b＝（1,－2)，則a與b的夾角為(）A.eq\f（π,6） B。eq\f(π，4)C。eq\f(π,3） D。eq\f(π，2）2．已知向量eq\o(BA，\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f（\r（3）,2)）），eq\o(BC,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3），2），\f（1,2)）)，則∠ABC等于（）A．30° B．45°C．60° D．120°3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝（λ＋2,2），若（m＋n）⊥(m－n），則λ等于（）A．－4 B．－3C．－2 D．－14．已知平面向量a,b，若a＝（4,－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝____________。5．已知a＝(4，3），b＝（－1,2)．(1)求a與b的夾角的余弦值；（2）若(a－λb）⊥（2a＋b），求實(shí)數(shù)λ的值．1．平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示，提供了數(shù)量積運(yùn)算的兩種不同的途徑．準(zhǔn)確地把握這兩種途徑,根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑，可以?xún)?yōu)化解題過(guò)程．同時(shí)，平面向量數(shù)量積的兩種形式溝通了“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的橋梁，成為解決距離、角度、垂直等有關(guān)問(wèn)題的有力工具．2．應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長(zhǎng)度等幾何問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．3．注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆,可以對(duì)比學(xué)習(xí)、記憶．若a＝(x1，y1），b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0。4．事實(shí)上應(yīng)用平面向量的數(shù)量積公式解答某些平面向量問(wèn)題時(shí),向量夾角問(wèn)題卻隱藏了許多陷阱與誤區(qū)，常常會(huì)出現(xiàn)因模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角"的范圍，稍不注意就會(huì)帶來(lái)失誤與錯(cuò)誤．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1i·i＝1×1×cos0＝1,j·j＝1×1×cos0＝1,i·j＝0.思考2∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1）i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.梳理x1x2＋y1y2知識(shí)點(diǎn)二思考∵a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝（xi＋yj）2＝(xi)2＋2xyi·j＋（yj）2＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1,i·j＝0,∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴｜a|＝eq\r（x2＋y2)。梳理x2＋y2eq\r（x2＋y2）知識(shí)點(diǎn)三思考cosθ＝eq\f（a·b，｜a｜｜b|）＝eq\f(x1x2＋y1y2，\r(x\o\al(2，1）＋y\o\al（2,1)）\r（x\o\al(2,2）＋y\o\al（2,2）)）。知識(shí)點(diǎn)四思考1與直線(xiàn)l共線(xiàn)的非零向量m稱(chēng)為直線(xiàn)l的方向向量．思考2不唯一．因?yàn)榕c直線(xiàn)l共線(xiàn)的非零向量有無(wú)數(shù)個(gè)，所以直線(xiàn)l的方向向量也有無(wú)數(shù)個(gè)．題型探究例1解(1）設(shè)a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0),則有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝（2，4）．（2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，（a·b）c＝10(2，－1）＝(20，－10)．跟蹤訓(xùn)練1C例2解(1)由eq\o（OA，\s\up6（→））＝（16,12)，eq\o（AB,\s\up6（→））＝（－5－16，15－12)＝（－21，3)，得|eq\o(OA，\s\up6(→））|＝eq\r（162＋122）＝20，｜eq\o（AB,\s\up6(→)）｜＝eq\r（－212＋32)＝15eq\r(2).（2)cos∠OAB＝coseq\o(AO，\s\up6(→）），eq\o（AB,\s\up6（→))＝eq\f（\o（AO，\s\up6(→))·\o(AB，\s\up6(→）),|\o（AO，\s\up6(→)）||\o(AB,\s\up6（→）)｜）.其中eq\o（AO,\s\up6(→)）·eq\o（AB，\s\up6(→）)＝－eq\o（OA,\s\up6（→))·eq\o（AB，\s\up6（→））＝－（16，12）·(－21,3)＝－[16×(－21）＋12×3］＝300，故cos∠OAB＝eq\f(300,20×15\r（2))＝eq\f(\r（2)，2).∴∠OAB＝45°。跟蹤訓(xùn)練2解∵a＝（1，－1)，b＝(λ，1）,∴|a|＝eq\r(2），|b｜＝eq\r（1＋λ2)，a·b＝λ－1.又∵a，b的夾角α為鈍角,∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（λ－1<0，，\r（2)·\r(1＋λ2）≠1－λ，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（λ〈1,,λ2＋2λ＋1≠0.）)∴λ〈1且λ≠－1?！唳说娜≈捣秶?－∞，－1）∪（－1，1）．例3（1）B（2)k＝－eq\f（2,3)或eq\f(11，3）或eq\f(3±\r(