第三章(1)連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)_第1頁(yè)
第三章(1)連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)_第2頁(yè)
第三章(1)連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)_第3頁(yè)
第三章(1)連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)_第4頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

第三章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析3.1信號(hào)分解為正交函數(shù)3.2傅里葉級(jí)數(shù)3.3周期信號(hào)的頻譜3.4非周期信號(hào)的頻譜(傅里葉變換)3.5傅里葉變換的性質(zhì)3.6周期信號(hào)的傅里葉變換3.7LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.8

取樣定理本章主要內(nèi)容:變換域分析的基本思想仍為:將信號(hào)分解為基本信號(hào)之和或積分的形式,再求系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng),從而求出系統(tǒng)對(duì)給定信號(hào)的響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))。信號(hào)分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念相似。

為各相應(yīng)方向的正交單位矢量。

它們組成一個(gè)二維正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推廣到信號(hào)空間,在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào),使得信號(hào)空間中的任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。3.1信號(hào)分解為正交函數(shù)(2)正交函數(shù)集在區(qū)間上的n個(gè)函數(shù)(非零)……,其中任意兩個(gè)均滿足

為常數(shù),則稱函數(shù)集為區(qū)間

內(nèi)的正交函數(shù)集。(1)正交函數(shù)在區(qū)間上定義的非零實(shí)函數(shù)

和若滿足條件則函數(shù)與為在區(qū)間的正交函數(shù)。一、正交函數(shù)集(3)完備正交函數(shù)集之外不存在函數(shù)

如果在正交函數(shù)集

滿足等式

,則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。

在區(qū)間

內(nèi)組成完備正交函數(shù)集。對(duì)于復(fù)函數(shù):若復(fù)函數(shù)集

在區(qū)間

滿足

,則稱此復(fù)函數(shù)集為正交函數(shù)集。

復(fù)函數(shù)集

在區(qū)間

內(nèi)是完備的正交函數(shù)集。

其中

。二、信號(hào)分解為正交函數(shù)設(shè)有n個(gè)函數(shù)

在區(qū)間

構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)

用這

個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似,可表示為:

根據(jù)最小均方誤差原則,可推出:

式中:如果分解的項(xiàng)數(shù)越多則誤差愈小。即

,均方誤差

,即

在區(qū)間

內(nèi)分解為無窮多項(xiàng)之和。3.2傅里葉級(jí)數(shù)

將周期信號(hào)

在區(qū)間

內(nèi)展開成完備正交信號(hào)空間中的無窮級(jí)數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集,那么,周期信號(hào)所展開的無窮級(jí)數(shù)就分別稱為“三角形傅里葉級(jí)數(shù)”或“指數(shù)形傅里葉級(jí)數(shù)”,統(tǒng)稱為傅里葉級(jí)數(shù)。

一、周期信號(hào)的分解設(shè)有一個(gè)周期信號(hào)

,它的周期是

,角頻率

,它可分解為:其中

稱為傅里葉系數(shù),

。那么,傅里葉系數(shù)如何求得呢?由上式可見,

的偶函數(shù)

,

的奇函數(shù),

由于是同頻率項(xiàng),因此可將其合并式中:

則有

可見,

的偶函數(shù),即有

是的奇函數(shù),即有

可見,任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)均可分解為直流分量,一次諧波或基波,它的角頻率與原周期信號(hào)相同,二次諧波,以此類推,三次,四次等諧波。

……一般而言稱為次諧波,是次諧波的振幅,是其初相角。**結(jié)論:周期信號(hào)可分解為各次諧波分量之和。例3.2-1將下圖中的方波信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。解:

它僅含有一、三、五、七....等奇次諧波分量。如下頁(yè)圖所示,是用有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)來逼近的情況:TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波圖

3.2-3方波的組成(1)所取項(xiàng)愈多,合成波形(除間斷點(diǎn)外)愈接近于原方波信號(hào)。(2)所取項(xiàng)數(shù)愈多,在間斷點(diǎn)附近,尖峰愈靠近間斷點(diǎn)。(3)即使

,在間斷點(diǎn)處尖峰仍不能與之吻合,有

的偏差。但在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。

(吉布斯現(xiàn)象)主體

-----低頻細(xì)節(jié)------高頻若給定的

有某些特點(diǎn),那么,有些傅里葉系數(shù)將等于零從而式計(jì)算較為簡(jiǎn)便。(1)

為偶函數(shù)則有

,波形對(duì)稱于縱坐標(biāo)。

二、奇偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)從而有

(2)

為奇函數(shù)則有

,波形對(duì)稱于原點(diǎn)。進(jìn)而有這時(shí)有實(shí)際上,任意信號(hào)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分。其中**一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)不僅與其波形有關(guān),而且與原點(diǎn)的選擇有關(guān)。如果

的前半周期波形移動(dòng)

后,與后半周期波形對(duì)稱于橫軸即:

,稱為奇諧函數(shù)。

此時(shí)傅里葉級(jí)數(shù)展開式中將只含有奇次諧波分量,而不含有偶次諧波分量。即

0t-TT-T/2f

(t)T/21-1圖

3.2-6奇諧函數(shù)(3)

為奇諧函數(shù)例3.2-2正弦交流信號(hào)

經(jīng)全波或半波整流后的波形分別如下圖所示。求它們的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。(a)全波整流信號(hào)

(b)半波整流信號(hào)解

(1)全波整流信號(hào)圖(a)的全波整流信號(hào)可寫成(其周期

,

為原正弦信號(hào)角頻率

由于它是t的偶函數(shù),故

,

基波角頻率

與信號(hào)角頻率

相等,

并令

,對(duì)上式進(jìn)行變量替換得:可見,它除直流外,僅含有

的偶次諧波。

想一想:本題中若把

f1(t)看成以T/2為周期,則由于它仍是的偶函數(shù),故

,令

,則

對(duì)上式進(jìn)行變量替換:(2)半波整流信號(hào)圖(b)的半波整流信號(hào)可寫為(其周期

)它的傅里葉級(jí)數(shù)可直接由下式求出本題也可將它分解成奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分:

討論

關(guān)于n的奇偶性。是n的偶函數(shù)。是n的奇函數(shù)。是n的偶函數(shù)。是n的奇函數(shù)。三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式將上式第三項(xiàng)中的

代換,并考慮到

的偶函數(shù),即

的奇函數(shù),

則上式可寫為

:如將上式中的

寫成

),則上式可以寫成:令復(fù)數(shù)量

,稱其為復(fù)傅里葉系數(shù),簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。其模為

,相角為

,則得傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式為

復(fù)傅里葉系數(shù)

這就是求指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)

的公式。

任意周期信號(hào)

可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)

之和,其各分量的復(fù)數(shù)幅度(或相量)為

。

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